Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Hãy tìm GTNN của:

$C = \dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a + c - b}} + \dfrac{c}{{b + a - c}}$

Em xin lỗi a xusint nhà! Em xem lầm đề phải là x,y không âm mới đúng. E sửa lại đề rùi

?????????????????????????????????????

\[\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - n + \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} = \sqrt {n + 2} - n\]

Cho em hỏi anh Hân là khi anh trục căn thức ở mẫu thì $\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - \sqrt {n}+ \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $ chứ.
Nếu mà làm đúng thì phải là:
$\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - \sqrt {n}+ \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $$ = \sqrt {n + 2} - \sqrt n < \dfrac{1}{{50}} \Leftrightarrow n + 2 < \dfrac{1}{{25}}\sqrt n + n + \dfrac{1}{{2500}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{4999}}{{2500}} < \dfrac{1}{{25}}\sqrt n$ $\Leftrightarrow \dfrac{{4999}}{{100}} < \sqrt n \Leftrightarrow 2499,0001 < n$
Theo đề bài thì n nguyên dương nhỏ nhất: $\Rightarrow n = 2500$

1, CHo tam ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB,AC lần lượt ở E và F.
a, CHứng minh rằng O,E,F thẳng hàng
b, Tiếp tuyến với (O) tại E và F cắt BC lần lượt tại M và N. Tính số đo góc MON
c, Cho AB=4cm,AC=8cm. Tính diện tích tứ giác MEFN
2, Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và A là góc nhỏ nhất trong các góc của tam giác. CHứng minh: Nếu đường cao AH bằng đường trung tuyến BM của tam giác thì góc B ko lớn hơn 60 độ.

TÌm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn :
$\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} < 0,02$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $xy$ biết x;y là nghiệm của phương trình:
$${x^4} + {y^4} - 3 = xy(1 - 2xy)$$

Cách AM-GM đây :
$(a+1) + 2 \overset {AM-GM} {\ge} 2\sqrt{2(a+1)}$
Lập các BĐT tương tự :
$\Rightarrow \sum a + 9 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
hay $12 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a+1} \le 3\sqrt{2}$
$\Rightarrow Q.E.D$

Mình vẫn chưa hiểu lắm về bài làm của bạn? Có ai có cách chứng minh bằng AM-GM mà dễ hiểu hơn không

Bài này áp dụng AM-GM ko biết có ra không? Anh nào làm hộ em với!

1, Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB và C là điểm bất kì thuộc đường tròn ( C khác A và B). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CB và CA. Tia OE và OF lần lượt cắt đường tròn tại N và M. Kẻ $NP \bot AC$ tại P.
a, Chứng minh: ND là tiếp tuyến của (O)
b, Đường thẳng OE cắt (O) ở K ($K \ne N$). Chứng minh rằng: tứ giác ADEK là hình bình hành.
c, Chứng minh khi C di chuyển trên đường tròn tâm O thì MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
2, Cho hình thang cân ABCD $BC\parallel AD$. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC,AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì. PN cắt BD tại Q. Chứng minh rằng MN là tia phân giác $\angle PMQ$

Cho x,y là số không âm. Thỏa mãn: ${x^2} + {y^2} = 1$

Tìm GTNN của $D = (1 + x)\left( {1 + \dfrac{1}{y}} \right) + (1 + y)\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)$

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3:

Chứng minh:
$\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} \le 3\sqrt 2$

BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé mình đang cần cái chứng minh của holder

Chứng minh BĐT 18
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \dfrac{{{x^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} + \dfrac{{{m^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} \ge \dfrac{{3axm}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)}}}}$

Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với $(b;y;n)$ và $(c;z;p)$ rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.

Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)

Đặt ${a_n} = \sqrt {6 + \sqrt {6 + \sqrt 6 + ....} }$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{a_1} = \sqrt 6 < 3 \\
{a_2} = \sqrt {6 + {a_1}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
{a_3} = \sqrt {6 + {a_2}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
........ \\
{a_n} = \sqrt {6 + {a_{n - 1}}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
\end{array}$
Hiển nhiên
${a_{100}} > \sqrt 6 > 2$
Như vậy : $2 < {a_{100}} < 3$
do đó ${a_n} = x=3$
Đây là bài trích trong Toán nâng cao và phát triển toán 9. (Tập 1)

Theo ý kiến cá nhân của mình thì có lẽ cái đề bài mà bạn đưa có đôi chút vấn đề. Mình xin được sửa lại như sau (thay $-3012$ bằng $+3012$ và $x-2009$ bằng $y-2009$) :
$$\sqrt {x - 2008} + \sqrt {y - 2009} + \sqrt {z - 2010} + 3012 = \dfrac{1}{2}(x + y + z)$$
Và đây là lời giải của mình:
Điều kiện xác định: $x\ge 2008, y\ge 2009, z\ge 2010$.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với
$x+y+z-6024-2\sqrt {x - 2008} -2 \sqrt {y - 2009} -2 \sqrt {z - 2010}=0$
$\Leftrightarrow (x-2008-2\sqrt{x-2008}+1)+(y-2009-2\sqrt{y-2009}+1)+(z-2010-2\sqrt{z-2010}+1)=0$
$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-2008} -1\right )^{2}+\left ( \sqrt{y-2009} -1\right )^{2}+\left ( \sqrt{z-2010} -1\right )^{2}=0$
$\Leftrightarrow x=2009,y=2010,z=2011$
Vậy có duy nhất bộ 3 số $(x,y,z)$ thoả mãn điều kiện đề bài là $(2009,2010,2011)$.

Nhận xét: từ lời giải trên, ta thấy nếu giữ nguyên đề bài cũ là -3012 thì không có bộ số $(x,y,z)$ thoả mãn điều kiện đề bài, bởi vì vế trái luôn luôn nhỏ hơn vế phải.

Cảm ơn bạn nha! Chắc mình nhầm đề__ Do là ghi lại của cô giáo! Thanks nhiều!

Chứng minh rằng có duy nhất 3 số thực (x;y;x) thỏa mãn:
$\sqrt {x - 2008} + \sqrt {x - 2009} + \sqrt {z - 2010} + 3012 = \dfrac{1}{2}(x + y + z)$

Anh nào cho cái topic này vào một file để e dow về với!

Giải các phương trình vô tỉ sau:

$a,\sqrt {x + {x^2}} + \sqrt {x - {x^2}} = x + 1$

$b,\sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } + \sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } = 5$

$c,\sqrt {x + 2 + 3\sqrt {2x - 5} } + \sqrt {x - 2 - \sqrt {2x - 5} } = 2\sqrt 2$

$d,\sqrt {2 - {x^2}} + \sqrt {{x^2} + 8} = 4$

$e,\sqrt {2x + 4 - 2\sqrt {2 - x} } = \dfrac{{12x - 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}$

$f,\sqrt {{x^2} - \dfrac{1}{4}\sqrt {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} } = \dfrac{1}{2}\left( {2{x^3} + {x^2} + 2x + 1} \right)$

$g,\dfrac{{3x}}{{\sqrt {3x + 10} }} = \sqrt {3x + 1} - 1$

$h,\sqrt {4{x^2} + 5x + 1} + 3 = 2\sqrt {{x^2} - x + 1} + 9x$

$i,\sqrt {7 - x} + \sqrt {x + 1} = {x^2} - 6x + 13$

$k,\sqrt {2x + \sqrt {x + 1} + 1} + \sqrt {2x - \sqrt {x + 1} } = 2\sqrt {x + 1} + 1$

$l,\sqrt {5{x^3} + 3{x^2} + 3x - 2} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - \dfrac{1}{2}$