Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2x-y=2 \\2x^{2}+xy-y^{2}=1 \end{array}\right.$

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x^{4}+y^{4}=1 \\x^{5}+y^{5}=1 \end{array}\right.$

1. Tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O). M là trung điểm AC. BM cắt (O) tại Q. C/m BQ $\geq$ 2AQ
2. Tam giác ABC vuông tại A. Trên tia AB, AC lấy E, F tương ứng sao cho BE = CF = BC. Chứng minh rằng với mọi M nằm trên đường tròn đường kính BC ta đều có MA + MB + MC $\leq$ EF
3. Tam giác ABC nội tiếp (O;R). Tìm M thuộc cung BC không chứa A sao cho 2011.MB +2012.MC đạt giá trị nhỏ nhất

Cho đường tròn (O). Hai đường kính AB và MK không vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy E,F sao cho OE = OF. Vẽ dây MC đi qua E, dây MD đi qua F. Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại S.
Chứng minh SK là tiếp tuyến của (O)

Bài 1:
$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{x^{3}} = y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x - 4y)(y-2x-4) = 36\end{array}\right.$
Bài 2:
$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{\frac{2x}{y}}+\sqrt{\frac{2y}{x}} = 3\\ x-y+xy = 3 \end{array}\right.$
Bài 3:
$\left\{\begin{array}{l} (4x^{2}+1)x + (y-3)\sqrt{5-2y}=0 \\ 3x^{2}+4y^{2} = 4\end{array}\right.$
Bài 4:
$\left\{\begin{array}{l} x^{2}=(y+1)(x+1)^{2}\\y = \sqrt{\frac{2x^{2}+1}{x+1}} \end{array}\right.$
Bài 5:
$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-xy+y^{2}=3(x-y)\\x^{2}+xy +y^{2}=7(x-y)^{2}\end{array}\right.$
Bài 6:
$\left\{\begin{array}{l}x^{2}y+2x-3y+1=0 \\ 2x^{2}y+y^{2}(x-4) + 2x +y = 0\end{array}\right.$

Chứng minh không thể dùng hai hình chữ I (2 ô vuông), 3 hình chữ T (4 ô vuông) để xếp kín 1 hình vuông 4x4

B1: Chứng minh:
$(x+y+z)^{2}(xy+yz+xz)^{2}\leq 3(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(x^{2}+xz+z^{2})$
với mọi $x,y,z\geq 0$
B2: $a,b,c\geq 0$ Chứng minh:
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq \frac{8(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$
B3: $a,b,c>0$ Chứng minh:
$\sqrt{\frac{a}{b+a}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
B4: x,y>0 x+y+xy = 3
$\frac{3x}{1+y}+\frac{3y}{1+x}+\frac{xy}{x+y}\leq x^{2}+y^{2}+\frac{3}{2}$
B5: x+y+z = 3 CM:
$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq 4$

1. Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại M, N. PQ là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn này (P thuộc (O) và Q thuộc (O') ). MN cắt PQ tại I (N nằm giữa I,M). PN kéo dài cắt (O') tại K. CM MQ là phân giác của góc PMK
2. Cho (O) và dây AB. I là điểm chính giữa cung nhỏ AB. 2 dây IC, ID của (O) cắt AB lần lượt tại M,N
a) Chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC và đtròn ngt tgiác AND tiếp xúc với nhau tại A

Đề bài: Tính diện tích một ngũ giác lồi, biết diện tích của của các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều bằng 1

\[\left\{ {
\begin{array}{l}
x^4 + 2{\rm{x}}^3 y + x^2 y^2 = 2{\rm{x}} + 9 \\
x^2 + 2{\rm{x}}y = 6{\rm{x}} + 6 \\
\end{array}} \right.\]

Mọi người giúp mình các bài này với:
1. Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Gọi $(O,r);(O_1 ,r_1 );(O_2 ,r_2 )$ lần lượt nội tiếp tam giác ABC, tam giác ABH, tam giác ACH
a) CMR ${\rm{r}} + r_1 + r_2 = AH$
b)CMR $r^2 = r_1 ^2 + r_2 ^2$
c)Tính $OO_2$ biết AB = 3, AC = 4
2. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D sao cho AC.BC=2AD.DB
Chứng minh tam giác ABC vuông tại C
3.Gọi h là đường cao ứng với cạnh huyền, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông. CM $2 < \dfrac{h}{r} \le \sqrt 2$

Đã ai làm được câu g chưa ah?
Đề có chút sai sót, mng thông cảm
Đề hoàn chỉnh đây ạ:
g) $\sqrt {x - 1} + x - 3 = \sqrt {4{\rm{x}}^2 - 10{\rm{x}} + 16} $

Cảm ơn các bạn nhé!

a) $2(x^2 - 3{\rm{x}} + 2) = 3\sqrt {x^3 + 8} $
b) $4{\rm{x}}^2 - 8{\rm{x}} + \sqrt {2{\rm{x}} + 3} = 1$
c) $2{\rm{x}}^2 - 6{\rm{x}} - 1 = \sqrt {4{\rm{x}} + 5} $
d) $\sqrt {8{\rm{x}} + 1} + \sqrt {3{\rm{x}} - 5} = \sqrt {7{\rm{x}} + 4} + \sqrt {2{\rm{x - 2}}} $
e) $x^2 + \sqrt {x + 5} = 5$
f) $3 + \sqrt {3 + \sqrt x } = x$
g) $\sqrt {x - 1} + x - 3 = \sqrt {4{\rm{x}}^2 - 10{\rm{x}} + 16} $
Mng giúp mình mấy bài giải phtr này với

Giải phương trình:
$5\sqrt {2{\rm{x}}^3 + 16} = 2(x^2 + 8)$

Cho m,n là các số nguyên dương và $\sqrt 7 - \dfrac{m}{n} > 0$
Chứng minh: $\sqrt 7 - \dfrac{m}{n} > \dfrac{1}{{mn}}$

Cho x+y+z=2
Chứng minh $\sqrt {x^2 + \dfrac{1}{{x^2 }}} + \sqrt {y^2 + \dfrac{1}{{y^2 }}} + \sqrt {z^2 + \dfrac{1}{{z^2 }}} \ge \dfrac{{\sqrt {97} }}{2}$

Có bài phương trình vô tỷ này em nghĩ mãi ko ra, mọi người giúp em giải với nhé
Phương trình đây:
$\sqrt {x + 3} + \sqrt {2{\rm{x}} + 1} = \sqrt {2{\rm{x}}^2 + 7{\rm{x}} + 3}$

Vẽ $AK \bot AB(K \in BC)$
$ = > \widehat{K{\rm{A}}H} = 90^0 $
$= > \widehat{K{\rm{A}}C} + \widehat{CAH} = 90^0 $
Mà $\widehat{ACB} - \widehat{B} = 90^0 = > \widehat{K{\rm{A}}C} + \widehat{K{\rm{A}}B} - \widehat{B} = 90^0 = > \widehat{K{\rm{A}}C} + 90^0 - \widehat{B} = 90^0 = > \widehat{K{\rm{A}}C} = \widehat{B}$
Mặt khác $\widehat{K{\rm{A}}C} + \widehat{CAH} = \widehat{K{\rm{AH}}}{\rm{ = 90}}^0 = > \widehat{B} + \widehat{CAH} = 90^0$
Mà $\widehat{B} + \widehat{BCH} = 90^0 = > \widehat{CAH} = \widehat{BCH}$ (đpcm)

Ps: Hình hơi nhỏ, bạn thông cảm

$x \ge 1$
Trường hợp $x=2$ là lời giải.
Nếu $1 \le x < 2$ thì $\sqrt[3]{{x+6}}+\sqrt{x-1}> x^{2}-1$
Nếu $x>2$ thì $\sqrt[3]{{x+6}}+\sqrt{x-1}< x^{2}-1$

Giải thích rõ hơn các bất đẳng thức xảy ra trong bài đc ko?, em chưa rõ.
Cảm ơn vì đã giúp đỡ!

Đề bài : Cho a,b,c thỏa mãn:
$\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} = 1$
Giải :
$\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} = 1$

$ \Leftrightarrow (\dfrac{c^2 + a^2 - b^2 }{2ac} - 1) + (\dfrac{a^2 + b^2 - c^2 }{2ab} - 1) + (\dfrac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} + 1) = 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{c^2 + a^2 - b^2 - 2ac }{2ac} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2 - 2ab}{2ab} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2 + 2bc}{2bc} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{( a - c )^2 - b^2}{2ac} + \dfrac{( a - b )^2 - c^2}{2ab} + \dfrac{( b + c )^2 - a^2}{2bc} = 0$

$\Rightarrow \dfrac{(a - c - b)(a - c + b)}{2ac}+\dfrac{( a - b - c )(a - b + c)}{2ab} + \dfrac{( b + c - a )( b + c + a )}{2bc } = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{a - b - c}{2}[\dfrac{a - c + b }{ac} + \dfrac{a - b + c}{ab} - \dfrac{a + b + c}{bc}] = 0$

$\Rightarrow (a - b - c)(\dfrac{ab - bc + b^2}{abc} + \dfrac{ac - bc + c^2 }{abc} - \dfrac{a^2 + ab + ac}{abc}) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{( a - b - c )(ab - bc + b^2 + ac - bc + c^2 - a^2 - ab - ac)}{abc} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a - b - c)(b^2 - 2bc + c^2 - a^2 )}{abc} = 0$

$ \Rightarrow (a - b - c)[( b - c)^2 - a^2] = 0 \Leftrightarrow (a - b - c )( b - c -a )( b - c + a ) = 0$

$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} a = b + c\\a = b - c\\ a = c - b\end{array}\right.$
Với mỗi giá trị a như vậy, thay vào từng biểu thức trên. Ta sẽ có điều phải chứng minh.

P/S: Ai có cách ngắn hơn thì đóng góp nhé !

Thks bạn nhiều nhé!

Cho $x_1 ,x_2 ,...,x_{11}$ thỏa mãn $1 < x_1 < x_2 < ... < x_{11} < 1000$
Chứng minh rằng $\exists i \in \left\{ {1,2,3,...,10} \right\}$ sao cho:
$x_{i + 1} - x_1 - 1 < 3\sqrt[3]{{x{}_ix_1 + 1}}$

Mod: bạn coi lại đề với.

Giúp em bài giải pt này với:

$\sqrt[3]{{x + 6}} + \sqrt {x - 1} = x^2 - 1$

Cho a,b,c thỏa mãn:
$\dfrac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}} + \dfrac{{c^2 + a^2 - b^2 }}{{2ac}} + \dfrac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}} = 1$
Chứng minh thì hai phân thức có giá trị bằng 1 và 1 phân thức có giá trị là -1

Giúp em nhé mng!

Chứng minh rằng:
$A = \dfrac{1}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^3 }} + \dfrac{1}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^3 }} + ... + \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^3 }} < \dfrac{{246}}{{2007}}$
Các bác giúp em cái, thks nhiều