BT áp dụng.Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
Bài 2.Cho $x,y\in R, x+y=3,x \leq 1$.CM
a)$x^{3}+y^{3} \geq 9$
b)$2x^{4}+y^{4} \geq 18$
Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$
Bài 4 Cho $a,b \in R,a+b>8 ,b>3$
CMR $27a^{2}+10b^{3}>945$

Bài 4:
Ta có: a+b>8 suy ra a>8-b
Mà $27a^{2}+10b^{3}> 27(8-3)^{2}+10\times 3^{3}=945$
suy ra $27a^{2}+10b^{3}> 945$

BT áp dụng.Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
Bài 2.Cho $x,y\in R, x+y=3,x \leq 1$.CM
a)$x^{3}+y^{3} \geq 9$
b)$2x^{4}+y^{4} \geq 18$
Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$
Bài 4 Cho $a,b \in R,a+b>8 ,b>3$
CMR $27a^{2}+10b^{3}>945$

Bài 1
$a^{2}+b^{2}\geq a+b \Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+2\geq a^{2}+b^{2}+2 \Leftrightarrow a^{4}+b^{4}-(a^{2}+b^{2})\geq 0$ (1)
Đặt A=$a^{4}+b^{4}, B=a^{2}+b^{2}$
Theo BDT Cauchy thì
A$\geq 2, B\geq 2$
Suy ra A-B$\geq 2-2 = 0$
VẬy (1) đúng
Đây là lần đầu em tham gia xin mấy anh chỉ bảo góp ý
Sau đây là đóng góp của em
1/ Cho x$> y$, xy=1
CMR: $(x^{2}+y^{2})^{2} \geq 8(x-y)^{2}$ (Tính luôn cách trên của em thì có tới 4 cách giải, mấy anh có cách nào hay thì post lên cho em tham khảo với)
2/Cho x,y dương và x+y=8
Tìm GTNN của biểu thức
P=$\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{y+4}$
3/Tìm GTNN của
E=$\dfrac{2x^{2}+12x+16}{x^{2}+6x+11}$

Mua cuốn Bồi dưỡng năng lực tự học đi anh , nhiều bài hay lắm anh, em với thằng bạn giải cùng nên biết

cho $ x, y,z>0$. thoa man $x+y+z=3$ CMR:$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geqslant$

$$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geq \dfrac{3}{2}$$

Học latex ở đây nè bạn: http://diendantoanho...showtopic=63583

$\dfrac{x^2}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1}\geqslant \frac{x^{2}}{y^{2}+2}+\frac{y^{2}}{z^{2}+2}+\frac{z^{2}}{x^{2}+2}$
$\geqslant \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{2}(x+y+z)$ (Vì giả thiết cho ta x,y,z > 0 nên không thuộc khoảng đặc biệt $0\leqslant x,y,z \leqslant 1$)
$= \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{3}{2}$ Đúng
Suy ra đpcm

1/ Cho N=$\overline{dcba}$ CMR
a/ Khi N chia hết cho 4 ta suy ra được a+2b chia hết cho 4
b/ Khi N chia hết cho 16 ta suy ra được a+2b+4c+8d chia hết cho 16 với b là số chẵn
c/ Khi N chia hết cho 29 ta suy ra được d+2c+9a+27b chia hết cho 29

2/Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 19 đến 80 ta được 1 số A= 192021...7980. Hỏi A có chia hết cho 1980 không? Vì sao?

3/ Nói tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 46 là đúng hay sai? Vì sao?

4/ Có phải khi nhân số A với 100 số 1 và số B với 100 số 2 ta đươc tích của 2 số tự nhiên liên tiếp

5/ Tìm số dư khi chia
a/$x^{43}$ cho $x^{2}+1$
b/$x^{77}+x^{55}+x^{33}+x^{11}+x+9$ cho $x^{2}+1$

Cá nhân mình nghĩ thì bài 3 như sau: Chọn 2 số tự nhiên liên tiếp bất kì n và n+1. Ta dễ thấy n+n+1 là 2n+1 hay nói cách khác là 1 số lẻ, nếu ta nhóm 46 số tự nhiên liên tiếp thành 23 nhóm gồm 2 số tự nhiên liên tiếp nghĩa là ta có tổng 23 số lẻ, vậy suy ra mệnh đề đầu đề sai

Cố lên em.chúc e thành công nhé

Thế anh có biết trọng tâm là gì không ạ

Em năm nay lớp 9 và muốn rằng lên cấp 3 thi học sinh giỏi toán và thi casio( cho cả toán và lý). Nhưng mà tự xét thấy mình ko có lợi thế vì em chỉ mới học nâng cao năm nay thoi. Cho nên em nghĩ lúc này cần phải học lần là vừa.
Bởi vậy em muốn hỏi các vấn đề cần học để thi, có tài liệu thì tốt quá ạ

Bạn phải chú ý khi thay $a=2$ thì $a^2+b^2>2$

sorry vì đã đánh đề nhầm em sửa lại rùi đó anh

Bài 2:
VT =$\frac{a+b}{4}+\frac{1}{a+b}+\frac{3(a+b)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)}{4(a+b)}}+\frac{3}{4}=1+\frac{6}{4}=\frac{5}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

có vẻ khá hợp lí mà sao lại có 1+1.5 vậy bạn

1. Cho $a,b,c$ là các số dương
CMR: $\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}} \le \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

2. Cho $a,b$ là số dương và $ab=1$
CMR: $a+b + \dfrac{1}{a+b}\ge \dfrac{5}{2}$

3.Cho $a,b$ là các số thực không âm và $a+b=2$
CMR: $2\leq a^{2}+b^{2}\leq a^{3}+b^{3}$

4.Tìm giá trị lớn nhất của:
$f(x)= \dfrac{x^2-2x+1989}{x^2}$
_____________________________________________________
Mod: @xuanhung
1 - Bạn cần phải học gõ $\LaTeX$ và kỹ năng trình bày trước khi post bài
2 - Tiêu đề bài viết phải rõ ràng, đúng đề mục
3 - Bạn hãy ->vào đây<- để tìm hiểu cách gõ $\LaTeX$ nhé!

Giải như sau:
Bài 1: Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z$
Do đó BDT cần cm thành: $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\le \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$
Điều này hết sức đơn giản. Nhân cả 2 vế với 2 sau đó chuyển vế được:
$(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})^2+(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z})^2+(\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x})^2\geq 0$
Suy ra $VP-VT\geq 0$ suy ra $VT\le VP$ điều phải chứng minh
Dấu $"="$ khi $x=y=z$ hay $a=b=c$

Bài 2:
Ta có: $(a+b)^2\geq 4ab=4$ suy ra $a+b\geq 2$ (dấu $"="$ khi $a=b=1$ <1>)
Đặt $a+b=x$
Suy ra biến đổi VT thành $\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3x}{4}\le 2.\sqrt{\dfrac{x}{4}*\dfrac{1}{x}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{2}$
Dấu $"="$ khi $a+b=2$ lại theo <1> thì $a=b=1$
Giải thích lý do lấy $\dfrac{x}{4}$ là vì thế này:
Chia cho 1 số thích hợp để khi dùng BDT Cô si thì dấu bằng xảy ra.
Thì dụ nếu trong bài trên bạn không chia 4 mà lấy luôn cô si 2 số thì dâu "=" khi $a+b=1$ mâu thuẫn rằng ta đã chứng minh $a+b\geq 2$
Tóm lại để tìm số chia cho phù hợp thì phải xét dấu bằng xảy ra khi nào
Ở ví dụ trên dấu "=" khi $a+b=2$ khi đó $a+b=2$ trong khi đó $\dfrac{1}{a+b}$ chỉ bằng $\dfrac{1}{2}$ nên phải chia 4 ở $a+b$

Bài 3:
Sai đề do thay $a=2$ thì không đúng nữa

Bài 4: Theo em đề bài phải là tìm min. Phân thức này không có max, vì:
Biến đổi pt thành $1-(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1989}{x^2})=\dfrac{1989}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1$
Đặt $\dfrac{1}{x}=t$
Suy ra pt thành: $1989t^2-2t+1=1989(t-\dfrac{1}{1989})^2+\dfrac{1988}{1989}$ nhu vậy $min = \dfrac{1988}{1989} <=> t=\dfrac{1}{1989}$
Hay $x=1989$

mình thấy bài 3 đâu có gì đâu số thực không âm là có số 0 luôn mà

Hjx em có biết đâu gõ trong word copy ra nó như vậy đó

Có vài bài khá hay nè mọi người ơi
1.Cho $x>y$ và $xy=1$
CMR: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$. Bài này đi học thêm đóng góp được 4 cách, bạn này có cách hay thì post lên nha
2.Cho 2 số dương $x,y$ va $x+y=8$
Tìm GTNN của biểu thức
$P=\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{y+4}$
3.Tìm GTNN của $E=\dfrac{2x^{2}+12x+16}{x^{2}+6x+11}$
4.Tìm GTNN của
a/ $A=\dfrac{1}{5+2\sqrt{6-x^{2}}}$
b/ $B=\dfrac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}}$
5.Tìm $x>0$ để phân thức
$H=\dfrac{(2+x)(x+8)}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Mọi người chăm post bài vào nhá
----------------------------------------------
MOD: Để gõ $\LaTeX$ thì bạn thêm 2 dấu đô la vào 2 đầu công thức nhé.

Hổng ai làm bài 1 hết vậy
Cách 1: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2} \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x-y)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+2-8x^{2}+16-8y^{2}\geq 0 \Leftrightarrow x^{4}+y^{4}-(8x^{2}+8y^{2})\geq -18$
Mà ta thấy $x^{4}+y^{4}-(8x^{2}+8y^{2})\geq -14 > -18$ ( Theo BDT Cauchy )
Suy ra đpcm

Cách 2: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}-2xy+y^{2})\geq 0 \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}+y^{2})+16\geq 0 \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-4)^{2}\geq 0$ Đúng
Suy ra đpcm

Cách 3: Tương tự cách 2 nhưng đặt A=$x^{2}+y^{2}$ ngay từ đầu

Cách 4: Tương tự cách 1 nhưng đi ngược lại
Cụ thể: $x^{4}+y^{4}-8x^{2}-8y^{2}\geq -18\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+2xy-8x^{2}-8y^{2}+16xy\geq 0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$

Hôm nay, em đăng vài bài toán mọi người cùng giải nha!!!

1. Cho a=$\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$
a) Tính f(a) nếu f(x)=$\left ( x^{3}-3x-7 \right )^{2008}+2009$
b) Chứng minh: $a^{8}>3^{6}$

2.Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện:

1) $\dfrac{x-y\sqrt{2009}}{y-z\sqrt{2009}}$ là số hữu tỷ.

2) x² + y² + z² là một số nguyên tố.

3. Cho 2 số thực x, y thỏa mãn: x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất của: A=$xy^{4}+x^{4}y$.
4. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mán điều kiện:
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = $x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - x + 1$ với $\forall x \epsilon R$
Tính giá trị biểu thức: M=(a² - 9)(b² - 9)(c² - 9)(d² - 9)

Bài 3:
Ta có: x+y=1
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1-2xy$
Theo đề bài: $xy^{4}+x^{4}y= xy(x^{3}+y^{3})$$=xy(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$=$xy(-xy+1-2xy)= xy(-3xy+1)= -3(xy)^{2}+xy$
Đặt t= xy
Ta có: $-3t^{2}+t= -3(t^{2}-\dfrac{t}{3})= -3(t^{2}-2\times \dfrac{t}{6}+\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{36})= -3(t-\dfrac{1}{6})^{2}+\dfrac{1}{12}$
$Max(xy^{4}+ x^{4}y)= \dfrac{1}{12}\Leftrightarrow -3(t-\dfrac{1}{6})^{2}= 0 \Leftrightarrow t=\dfrac{1}{6}$
---------------------------------------------------------
Đây là bài 3 chứ

Mấy bài anh nghĩa cho toàn mấy dạng mới, trên diễn đàn cũng có nhiều bài lạ mà chưa bao giờ em thấy ở vĩnh long, xin chỉ giáo nhiều hơn

1/ CMR: $$\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$$ với a,b > 0, Khi nào thì dấu bằng xảy ra?

2/Tìm giá trị lớn nhất của $$\frac{2m+1}{m^{2}+1}$$, với m là số bất kì

mấy huynh có bài chia hết, đồng dư nào của lớp 9 send dùm em tình hình là thứ 7 ông thầy em cho kiểm tra số học

Bài toán sai, thử với $n=3$.

Mình nghĩ đề nên là $(n^n-1) \vdots (n-1)^2$.
Thật vậy ta có $n^n-n=n(n-1)(n^{n-2}+n^{n-3}+...+1)=\left [(n^{n-2}-1)+(n^{n-3}-1)+...+(n^2-1)+(n-1)+n-1 \right ]\vdots \left (n-1 \right )$.
Vậy $(n^n-1) \vdots (n-1)^2$.

admin có khác bài 2 sai đề thiệt mới tham gia nên chưa quen xài lắm mà sao em không gõ số mũ được trong trả lời nhanh được vậy đề phải là $n^{4} - 4 n^{3}-4 n^{2} +16n \vdots 384$.

Mod. Bữa sau gõ nhớ gõ dấu . và , nha!

cám ơn mấy huynh nhiều nha

mà không có cơ sở gì hết em chưa bao giờ làm qua mấy bài này để thử xem sao

1_CMR: $n^{4} - n^{2} \vdots 12$ với $n \in Z$
2_CMR: $n^{4} - 4 n^{3} + 16 \vdots 384$ với n chẵn.
3_CMR: $n^{2} + 4n -5 \vdots 8$ với n là sô nguyên lẻ.

Giải phương trình
$\frac{2^{x}}{4^{x}+1}+\frac{4^{x}}{2^{x}+1}+\frac{2^{x}}{4^{x}+2^{x}}=\frac{3}{2}$

MOD Công thức kẹp trong cặp dấu $

Đặt $2^{x}=a(a>0)$ thì $4^{x}=a^2$.Vậy phương trình ban đầu tương đương với:
$$\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{a+1}=\frac{3}{2} \iff 2a^2-3a^3+3a^2-a-1=0 \iff (a-1)(2a^3-a^2+2a+1)=0$$
Như vậy ta đã có 1 nghiệm $a=1 \iff x=0$.Việc còn lại chỉ là giải phương trình bậc 3 sau:
$$2a^3-a^2+2a+1=0$$
Xét $f(a)=2a^3-a^2+2a+1(a>0)$
$f'(a)=6a^2-2a+2=(a-1)^2+5a^2+1>0;\forall a>0$.
Vậy hàm số $f(a)$ đồng biến trên $(0;+\infty)$.Suy ra:$f(a)>f(0)=1>0$
Như vậy phương trình $f(a)=0$ vô nghiệm.Suy ra phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $\boxed {x=0}$.

Ý anh là $$4^{x}$$ là sao ạ theo em nghĩ thì $$2^{2^{x}}$$, nhưng như vậy thì ko dc như anh nói