Mấy chú cứ xoắn đi )
thằng Huy thấp hơn anh những 2 cái đầu )
Tuy ko "hôi" như anh Hân nhưng anh rất "to và cao" =))

Dìm hàng pác Kiên khi Chat vs Pu

Pic cuối thấy bạn Kiên rẽ tóc =)) Nhìn ngầu quá đi mà =))
Làm duyên vs em Pu hả
chú Kiên hồi trước tự tin nói rằng Kiên rất kute khi để tóc dài =))

=; tóc dài che mắt $\to$ ngứa thì vén qua có ý kiến gì không . =;

Sorry mà
Anh bầu chú làm hot boy vmf đó
Chú chịu ko =))
Mà công nhận là chú ngứa đúng lúc ghê nhỉ
Đúng là lúc chat vs em Pu =))

Bài 25: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $x^3 + y^3 = 1$. Tìm GTLN của:

$P = \sqrt x + 2\sqrt y $.

Bài này chưa có lời giải zz Có ai giải đc ko zz
Gợi ý:
+ Sử dụng bất đẳng thức $\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3}} \right) \geqslant {\left( {{axm + byn}} \right)^3}$
+ Từ đó, ta cần chứng minh: $\sqrt x + 2\sqrt y \leqslant \sqrt[6]{{{{\left( {1 + 2\sqrt[5]{2}} \right)}^5}}}$

Chú lớp 8 mà khiếp!
Bài 20 Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$(\dfrac{a}{a+b})^3+(\dfrac{b}{c+b})^3+(\dfrac{c}{a+c})^3 \geq \dfrac{3}{8}$

Đây là đề thi VMO zz
Cách giải của bạn Nguyễn Hữu Huy hình như sai zz Cẩn thận cái vai trò của các biến nhé zz
Có 1 bài toán mạnh hơn như sau:

Bài 29: Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
${\left( {\dfrac{a}{{a + b}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{b}{{c + b}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{c}{{a + c}}} \right)^3} + \dfrac{{5abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \geqslant 1$

Giúp em bài này cái
Bài 21
Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac{ a^{3}}{a^{2}+ab+ b^{2}}+\dfrac{ b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \dfrac{a+b+c}{3}$

Bạn thử chứng minh bài toán chặt hơn như sau:

Bài 30: Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + abc + {b^3}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + abc + {c^3}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + abc + {a^3}}} \geqslant \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Vì sao bất đẳng thức này lại chặt hơn ??? Các bạn tự chứng minh nhé zz


ps xusinst @: How old are you ??

ZZ

Bài 116: Cho $a,b,c>0$, $abc=1$.Chứng minh $BĐT$:
$\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Bài mà bạn góp hơi bị khó xơi đó ak Thực sự ko hợp với THCS.
Vì là topic THCS nên mình ko post cách dồn biến làm gì Làm cách đơn giản hơn vậy
Em nào có học phương pháp đồng bậc rồi chắc cũng hiểu đc
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$ \left( {a + b + c} \right)^5 \ge 81\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) $
Để nó đồng bậc 1 tí ta viết lại nó như sau
$ \left( {a + b + c} \right)^5 \ge 81abc\left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) $
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$ \left( {ab + bc + ca} \right)^2 \ge 3abc\left( {a + b + c} \right) $
Vậy, ta cần chứng minh:

$ \left( {a + b + c} \right)^6 \ge 27\left( {ab + bc + ca} \right)^2 \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) $ $
Đặt p=a+b+c, q=ab+bc+ca, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$ p^6 \ge 27q^2 \left( {p^2 - 2q} \right) \Leftrightarrow p^6 - 27q^2 \left( {p^2 - 2q} \right) \ge 0 $

$ \Leftrightarrow \left( {p^2 - 3q} \right)^2 \left( {p^2 + 6q} \right) \ge 0 $
Kết hợp 2 bđt trên, ta có đpcm

ZZ

Biến đổi tương đương đúng là cả một nghệ thuật.

Ta có bất đẳng thức tương đương:
$ 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ca + \frac{{{{(a - b)}^2}}}{{13}} + \frac{{{{(b - c)}^2}}}{3} + \frac{{2{{(c - a)}^2}}}{{209}} $
$ \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge \frac{{{{(a - b)}^2}}}{{13}} + \frac{{{{(b - c)}^2}}}{3} + \frac{{2{{(c - a)}^2}}}{{209}} $
$ \Leftrightarrow \frac{{12}}{{13}}{(a - b)^2} + \frac{2}{3}{(b - c)^2} + \frac{{207}}{{209}}{(a - b)^2} \ge 0 $

Bđt cuối cùng luôn đúng nên ta có ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
________________________________________________________________________________

Tiếp tục với mấy bài này nhé

Bài 104: Cho các số thực $a,b,c$ sao cho $a \ge b \ge c >0$. Chứng minh:
$ \frac{1}{{{{(a + b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c + a)}^2}}} \ge \frac{2}{{(a + c)(b + c)}} + \frac{1}{{4ab}} $

Bài 105: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$ \frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{b + 3c}} + \frac{1}{{c + 3a}} \ge \frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} $

Bài 106: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
$ \frac{1}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{4{b^2} + {c^2} + {a^2}}} + \frac{1}{{4{c^2} + {a^2} + {b^2}}} \le \frac{9}{2} $

Bài 105: Áp dụng bđt AM-GM, ta có:

$ \frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{a + 2c + b}} \ge \frac{4}{{2\left( {a + 2b + c} \right)}} $
Chứng minh tương tự, ta có đpcm
Bài 104: Biến đổi tương đương và áp dụng bđt Am-GM, ta có:
$ \frac{1}{{\left( {a + b} \right)^2 }} + \frac{1}{{\left( {b + c} \right)^2 }} + \frac{1}{{\left( {c + a} \right)^2 }} \ge \frac{1}{{4ab}} + \frac{2}{{\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)}} $

$ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\left( {c + a} \right)}} - \frac{1}{{\left( {b + c} \right)}}} \right)^2 \ge \frac{{\left( {a - b} \right)^2 }}{{4ab\left( {a + b} \right)^2 }} $
$ \Leftrightarrow 4ab\left( {a + b} \right)^2 \ge \left( {c + a} \right)^2 \left( {b + c} \right)^2 $
do đk bài toán $ \Rightarrow 4ab \ge 4b^2 \ge \left( {b + c} \right)^2 $ và $ \left( {a + b} \right)^2 \ge \left( {c + a} \right)^2 $
Đến đây, ta có bđt cần cm.

ZZ

Anh có thể giải thích cho em tại sao anh lại tìm ra được $\frac{(1-c)^4}{16-4(1-c)^2}\leq \frac{25}{576}-\frac{17c}{192}$ được không, đây chắc là kĩ thuật khá mới em cần phải học hỏi, xin cám ơn!!

Thực ra bài này giải theo tư tưởng đưa về 1 biến như bạn Ispectorgadget đã làm.
Còn chỗ em hỏi thực ra không cần dùng tới phương pháp tiếp tuyến zz
Chỗ đó đơn giản chỉ là hệ số bất định zz vấn đề là đặt $m$ và $n$ để tìm ra 2 số $\frac{25}{576}$ và $\frac{17}{192}$
Em có thể tham khảo cuốn Kim Cương của Trần Phương hoặc tham khảo ở đây nhá
http://thptcambathuo...hread.php?t=762

Mọi người thiếu vitamin G k?

Đen gì mà đen đen thế =))
Xin thưa rằng "gái ế" =))

Ngày cuối tuần rồi Các bạn hãy giải thử bài này zz Nó cần sự khéo léo là chính:

Bài 49: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a \ge b \ge c \ge 0$. Chứng minh rằng:
$$ a + 4b + 7c \leqslant 4\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right) $$

Để topic được tiếp tục, có lẽ mình sẽ tự giải bài này vậy
(Đã xóa bởi wallunint)


ps: Bỏ qua bài 50. Các bạn post tiếp bài 51 đi nhé
Bài này giải bằng p,q,r khá phức tạp. Bạn nào muốn thử sức thì cứ làm thử theo và gợi ý sau:
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại như sau:
$ \left( {1 - q - c - ab} \right)\left( {1 - q - a - bc} \right)\left( {1 - q - b - ca} \right) \leqslant \dfrac{1}{{32}} $
$ \Leftrightarrow {q^2} - 2{q^3} - r\left( {2 + r - 4q} \right) \leqslant \dfrac{1}{{32}} $

Một bài tương tự, tương đối mạnh và đẹp, đặc biệt hơn nó có một lời giải vô cùng ấn tượng.
Bài 69 Cho các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng
$$\dfrac{{{a^2}(b + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{{b^2}(c + a)}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \dfrac{{{c^2}(a + b)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \geq \dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^2b+b^2c+c^2a}+\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ca^2}$$
---------Lê Việt Hải-------------------

Bài này khá khó zz Nó sử dụng những khai triển sau:
$\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ca^2}+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^2b+b^2c+c^2a}-2=\dfrac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(ab^2+bc^2+ca^2)(a^2b+b^2c+c^2a)}$

$\sum \dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} -2 = \sum \dfrac{ab(a-b)^2}{(b^2+bc+c^2)(a^2+ac+c^2)}$

$(b^2+bc+c^2)(a^2+ac+c^2)(a^2+ab+b^2)-3(ab^2+bc^2+ca^2)(a^2b+b^2c+c^2a)=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$

Ngày cuối tuần rồi Các bạn hãy giải thử bài này zz Nó cần sự khéo léo là chính:

Bài 49: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a \ge b \ge c \ge 0$. Chứng minh rằng:
$$ a + 4b + 7c \leqslant 4\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right) $$

Mong các bạn trao đổi tích cực hơn trong topic này

Bài 33: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ a+b+c=2 $.CMR
$$ \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \le 2 $$
Nguồn:Mathlink.ro

Ta có một bất đẳng thức cũng giống bdt trên, nhưng các bạn hãy thử giải bài này bằng p,q,r.


Bài 50: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ a+b+c=1 $.CMR
$$ \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \le \dfrac{1}{32} $$

Lâu ngày mới quay lại topic này Thấy các bạn hăng hái quá zz Chắc mình về hưu thôi

Bài 43: (bài toán làm mạnh từ bài 41 mà tôi sưu tầm được)
Với mọi số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0$, ta luôn có :
$$ \dfrac{{a(b + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{b(a + c)}}{{c^2+ca+a^2}} + \dfrac{{c(a + b)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2 + \dfrac{{3{{[(a - b)(b - c)(c - a)]}^2}}}{{({a^2} + ab + {b^2})({b^2} + bc + {c^2})(c^2+ca+a^2)}}. $$
Ngoài ra bài 41 ấy có thể chứng minh bằng AM GM

Bằng phép biến đổi tương đương, ta được:
$$ \sum {\dfrac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} - 2 = \sum {\dfrac{{ab{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + ca + {a^2}} \right)}}} $$
Sử dụng kết quả trên, ta dễ dàng có (đpcm).

Tóm lại điều ta cần ở bài 42 là bổ đề
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$.CMR
$$ \dfrac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + b + 1}} + \dfrac{1}{{{c^2} + c + 1}} \ge 1 $$
Đây là một bổ đề quen thuộc và có nhiều ứng dụng
Vài ví dụ mà mình sưu tầm được
Bài 43: cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$.CMR
$$ \dfrac{1}{{3{a^2} + {{(a - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{b^2} + {{(b - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{c^2} + {{(c - 1)}^2}}} \ge 1 $$
Bài 44: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ thì
$$ \dfrac{a}{{2{a^3} + 1}} + \dfrac{b}{{2{b^3} + 1}} + \dfrac{c}{{2{c^3} + 1}} \le 1 $$
Bài 45: chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + \dfrac{1}{4}ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + \dfrac{1}{4}bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + \dfrac{1}{4}ca + {a^2}}}} \le 2 $$
Bài 46: Cho các số thực dương $a,b,c$ .CMR
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 7ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 7bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 7ca + {a^2}}}} \ge 2 $$
Bài 47: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca>0$.CMR
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^6} + 2}}{{a({a^3} + 2)}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^6} + 2}}{{b({b^3} + 2)}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^6} + 2}}{{c({c^3} + 2)}}} \ge a + b + c $$
Vẫn còn rất nhiều các bất đẳng thức là hệ qur của bài toán trên các bạn hãy tiếp tục bổ sung thêm

Bài 43, 46: 2 bài này cũng khá quen thuộc và đơn giản, ta sẽ sử dụng một số đánh giá đơn giản và bổ đề trên:
- bài 43: $$ \dfrac{1}{{3{a^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}} \geqslant \dfrac{1}{{{a^4} + {a^2} + 1}} $$
- bài 45: Đặt $$ x = \sqrt {\dfrac{a}{b}} ,y = \sqrt {\dfrac{b}{c}} ,z = \sqrt {\dfrac{c}{a}} $$
và $$ \dfrac{1}{{\sqrt {{x^4} + 7{x^2} + 1} }} \geqslant \dfrac{1}{{{x^2} + x + 1}} $$

Bài 46: Ngoài cách sử dụng bổ đề trên, ta có thể chứng minh bài toán bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:
$$ \sum {\dfrac{a}{{\sqrt {{b^2} + \dfrac{{bc}}{4} + {c^2}} }}} = \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt {{b^2} + \dfrac{{bc}}{4} + {c^2}} }}} \geqslant \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } }} $$
Vậy ta chỉ cần chứng minh: $ {\left( {a + b + c} \right)^2} \geqslant 2\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } $
Áp dụng bdt Cauchy-Schwarz, ta có:
$$ {\left( {\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } } \right)^2} \leqslant \left( {\sum a } \right)\left( {\dfrac{3}{4}abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} } \right) $$
Bất đẳng thức quy về chứng minh:
$$ \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{4} \geqslant \dfrac{3}{4}abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \geqslant \sum {ab\left( {a + b} \right)} $$

Bài 44 thì khá khó và bài 47 thì giải tương tự bài 42 của bboy114crew

ps: Anh chị nào là ĐHV Olympic thì xóa dùm mấy bài bị trùng trong topic này nha

Bài 7: Cho $a, b, c$ là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$\sum\limits_{cyc} \sqrt{\dfrac{b + c}{a}} \ge 2\left(\sum\limits_{cyc} \sqrt{\dfrac{a}{b + c}}\right).\sqrt{1 + \dfrac{(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc}{4\sum\limits_{cyc} a(a + b)(a + c)}}.$

Các bạn xem lời giải của mình ở đây

Solution

Tiếp tục nào
Bài 9: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn$a+b+c=2$. CMR:

$\dfrac{{bc}}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{{ac}}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{{ab}}{{{c^2} + 1}} \leqslant 1$

*Nhận xét : Bài này có khá nhiều cách giải rất trâu bò
Các bạn có thể tìm đc bao nhiêu cách giải cho bài này ???

Bài 2: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng $0$. CMR:

$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \geqslant 1$

Các bạn nhanh chóng giải bài này đi
Gợi ý : Chỉ sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ $(Cauchy)$

Đừng post bài nữa nhá để giải xong mấy bài trên rồi post tiếp nha

Topic về bất đẳng thức

1) Lời nói đầu :
Bất đẳng thức là một chủ đề khá thú vị trên các diển đàn hiện nay với một số lượng bài viết khá lớn. Nhưng ở VMF, số bài viết còn chưa nhiều và còn quá loảng, chủ yếu tập trung ở forum toán cấp 2 thôi Mình lấp topic này mong các bạn nhiệt tình tham gia Qua topic này, mong rằng có thể cùng các bạn thảo luận và khám phá nhiều bất đẳng thức mới.

2) Quy định post bài :
+ Chỉ được post 2 bài 1 lần. Giải xong mới được post tiếp để tránh hiện tượng Spam và loãng topic Nếu bài khó quá thì để lại từ từ giải, chuyển qua bài khác.
+ Không Spam
+ Bài giải phải đầy đủ các bước ( nói tóm tắt cũng đc).
+ Dùng từ ngữ đúng theo ngữ pháp Tiếng Việt. Và phải dùng đúng latex.
+ Bài viết vi phạm các quy định trên thì sẽ bị xóa không thương tiếc


Mở mình xin mở đầu topic bằng 2 bài toán sau

Bài 1: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng $0$. CMR:

$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ac + {a^2}}}} \geqslant \dfrac{{\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c }}{{\sqrt 3 }}$

Bài 2: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng $0$. CMR:

$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \geqslant 1$

2) Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đ�ồng thời bằng $0$. CMR:

$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \geqslant 1$

Lần sau anh dark templar và anh h.vuong_pdl giải rõ ra nhá Không thì em xóa bài đấy
2 cách giải sơ cấp cho bài này như sau
Cách 1: Chứng minh $\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{(b + c)}^3}}}} \geqslant \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

$ \Leftrightarrow 2{a^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^2} \geqslant a{\left( {b + c} \right)^3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \geqslant {\left( {b + c} \right)^2} \Leftrightarrow {\text{8}}{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^3} \geqslant {\left( {b + c} \right)^6}$

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

${a^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^2} \geqslant 2\sqrt {{a^2}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}^3}} \geqslant a{\left( {b + c} \right)^3}$

Vậy, phép chứng minh hoàn tất.

Cách 2: sử dụng bất đẳng thức AM-GM và viết lại bất đẳng thức như sau :



ps: đi học về post tiếp

E nào đà nẵng kêu anh Cường anh Duy anh Long "đầu sỏ" vào giao lưu tí đi.

Em cũng ở Đà Nẵng. Anh Cường và anh Long khó dụ lắm, mới gữi cái link cho anh Cường, ko bit ảnh có vào ko đây.


mà mong sao em đc hạnh phúc với người yêu
cậu mà đọc đc cái này thì đừng giận mình nhé !!!

hỏi a nè!

thế thì anh giúp đi nhá
nghi ngờ năng lực của anh lắm đó.
em sợ người ấy giận rồi. Chắc sau tết nói chém em mất.( Do mượn đồ mà ko trả ấy mà ) )

điều ước duy nhất mà mình muốn thành hiện thực là cuộc đời của người mình yêu hạnh phúc mãi mãi.
�”i nhớ N quá!

Têt rùi cậu ko nên nhớ N nhiều quá đó, lỡ mất Tết bây giờ
mặc dù tui cũng rất nhớ T nhưng có làm gì đc đâu.
mong sao mình và T cũng đc hạnh phúc.
có ai cho em lời khuyên với


ps: còn ai học NK ngoài tui và perfect storng thì vào đây giao lưu nhé

Bài 33 Cho $x,y$ thỏa mãn:
${x^2} + 2ax + 9 = 0$ với $a \geq 3$
${y^2} + 2by + 9 = 0$ với $b \geq 3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$
Giải :
Ta có : $ A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2} \geq 0 $
Vậy $ min_A = 0 $ khi : $ x = y ; \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} \Rightarrow x = y \neq 0 $
Với $ x = y$, hai phương trình trên có thể đưa được về dạng :
$ x^2 + 2ax + 9 = 0 $
$ x^2 + 2bx + 9 = 0 $
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có : $ ( x^2 + 2ax+ 9 ) - ( x^2 + 2bx + 9) = 0$
$ \Leftrightarrow 2ax - 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x( a - b ) = 0 $
Mặt khác : $ x \neq 0 $. Do đó a = b.
Vậy $ A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$ nhỏ nhất khi $ a = b \geq 3$
P/S : Không biết sao nữa ! Cho nhận xét đi ! À mà nhớ đánh số thứ tự với kìa GS.

Bài này mình mới sửa lại đề Bạn coi lại đi nhá
Bài này giải thế là hỏng rồi Vì khi thế $a$ và $b$ vào hai phương trính trên ta không tính được giá trị của $x$ và $y$

Ta cần chú ý rằng $x$ và $y$ trái dấu
Và ${A_{\min }} = 8\sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}};y = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}}$

Có một số bài toán cũ nhưng khá hay Các bạn hãy làm thử

Bài 33: Cho $x,y$ thỏa mãn:
${x^2} + 2ax + 9 = 0$ với $a \geqslant 3$
${y^2} - 2by + 9 = 0$ với $b \geqslant 3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$

Bài 34: Tìm số hữu tỉ $p$ sao cho pt sau có ít nhất 1 nghiệm nguyên:
${x^2} - 2\left( {p - 1} \right)x + {p^2} - 6p + 11 = 0$

ps: Hic hic Ghi nhầm đề, mong các bạn thông cảm!!

Đúng là như vậy. Về "TINH THẦN" thì giống nhau nhưng "CÁCH BIẾN ĐỔI" thì khác.
Với lại giải như vậy thì mấy bạn ThCS dễ "NHAI" hơn đó anh.
Anh có tài liệu gì về loại đặt như anh thì post lên cho em xem với.

dùng pdf đi bạn
mà hình như cái này bạn có rồi đó!!!!!!!

) Cho 3 số dương x.y.z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$ A = x (\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{yz} ) $ + $ y(\dfrac{y}{2} + \dfrac{1}{xz} )$ + $ z(\dfrac{z}{2} + \dfrac{1}{xy} )$

Bài này tớ giải ở đây rồi ( ( chả biết thi thành phố thế nào đây ( (
http://diendantoanho...rt=#entry252337

phương pháp của perfectstrong là phương pháp miền giá trị, có thể dùng để giải hầu hết các bài cực trị loại này. Nhưng không nên lạm dụng vì có những cách hay và ngắn hơn.
bài này giải thế này cũng đc. ta có :
$\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}$ = $\sqrt{x}$ - 1+ $\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}$ = $\sqrt{x}$+1+ $\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}$ - 2 = t + $\dfrac{9}{t}$ - 2
theo BĐT Cô-si, ta có t + $\dfrac{9}{t}$ - 2 2.$\sqrt{ t . \dfrac{9}{t} }$ - 2 =4
vậy Amin = 4, đẳng thức xảy ra khi x = 4







Không có điều gì đúng mà không thể chứng minh.

ps: cái máy nhà mình thế nào ấy. nó ko đọc đc công thức gõ bằng tex. Hay do tex bị hư nhỉ.