Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$ và$\sum a^2=1$

Tìm min $A=\sum \frac{x^3}{(1-x^4)^2}$

Link: https://diendantoanh...um-fracx31-x42/

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} \leq \max\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$.

Spoiler

Bài này quen quen.

.

Đề này có thể có nhầm lẫn gì đó, anh đoán đề đúng chắc là như vầy

\[\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} \leqslant \max \left\{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2},\,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2},\,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}\right\}.\]

Đây là đề USA TST 2000 của Titu Andreescu cách giải cơ bản nhất là dùng đánh giá

\[\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}}{3} \leqslant \max \left\{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2},\,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2},\,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}\right\},\]

để quy bài toán về chứng minh

\[\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} \leqslant \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}}{3}.\]

Bất đẳng thức này sau khi thu gọn sẽ đúng theo bất đẳng thức Schur bậc $3$ và bất đẳng thức AM-GM.

Còn một cách nữa thường thấy đó là dùng hàm khá hay. Ngoài ra ta có thể làm chặt bất đẳng thức lên thành

Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức

\[\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc} \leqslant k \cdot \max \left\{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2},\,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2},\,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{2}\right\},\]

luôn đúng với mọi số thực $a,\,b,\,c$ không âm.

Đáp số $k_{\min} = \frac{2}{3}.$

Tìm GTLN của số $k$ thoả mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c +b}+\frac {1}{a+c}-k)\geq k$ với $a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=ab+bc+ca$

Cho $a=b=2,\,c=0$ ta được $k \leqslant 1.$ Để chứng minh $k_{\min} = 1$ ta chỉ cần biến đổi tương đương.

Tìm số thực $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có bất đẳng thức:

$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\leq k.max[|a-b|;|b-c|;|c-a|]$

Giả sử $a \geqslant b \geqslant c$ thì

\[\max\{|a-b|,|b-c|,|c-a|\} = \max\{a-b,b-c,a-c\} = a - c.\]

Xét

\[k(a-c) \geqslant \frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}. \quad (1)\]

Cho $a = b = 1,c=0$ thì $k \geqslant \frac23.$ Mặt khác với $k = \frac23$ thì $(1)$ tương đương với

\[a-b+3\left(\sqrt[3]{abc}-c\right) \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng do $a \geqslant b \geqslant c$ nên $k = \frac23$ là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

Với a, b, c $\epsilon \mathbb{R}$ cm $(a+b)^{2}(b+c)^{2}\geq 4abc(a+b+c)$

Vì \[(a+b)^{2}(b+c)^{2} - 4abc(a+b+c) = (ab+bc-ca+b^2)^2 \geqslant 0.\] Nên ta có điều phải chứng minh.

cho a,b,c là cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng:

$a^{2}b(a-b)+ b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}.$ Chú ý rằng

\[a^3b+b^3c+c^3a-abc(a+b+c) = c(a+b)(a-b)^2+a(a+c)(a-c)(b-c),\]

và

\[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c) =c^2(a-b)^2+ab(a-c)(b-c),\]

nên bất đẳng thức trên tương đương với

\[c(a+b-c)(a-b)^2+a(a+c-b)(a-c)(b-c) \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng theo giả thiết của $c$ và bất đẳng thức trong tam giác.

Cho 3 số thực a,b,c đôi một phân biệt.Chứng minh rằng $\sum \frac{1+a^{2}b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Ta có đẳng thức \[\sum \frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2} -\frac{3}{2} = \frac{2\left[\displaystyle\sum a^2b^2-abc \sum a-\left(\displaystyle\sum a^2 -\displaystyle\sum bc\right)\right]^2+\left[\displaystyle\sum ab(a+b) - 6abc\right]^2}{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}.\]

Tìm GTNN của biểu thức: $A = a(x^{2} + y^{2}) + z^{2}$ trong đó a là hằng số thực dương và $x, y, z$ là các biến số thoả mãn điều kiện $xy + yz + zx = 1$

Với $a,\,b$ là hai số dương cho trước và $x,\,y,\,z$ là ba số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện $xy+yz+zx.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của \[P = ax^2 + by^2 + c^2.\]

Cho $a,b,c$ là số đo ba cạnh của tam giác, chứng minh rằng

$\sum 2a^{2}b^{2} - \sum a^{4} > 0$

 

don't

 stop dreaming =))

Ta có

\[\sum 2a^{2}b^{2} - \sum a^{4} =(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \ge 0.\]

cho a,b,c>0 CMR $\frac{a^2+b^2+c^2}{6(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2\sqrt{3(ab+bc+ca)}}$

Bất đẳng thức sai với $a=b=c=1.$