1_CMR: $n^{4} - n^{2} \vdots 12$ với $n \in Z$
2_CMR: $n^{4} - 4 n^{3} + 16 \vdots 384$ với n chẵn.
3_CMR: $n^{2} + 4n -5 \vdots 8$ với n là sô nguyên lẻ.

Bài toán sai, thử với $n=3$.

Mình nghĩ đề nên là $(n^n-1) \vdots (n-1)^2$.
Thật vậy ta có $n^n-n=n(n-1)(n^{n-2}+n^{n-3}+...+1)=\left [(n^{n-2}-1)+(n^{n-3}-1)+...+(n^2-1)+(n-1)+n-1 \right ]\vdots \left (n-1 \right )$.
Vậy $(n^n-1) \vdots (n-1)^2$.

admin có khác bài 2 sai đề thiệt mới tham gia nên chưa quen xài lắm mà sao em không gõ số mũ được trong trả lời nhanh được vậy đề phải là $n^{4} - 4 n^{3}-4 n^{2} +16n \vdots 384$.

Mod. Bữa sau gõ nhớ gõ dấu . và , nha!

mấy huynh có bài chia hết, đồng dư nào của lớp 9 send dùm em tình hình là thứ 7 ông thầy em cho kiểm tra số học

cám ơn mấy huynh nhiều nha

mà không có cơ sở gì hết em chưa bao giờ làm qua mấy bài này để thử xem sao

1. Cho $a,b,c$ là các số dương
CMR: $\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}} \le \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

2. Cho $a,b$ là số dương và $ab=1$
CMR: $a+b + \dfrac{1}{a+b}\ge \dfrac{5}{2}$

3.Cho $a,b$ là các số thực không âm và $a+b=2$
CMR: $2\leq a^{2}+b^{2}\leq a^{3}+b^{3}$

4.Tìm giá trị lớn nhất của:
$f(x)= \dfrac{x^2-2x+1989}{x^2}$
_____________________________________________________
Mod: @xuanhung
1 - Bạn cần phải học gõ $\LaTeX$ và kỹ năng trình bày trước khi post bài
2 - Tiêu đề bài viết phải rõ ràng, đúng đề mục
3 - Bạn hãy ->vào đây<- để tìm hiểu cách gõ $\LaTeX$ nhé!

Hjx em có biết đâu gõ trong word copy ra nó như vậy đó

Bài 2:
VT =$\frac{a+b}{4}+\frac{1}{a+b}+\frac{3(a+b)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)}{4(a+b)}}+\frac{3}{4}=1+\frac{6}{4}=\frac{5}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

có vẻ khá hợp lí mà sao lại có 1+1.5 vậy bạn

Giải như sau:
Bài 1: Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z$
Do đó BDT cần cm thành: $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\le \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$
Điều này hết sức đơn giản. Nhân cả 2 vế với 2 sau đó chuyển vế được:
$(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})^2+(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z})^2+(\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x})^2\geq 0$
Suy ra $VP-VT\geq 0$ suy ra $VT\le VP$ điều phải chứng minh
Dấu $"="$ khi $x=y=z$ hay $a=b=c$

Bài 2:
Ta có: $(a+b)^2\geq 4ab=4$ suy ra $a+b\geq 2$ (dấu $"="$ khi $a=b=1$ <1>)
Đặt $a+b=x$
Suy ra biến đổi VT thành $\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3x}{4}\le 2.\sqrt{\dfrac{x}{4}*\dfrac{1}{x}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{2}$
Dấu $"="$ khi $a+b=2$ lại theo <1> thì $a=b=1$
Giải thích lý do lấy $\dfrac{x}{4}$ là vì thế này:
Chia cho 1 số thích hợp để khi dùng BDT Cô si thì dấu bằng xảy ra.
Thì dụ nếu trong bài trên bạn không chia 4 mà lấy luôn cô si 2 số thì dâu "=" khi $a+b=1$ mâu thuẫn rằng ta đã chứng minh $a+b\geq 2$
Tóm lại để tìm số chia cho phù hợp thì phải xét dấu bằng xảy ra khi nào
Ở ví dụ trên dấu "=" khi $a+b=2$ khi đó $a+b=2$ trong khi đó $\dfrac{1}{a+b}$ chỉ bằng $\dfrac{1}{2}$ nên phải chia 4 ở $a+b$

Bài 3:
Sai đề do thay $a=2$ thì không đúng nữa

Bài 4: Theo em đề bài phải là tìm min. Phân thức này không có max, vì:
Biến đổi pt thành $1-(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1989}{x^2})=\dfrac{1989}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1$
Đặt $\dfrac{1}{x}=t$
Suy ra pt thành: $1989t^2-2t+1=1989(t-\dfrac{1}{1989})^2+\dfrac{1988}{1989}$ nhu vậy $min = \dfrac{1988}{1989} <=> t=\dfrac{1}{1989}$
Hay $x=1989$

mình thấy bài 3 đâu có gì đâu số thực không âm là có số 0 luôn mà

Bạn phải chú ý khi thay $a=2$ thì $a^2+b^2>2$

sorry vì đã đánh đề nhầm em sửa lại rùi đó anh

BT áp dụng.Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
Bài 2.Cho $x,y\in R, x+y=3,x \leq 1$.CM
a)$x^{3}+y^{3} \geq 9$
b)$2x^{4}+y^{4} \geq 18$
Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$
Bài 4 Cho $a,b \in R,a+b>8 ,b>3$
CMR $27a^{2}+10b^{3}>945$

Bài 1
$a^{2}+b^{2}\geq a+b \Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+2\geq a^{2}+b^{2}+2 \Leftrightarrow a^{4}+b^{4}-(a^{2}+b^{2})\geq 0$ (1)
Đặt A=$a^{4}+b^{4}, B=a^{2}+b^{2}$
Theo BDT Cauchy thì
A$\geq 2, B\geq 2$
Suy ra A-B$\geq 2-2 = 0$
VẬy (1) đúng
Đây là lần đầu em tham gia xin mấy anh chỉ bảo góp ý
Sau đây là đóng góp của em
1/ Cho x$> y$, xy=1
CMR: $(x^{2}+y^{2})^{2} \geq 8(x-y)^{2}$ (Tính luôn cách trên của em thì có tới 4 cách giải, mấy anh có cách nào hay thì post lên cho em tham khảo với)
2/Cho x,y dương và x+y=8
Tìm GTNN của biểu thức
P=$\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{y+4}$
3/Tìm GTNN của
E=$\dfrac{2x^{2}+12x+16}{x^{2}+6x+11}$

BT áp dụng.Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
Bài 2.Cho $x,y\in R, x+y=3,x \leq 1$.CM
a)$x^{3}+y^{3} \geq 9$
b)$2x^{4}+y^{4} \geq 18$
Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$
Bài 4 Cho $a,b \in R,a+b>8 ,b>3$
CMR $27a^{2}+10b^{3}>945$

Bài 4:
Ta có: a+b>8 suy ra a>8-b
Mà $27a^{2}+10b^{3}> 27(8-3)^{2}+10\times 3^{3}=945$
suy ra $27a^{2}+10b^{3}> 945$

Hôm nay, em đăng vài bài toán mọi người cùng giải nha!!!

1. Cho a=$\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$
a) Tính f(a) nếu f(x)=$\left ( x^{3}-3x-7 \right )^{2008}+2009$
b) Chứng minh: $a^{8}>3^{6}$

2.Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện:

1) $\dfrac{x-y\sqrt{2009}}{y-z\sqrt{2009}}$ là số hữu tỷ.

2) x² + y² + z² là một số nguyên tố.

3. Cho 2 số thực x, y thỏa mãn: x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất của: A=$xy^{4}+x^{4}y$.
4. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mán điều kiện:
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = $x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - x + 1$ với $\forall x \epsilon R$
Tính giá trị biểu thức: M=(a² - 9)(b² - 9)(c² - 9)(d² - 9)

Bài 3:
Ta có: x+y=1
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1-2xy$
Theo đề bài: $xy^{4}+x^{4}y= xy(x^{3}+y^{3})$$=xy(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$=$xy(-xy+1-2xy)= xy(-3xy+1)= -3(xy)^{2}+xy$
Đặt t= xy
Ta có: $-3t^{2}+t= -3(t^{2}-\dfrac{t}{3})= -3(t^{2}-2\times \dfrac{t}{6}+\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{36})= -3(t-\dfrac{1}{6})^{2}+\dfrac{1}{12}$
$Max(xy^{4}+ x^{4}y)= \dfrac{1}{12}\Leftrightarrow -3(t-\dfrac{1}{6})^{2}= 0 \Leftrightarrow t=\dfrac{1}{6}$
---------------------------------------------------------
Đây là bài 3 chứ

Mấy bài anh nghĩa cho toàn mấy dạng mới, trên diễn đàn cũng có nhiều bài lạ mà chưa bao giờ em thấy ở vĩnh long, xin chỉ giáo nhiều hơn

Giải giúp mình với các bạn
$\left\{\begin{matrix} x-y+2z=5\\ x+y+z=6\\ 2x-3y-2=-7 \end{matrix}\right.$
Cho mình xin thêm vài bài tương tự để làm nha

Có vài bài khá hay nè mọi người ơi
1.Cho $x>y$ và $xy=1$
CMR: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$. Bài này đi học thêm đóng góp được 4 cách, bạn này có cách hay thì post lên nha
2.Cho 2 số dương $x,y$ va $x+y=8$
Tìm GTNN của biểu thức
$P=\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{y+4}$
3.Tìm GTNN của $E=\dfrac{2x^{2}+12x+16}{x^{2}+6x+11}$
4.Tìm GTNN của
a/ $A=\dfrac{1}{5+2\sqrt{6-x^{2}}}$
b/ $B=\dfrac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}}$
5.Tìm $x>0$ để phân thức
$H=\dfrac{(2+x)(x+8)}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Mọi người chăm post bài vào nhá
----------------------------------------------
MOD: Để gõ $\LaTeX$ thì bạn thêm 2 dấu đô la vào 2 đầu công thức nhé.

Hổng ai làm bài 1 hết vậy
Cách 1: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2} \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x-y)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+2-8x^{2}+16-8y^{2}\geq 0 \Leftrightarrow x^{4}+y^{4}-(8x^{2}+8y^{2})\geq -18$
Mà ta thấy $x^{4}+y^{4}-(8x^{2}+8y^{2})\geq -14 > -18$ ( Theo BDT Cauchy )
Suy ra đpcm

Cách 2: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}-2xy+y^{2})\geq 0 \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}+y^{2})+16\geq 0 \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-4)^{2}\geq 0$ Đúng
Suy ra đpcm

Cách 3: Tương tự cách 2 nhưng đặt A=$x^{2}+y^{2}$ ngay từ đầu

Cách 4: Tương tự cách 1 nhưng đi ngược lại
Cụ thể: $x^{4}+y^{4}-8x^{2}-8y^{2}\geq -18\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+2xy-8x^{2}-8y^{2}+16xy\geq 0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$

Mình tính thì ra kết quả x=1, y=2, z=3 nhưng kiểm tra lại thì các kết quả trên đều đúng

nếu mà theo cách của bạn thì:

$$\left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z = 5 \\
x + y + z = 6 \\
2x - 3y - z = - 7 \\
\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z + x + y + z = 5 + 6 \\
x + y + z = 6 \\
2x - 3y - z = - 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3z = 11 \\
3x + 3y + 3z = 18 \\
2x - 3y - z = - 7 \\
\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3z = 11 \\
3x + 3y + 3z + 2x - 3y - z = 18 - 7 \\
2x - 3y - z = - 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3z = 11 \\
5x + 2z = 11 \\
2x - 3y - z = - 7 \\
\end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3z = 11 \\
5x + 2z = 11 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \\
z = 3 \\
\end{array} \right. \\
2x - 3y - z = - 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 3 \\
\end{array} \right.$$
Mình ấn trên máy tính cũng ra kết quả này...nhưng sao khi làm bằng phương pháp thế thì lại ra kết quả khác nhỉ??

$$\left\{ \begin{array}{l}
x - y + 2z = 5 \\
x + y + z = 6 \\
2x - 3y - z = - 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + y - 2z \\
5 + y - 2z + y + z = 6 \\
10 + 2y - 4z - 3y - z = - 7 \\
\end{array} \right.$$

$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + y - 2z \\
2y + z = 1 \\
- y - 5z = - 17 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + y - 2z \\
z = 1 - 2y \\
- y - 5 + 10y = - 17 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + y - 2z \\
z = 1 - 2y \\
9y = - 12 \\
\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \dfrac{{11}}{3} \\
y = - \dfrac{4}{3} \\
z = \dfrac{{11}}{3} \\
\end{array} \right.$$
Mình phân vân quá.. ai giải thích giùm cái..

Bạn chuyển vế sai thì phải 5+y-2z+y+z=6 $\Leftrightarrow$ 2y-z=1

cho $ x, y,z>0$. thoa man $x+y+z=3$ CMR:$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geqslant$

$$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$$

Học latex ở đây nè bạn: http://diendantoanho...showtopic=63583

$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geqslant \frac{x^{2}}{y^{2}+2}+\frac{y^{2}}{z^{2}+2}+\frac{z^{2}}{x^{2}+2}$
$\geqslant \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{2}(x+y+z)$ (Vì giả thiết cho ta x,y,z > 0 nên không thuộc khoảng đặc biệt $0\leqslant x,y,z \leqslant 1$)
$= \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{3}{2}$ Đúng
Suy ra đpcm

Em năm nay lớp 9 và muốn rằng lên cấp 3 thi học sinh giỏi toán và thi casio( cho cả toán và lý). Nhưng mà tự xét thấy mình ko có lợi thế vì em chỉ mới học nâng cao năm nay thoi. Cho nên em nghĩ lúc này cần phải học lần là vừa.
Bởi vậy em muốn hỏi các vấn đề cần học để thi, có tài liệu thì tốt quá ạ

Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta luôn có

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq abc(a+b+c)$

Có bạn nào biết cách giải theo kiểu tạo bình phương của 1 tổng ko, ở chỗ mình nếu dùng cách trên thì phải chứng minh lại

Có ngay:
_________________________________________________
$x^4+y^4+z^4-abc(a+b+c)$
$=\frac{ \left( {x}^{2}-{y}^{2} \right) ^{2}+ \left( {y}^{2}-{z}^{2} \right) ^
{2}+ \left( {z}^{2}-{x}^{2} \right) ^{2}+ \left( xy-yz \right) ^{2}+
\left( yz-zx \right) ^{2}+ \left( zx-xy \right) ^{2}}{2}$
$\geq 0$

Bạn có thể trình bày rõ ràng hơn được không, mình đang học chuyên đề về phần này nên cần các cách giải phong phú và chi tiết

Giải phương trình
$\frac{2^{x}}{4^{x}+1}+\frac{4^{x}}{2^{x}+1}+\frac{2^{x}}{4^{x}+2^{x}}=\frac{3}{2}$

MOD Công thức kẹp trong cặp dấu $