Lượng Giác :

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {\cot ^2}x - \dfrac{5}{2}\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 1 + {\cot ^2}x - \dfrac{5}{2}\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - \dfrac{5}{2}\left( {\tan x + \cot x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x + \cot x = 0,5 \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = 0,5\\\tan x + \cot x = 2 \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = 2\end{array} \right.\end{array}$

Bất pt nè :

$\begin{array}{l}{\log _x}\left( {5{x^2} - 8x + 3} \right) > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0, \ne 1\\5{x^2} - 8x + 3 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{5}\left( 1 \right)\\x < 1 \Rightarrow {x^2} > 5{x^2} - 8x + 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < x < \dfrac{3}{2}\left( 2 \right)\\\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow \dfrac{3}{5} < x < \dfrac{3}{2}\end{array}$

Mình ghi lại đề cho mọi người cùng thảo luận,có phải đề như thế này không bạn:
Tim m để bpt co nghiệm:
1)$x\left (3+3x \right )^{2}-1 \leq m( \sqrt{x} - \sqrt{x-1})$
2)$x \sqrt{x} + \sqrt{x+12}=m( \sqrt{5-x}+ \sqrt{4-x})$
3)$ \sqrt{3+x}+ \sqrt{6-x}- \sqrt{18+3x-x^{2}}\leq m^{2}-m+1$

Câu 3 nha :
Có một số bước đánh gián bạn xem kỹ lại xem có đứng không cái nha.

$\begin{array}{l}DK: - 3 \le x \le 6\\\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} = t\\3 \le t \le 3\sqrt 2 \\ \Rightarrow \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} = \sqrt {\left( {18 + 3x - {x^2}} \right)} \\ \Rightarrow t - \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \le {m^2} - m + 1\\ \Leftrightarrow 2t - {t^2} + 9 \le 2\left( {{m^2} - m + 1} \right)\\f\left( {3\sqrt 2 } \right) = 3\sqrt 2 - \dfrac{9}{2} \le f\left( t \right) = 2t - {t^2} + 9 \le f\left( 1 \right) = 10\\ \Rightarrow {m^2} - m + 1 \ge f\left( {3\sqrt 2 } \right) = 3\sqrt 2 - \dfrac{9}{2}\end{array}$

Thế à chắc mình không được góp ý kiến rồi...hu..

Xin anh supermember đừng xem nha coi như không có mặt em.

Chém.

ta đi làm bài toán tìm $m$ để BPT có nghiệm $\forall x \in \left[ {0;1} \right]$
$\begin{array}{l}{({x^2} + 1)^2} + m \le x\sqrt {{x^2} + 2} \\x \in \left[ {0;1} \right]\\m \le x\sqrt {{x^2} + 2} - {({x^2} + 1)^2}\\f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} + 2} - {({x^2} + 1)^2}\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\f'\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} - 2x\left( {{x^2} + 1} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 = x\sqrt {{x^2} + 2} \Leftrightarrow x = \sqrt {-1 + \sqrt 2 } \\f\left( 0 \right) = - 1,f\left( 1 \right) = \sqrt 3 - 4,f\left( {\sqrt {-1 + \sqrt 2 } } \right) = ..\\ \Rightarrow f{\left( x \right)_{Min}} = ...\end{array}$

bPt có nghiệm với mọi $\forall x \in \left[ {0;1} \right]$ khi $m \le f{\left( x \right)_{Min}}$


Nếu sai xin sửa.

supermember trích dẫn :

$ 1 = x\sqrt {{x^2} + 2} \Leftrightarrow x = \sqrt {1 - \sqrt 2 } \\f\left( 0 \right) = - 1 $

Kinh thật ; lớp 12 có học giải tích phức rồi


Em xin loi nha !

1) $ x^{3} - 2x +2$
2) $x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} +6x + 1$

Anh gợi ý thui nè:
Cái thứ nhất thì hệ số bất định xem sao
Cái thứ 2 thì chia 2 vế cho $x^2$ rồi đưa về pt bậc 2 ok

Bài 1: Quá tèm.
Tìm được tọa độ $C$. Gọi $M(1+2t;t;-2-t)$. Kết hợp ĐK của độ dài $MC$ thì giải pt bậc 2 ẩn $t$ là ok.

Bài 2 :
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \left( { - 1;b;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 1;0;c} \right)\\
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {bc;c;b} \right)\end{array}$ là vecto pháp tuyến của $(ABC)$

$\begin{array}{l}\left( {ABC} \right):bc\left( {x - 1} \right) + cy + bz = 0\\\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right)\\ \Rightarrow \cos {90^0} = 0 = \dfrac{{c + b}}{{\sqrt {{{\left( {bc} \right)}^2} + {b^2} +{c^2}} .\sqrt 2 }} \Rightarrow b = - c\\{d_{O \to \left( {ABC} \right)}} = \sqrt 3 = \dfrac{{\left| {bc} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {bc} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} }}\\ \Leftrightarrow 2{b^4} + {b^2} = 0 \Leftrightarrow b = ... \Rightarrow c = ..\end{array}$

Cho mình hỏi sao điểm A và B có tọa độ như vậy????

Hì.
Nhận xét : Điểm $I$ thuộc đường thẳng $(d)$, mà $A$ đối xứng với $B$ qua $I$.
Nên Pt đường thẳng $AB$ qua $I$ và nhận vecto pháp tuyến của $(d)$ là vecto chỉ phương.

Có hợp lý không nhỉ ?

Giải hệ :
$\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x - 1 < 0\\{x^3} - 3x + 1 > 0\end{array} \right.$

Chẳng biết có đúng không nữa ?
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < \dfrac{1}{3}\left( 1 \right)\\{x^3} - 3x + 1 > 0
\end{array} \right.\\{x^3} - 3x + 1 > 0\\x = 2\cos t \Rightarrow 2\left( {4{{\cos }^3}t - 3\cos t} \right) + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \cos 3t > \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow t < \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{2k\pi }}{3}\\ \Rightarrow x < \dfrac{1}{2}\left( 2 \right)\\\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow - 1 < x < \dfrac{1}{2}\end{array}$

Câu 3 :
Để pt có 2 nghiệm thỏa mãn đề bài thì :
$\begin{array}{l}\Delta = 4{m^2} - 4{\left( {m - 1} \right)^3} > 0\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = {\left( {m - 1} \right)^3}\\{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1} = {x_2}^2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = m - 1\\{x_1} = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4{\left( {m - 1} \right)^3} > 0\\m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}\end{array} \right.\end{array}$
Cái hệ này đơn giản nha toàn dùng máy tính là ra thui à .

Hình như bạn cần làm những câu khoanh tròn :
1.b
$\begin{array}{l}y = \dfrac{{3x + 2}}{{x + 2}}\\y' = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\M\left( {m;\dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}}} \right) \in y = \dfrac{{3x + 2}}{{x + 2}}\\{y_m} = \dfrac{4}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}}\\ \Rightarrow \dfrac{4}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_m} = 4x + 3\\{y_m} = 4x + 19\end{array} \right.\end{array}$

Chỗ giải hệ bạn tự làm nha.

$\begin{array}{l}z = a + bi\\\left| {z + 1 - 2i} \right| = \left| {\overline z + 3 + 4i} \right|\\ \Rightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2a + 5b + 10 = 0\\\dfrac{{z - 2i}}{{z + 1}} = \dfrac{{a + \left( {b - 2} \right)i}}{{a + 1 + bi}} = \dfrac{{\left( {a + 1 - bi} \right)\left( {b - 2} \right)i}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}}} = b\left( {b + 2} \right) + \dfrac{{\left( {a + 1} \right)}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}}}i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b\left( {b + 2} \right) = 0\\
2a + 5b + 10 = 0\end{array} \right.\end{array}$

Giải phương trình
$3{\sin ^4}x + 2{\cos ^2}3x + \cos 3x = 3{\cos ^4}x - \cos x + 1$

Mình mới chỉ xơi thế này thui:

$\begin{array}{l}3{\sin ^4}x + 2{\cos ^2}3x + \cos 3x = 3{\cos ^4}x - \cos x + 1\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}3x + \cos 3x = 3\cos 2x - \cos x + 1 = 2{\cos ^2}x - \cos x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 3x + \cos x} \right)\left( {2\cos 3x - 2\cos x + 1} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \cos 2x.\left[ {4\cos x\left( {2\cos 3x - 2\cos x + 1} \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x.\left[ {32{{\cos }^4}x - 32{{\cos }^2}x + 4\cos x - 1} \right] = 0\end{array}$



cái còn lại thì hệ số bất định à ?

supermember :

Để anh giúp Giang tí vậy :

$32{{\cos }^4}x - 32{{\cos }^2}x + 4\cos x - 1 = 4cos4x + 4cosx - 5$

Tìm các số $a, b$ sao cho $a+b=|a| -|b|$
/ / là dấu trị tuyệt đối em không đánh được công thưc nên mọi người thông cảm

Tôi nghĩ là :
$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 0,b < 0\\a + b = \left| a \right| - \left| b \right|\end{array} \right.\\a = b = 0 \end{array} \right.$

Mình xin đóng góp 1 pt đặt ẩn phụ cơ bản.
$x^{3}+1=3\sqrt[3]{3x-1}$
Thêm 1 bài góp vui nữa nha :
$(x^{3}+1)^{3} = 81x-27$
Hi hi

$\begin{array}{l}1.{x^3} + 1 = 3\sqrt[3]{{3x - 1}}\\\sqrt[3]{{3x - 1}} = t \Leftrightarrow {t^3} + 1 = 3x\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 1 = 3t\\{t^3} + 1 = 3x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left( {x - t} \right)\left( {{x^2} + xt + {t^2} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = t\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3x - 1}} = x \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 1 = 0\\2.{({x^3} + 1)^3} = 81x - 27\\ \Leftrightarrow {({x^3} + 1)^3} = 27\left( {3x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + 1 = 3\sqrt[3]{{3x - 1}} \Leftrightarrow \left( 1 \right)\end{array}$

một bài hệ trong đề thi chọn đội tuyển
3.$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{2y}} = 2({y^4} - {x^4})\\\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{2y}} = (3{x^2} + {y^2})({x^2} + 3{y^2})\end{array} \right.$
Mong các bạn giúp đỡ

?????????????????
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2({y^4} - {x^4}) = (3{x^2} + {y^2})({x^2} + 3{y^2})\\ \Leftrightarrow 2({y^4} - {x^4}) = 3\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + 10{x^2}{y^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^4} + {y^4} + 10{x^2}{y^2} = 0 \Rightarrow VN \end{array}$

Câu hệ :

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2{x^2}{y^2}\\\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) = 4{x^2}{y^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy\left( {1 + xy} \right)\\\left( {x + y} \right)\left( {1 + xy} \right) = 4{x^2}{y^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{4{x^2}{y^2}}}{{1 + xy}}} \right)^2} = 2xy\left( {1 + xy} \right)\\x + y = \dfrac{{4{x^2}{y^2}}}{{1 + xy}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow 8{x^4}{y^4} = xy{\left( {1 + xy} \right)^2} \Leftrightarrow xy\left( {7{x^3}{y^3} - 3{x^2}{y^2} - 3xy - 1} \right) = 0\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} = 2{x^2}{y^2} \ge 2\left| {xy} \right| \Leftrightarrow \left| {xy} \right| \ge 1\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow xy = 1\end{array}$

8.
$\begin{array}{l}\left( {2 - 5\sin x} \right){\cot ^2}x - 3\sin x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2 - 5\sin x} \right)\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right) + 1 + 3\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2 - 5\sin x} \right)}}{{1 - {{\sin }^2}x}} + 1 + 3\sin x = 0\\
\Leftrightarrow 3 - 2\sin x - {\sin ^2}x - 3{\sin ^3}x = 0\end{array}$

4.
$\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^{15}}x = 1\\ \Leftrightarrow {\cos ^4}x - 2{\cos ^2}x + {\cos ^{15}}x = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x\left( {{{\cos }^2}x + {{\cos }^{13}}x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\{\cos ^2}x + {\cos ^{13}}x - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}$

Xét cái thứ 2 :
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x \le \left| {\cos x} \right| \le 1\\{\cos ^{13}}x \le \left| {\cos x} \right| \le 1
\end{array} \right. \Rightarrow {\cos ^2}x + {\cos ^{13}}x \le 2\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x = 1\\{\cos ^{13}}x = 1\end{array} \right.\end{array}$

10.
$\begin{array}{l}\cot x = \left| {\cot x - \dfrac{1}{{\sin x}}} \right|\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right]\\ \Leftrightarrow \cot x = \left| {\dfrac{{\cos x - 1}}{{\sin x}}} \right|\\ \Leftrightarrow \cos x = 1 - \cos x \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \end{array}$

Sau đây là một số bài tìm m để pt có nghiêm:
Bài 1.$x+\sqrt{3x^{2}+1}=m$

Bài 2.$\left ( 4m-3 \right )\sqrt{x+3}+\left ( 3m-4 \right )\sqrt{1-x}+m-1=0$

Bài 3.$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m$ (HSG Nghệ An-2005)

Bài 4.$x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m\left ( \sqrt{5-x}+\sqrt{4-x} \right )$

Lâu quá ta :
Bài 1. :
Xét
$\begin{array}{l}f\left( x \right) = x + \sqrt {3{x^2} + 1} \\f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{{3x}}{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow f{\left( x \right)_{Min}} = f\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \sqrt {\dfrac{3}{2}} - \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\ \Rightarrow m \ge f{\left( x \right)_{Min}} = f\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \sqrt {\dfrac{3}{2}} - \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\end{array}$

Dễ nghi đã sai !

2.
$\begin{array}{l}{\cos ^6}x - {\sin ^6}x = \dfrac{{13{{\cos }^2}2x}}{8}\\ \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^4}x + {{\cos }^2}x{{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x} \right) = \dfrac{{13{{\cos }^2}2x}}{8}\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {1 - \dfrac{{{{\sin }^2}2x}}{4}} \right) = \dfrac{{13{{\cos }^2}2x}}{8}\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {8 + 11{{\sin }^2}2x - 13} \right) = 0\end{array}$
6.
$\begin{array}{l}\sin 4x.\cos 16x = 1\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin 4x \le 1\\ - 1 \le \cos 16x \le 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 4x = \cos 16x = 1\\\sin 4x = \cos 16x = - 1\end{array} \right.\end{array}$

7.
$\begin{array}{l}{\sin ^8}x + {\cos ^8}x = \dfrac{{17{{\cos }^2}2x}}{{16}}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - \cos 2x} \right)^4} + {\left( {1 + \cos 2x} \right)^4} = 17{\cos ^2}2x\\ \Leftrightarrow 2 + 12{\cos ^2}2x + 2{\cos ^4}2x = 17{\cos ^2}2x\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^4}2x - 5{\cos ^2}2x + 2 = 0\end{array}$
9. Không chắc
$\begin{array}{l}{\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\left[ {\left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right|} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin 2x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = \left( {1 + \left| {\sin 2x} \right|} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right) = 1 + \left| {\sin 2x} \right| \Rightarrow VN\end{array}$

Bài 3:
Tìm m để $y=\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}$ tiếp xúc với $y=x^{2}+m$

Bài 4: 2002-D.
Tìm m để đôe thị HS $y=\dfrac{\left ( 2m-1 \right )x-m^{2}}{x-1}$ tiếp xúc với y=x

Nhắc lại kiến thức SGK :
Hai đường cong $y=f(x)$ và $y=g(x)$ tiếp xúc với nhau khi hệ sau có nghiệm :
$\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.$

Quay trở lại bài toán Tìm $m$ để 2 đồ thị hàm số tiếp xúc hay tìm $m$ để hệ có nghiệm :

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = {x^2} + m\\1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2x \end{array} \right.$

Đơn giản nha !

Bài kia tương tự !

Tại sao phương trình đường thẳng đi qua (O) và (A) lại có dạng y=vx
Giúp mình mấy bài này nha 3) Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(-17;-47) và B(39;103,5).Tìm tất cả các điểm thuộc đoạn thẳng AB có hoành độ và tung độ là các số nguyên dương
4)Tìm m để phương trình $|2x^4 -x^2+m^2+2|=1+2m(1)$ có một số lẻ các nghiệm thuộc đoạn
[-2;2](Giải thích giúp tớ một số lẻ các nghiệm có nghĩa là gì)

3.
PT của $AB$ là : $\left( {AB} \right): - 150,5\left( {x + 17} \right) + 56\left( {y + 47} \right) = 0$

Đi giải pt nghiệm nguyên : $43x - 16y - 21 = 0$

4. Giải thích : "Số lẻ các nghiệm "
Nếu gọi số nghiệm có thể có là $a$ thì $a$ thỏa mãn $a = 2k + 1\left( {k \in N} \right)$

Mình lập topic này để mọi người thảo luận về cách giải của 1 số bài KSHS mà mình sẽ đưa ra,mong mọi người thảo luận tích cực.
Bài 1:Cho $f\left ( x \right )=\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}$.

a, Cho $M\left ( x_{m};y_{m} \right ) $ thuộc đồ thị. Tiếp tuyến qua M cắt 2 tiệm cận tai N,P. Chứng minh M là trung điểm NP
$b,$Gọi I là giao điểm 2 tiệm cân,Chứng minh $IN.IP=const.$
c, Cho $x_{m}>1$. Khi M chạy trên đồ thị, tìm M để chu vi tam giác INP đạt min.

Bài 2: Cho $y=f\left ( x \right )=-x^{3}-3x^{2}+\left ( 2m+1 \right )x-m^{2}$.
chứng minh $f\left ( x \right )$ luôn tiếp xúc với 1 đường cong cố định.

Xin thông báo sau khi làm xong bài này tôi đã kiệt sức : Không phải vì khó mà vì nó tru.
Hai tiệm cận và giao điểm cuamr nó :
$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = x\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;1} \right)$
$f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
PT tiếp tuyến tại $M$ là :
$\left( \Delta \right):y = \left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_m} - 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {x - {x_m}} \right) + \dfrac{{{x_m}^2 - {x_m} + 1}}{{{x_m} - 1}}$

$N\left( {1;1 + \dfrac{2}{{{x_m} - 1}}} \right),P\left( {2{x_m} - 1;2{x_m} - 1} \right)$. Vậy $M$ là trung điểm nha.
$\begin{array}{l}\overrightarrow {IN} \left( {0;\dfrac{2}{{{x_m} - 1}}} \right),\overrightarrow {IP} \left( {2{x_m} - 2;2{x_m} - 2} \right)\\\left| {\overrightarrow {IN} } \right|.\left| {\overrightarrow {IP} } \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{{{x_m} - 1}}} \right)}^2}.2.{{\left[ {2{x_m} - 2} \right]}^2}} = 4\sqrt 2 \end{array}$
Ý còn lại có thể ra nhưng ....
hay bạn cứ thử làm xem sao

$sin^2(x)+sin^2(2x)+sin^2(3x)=3/2$

Như vậy là tôi đã cứu với cho một sinh mạng :
" Cứu 1 mạng người hơn xây 1 kim tự tháp "

Chém !

$\begin{array}{l}si{n^2}x + si{n^2}2x + si{n^2}3x = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 2x + 1 - \cos 4x + 1 - \cos 6x}}{2} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x.\cos 2x + \cos 4x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 4x = 0\\\cos 2x = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array}$

2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (0;0;-2) và đt d: $\dfrac{x+2}{2}$ = $\dfrac{y-2}{3}$ = $\dfrac{z+3}{2}$. Tính khỏang cách từ A đến d. Viết pt mặt cầu tâm A cắt d tại hai điểm B và C sao cho BC=8.

Tiếp :
Công thức chung :
Khoảng cách từ 1 điểm $M$ đến đường thẳng $d$ (đi qua điểm $N$ với vecsto chỉ phương $\overrightarrow u $) là :

${d_{M \to \left( d \right)}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$
Gọi :
$\begin{array}{l}B\left( { - 2 + 2t;2 + 3t; - 3 + 2t} \right)\\\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {2t - 1} \right)}^2}} \\{\left( {{d_{A \to \left( d \right)}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{BC}}{2}} \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {R^2}\end{array}$
Các đại lượng : $\left( {{d_{A \to \left( d \right)}}} \right)$ và ${\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}$ đã có.
Nói chung là tìm được tọa độ điểm $B$.
Viết được pt mặt cầu..

1. Trong mp Oxy cho C(2;5) và đường thẳng d: 3x-4y+4=0. Tìm hai điểm A và B đối xứng qua điểm I(2; $\dfrac{5}{2}$ ) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15.
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (0;0;-2) và đt d: $\dfrac{x+2}{2}$ = $\dfrac{y-2}{3}$ = $\dfrac{z+3}{2}$. Tính khỏang cách từ A đến d. Viết pt mặt cầu tâm A cắt d tại hai điểm B và C sao cho BC=8.
3. Trong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngọai tiếp I(-2;0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hòanh độ dương.

Chém :
Câu 1 :
$\begin{array}{l}I \in \left( d \right) \Rightarrow AB \bot \left( d \right)\\\left( {AB} \right):4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - \dfrac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - \dfrac{{31}}{2} = 0\\A\left( {a;\dfrac{{31 - 8a}}{6}} \right) \Rightarrow B\left( {4 - a;\dfrac{{8a - 1}}{6}} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2a + 4} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{8\left( {a - 2} \right)}}{3}} \right)}^2}} \\{d_{C \to AB}} = \dfrac{{\left| {2.4 + 5.3 - \dfrac{{31}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{3}{2}\\S = 15 = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\dfrac{{{d_{C \to AB}}}}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2a + 4} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{8\left( {a - 2} \right)}}{3}} \right)}^2}} = 20 \Rightarrow a = ..\end{array}$