Nếu anh đưa một số phương trình hàm đơn giản, ví dụ như: 
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$$f(x+1)=f(x)+1$$
Thì đương nhiên anh sẽ dễ dàng đưa ra nghiệm là $f(x) = x$
 
Nhưng khi anh đưa một bài phương trình hàm kiểu như:
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:
$$f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1$$
Thì anh khó có thể nhẩm hàm $f(n)$ thỏa, thậm chí đáp án của nó là tận 3 kết quả, một kết quả là hàm hằng, một cái là hàm tính theo $n$ , còn một cái là một biểu thức chứa số mũ tính theo $n$
 
P/s: Nhưng em vẫn chưa thật sự hiểu vì sao anh lại đề nghị như vậy, vì thật sự nếu anh yêu cầu em đưa ra một bài toán mà không cần chứng minh vẫn đưa ra được đáp án, thì thực chất nó không còn là giải toán, mà chỉ là việc anh đi nhẩm nghiệm để rút ngắn thời gian tìm đáp án cho bài toán ấy.

Pco nói rõ hơn 2 nghiệm không phải hằng định nghĩa như thế nào.

Em thấy có nhiều đề thi lớp 9 người ta còn cho giải phương trình đường cong elliptic. Vậy thì có thể giới thêm chủ đề giới thiệu về mật mã chẳng hạn. Cái này em nghĩ phải suy nghĩ cẩn thận.

Sẽ rất tuyệt nếu nói được đường cong elliptic. Anh thấy khá khả quan là ta có thể phát triển được lý thuyết về đường cong xấp xỉ mấy chương đầu của Fulton bằng cách thừa nhận Hilber's basis theorem. Không biết liệu thế này có đủ với vutuanhien?

Ồ đúng là lúc đọc anh không nghĩ đến môi trường định lý. Hiện tại chưa có giải pháp nhưng anh nghĩ định lý và tài liệu tham khảo đánh số bằng tay cũng được vì số lượng trong bài viết thường không nhiều như phương trình. Sau này anh sẽ tìm cách thêm vào (ý tưởng là sẽ hack chức năng đánh số của MathJax nhưng không biết có khả thi hay không, nhưng một điều chắc chắn là sẽ mất khá nhiều thời gian đấy). Nếu anh em có thể đóng góp nhiều bài viết chất lượng thì mình cũng có thể nghĩ đến việc ra đời một blog Toán học chẳng hạn, lúc đó thì chất lượng trình bày sẽ có thể tốt hơn rất nhiều so với trên diễn đàn. Tất nhiên đây đều là những việc của tương lai, mình có thể thảo luận trong một chủ đề khác để khỏi làm loãng chủ đề này của em.
 

 
Anh rất vui vì em đã đặt câu hỏi cho vai trò của diễn đàn (điểm thứ 5 và 6) trong cuộc thảo luận này. Việc tổng hợp các tài liệu đúng là một việc nên làm. Nếu làm được thành các chuyên đề (như trước đây đã từng làm) thì rất tốt, nhưng việc dễ nhất (lại rất có ích) đó là đúng như em nói, nên có các topic tổng hợp để cho mọi người dễ tìm (như là mục lục vậy). Sắp tới sẽ tiến hành việc này (nhưng trước hết là cần tìm một người tình nguyện để dẫn dắt dự án này). Còn về điểm thứ 6:
 

 
Anh cũng chưa thấy rõ ràng lắm là diễn đàn có thể làm những gì cụ thể. Xin mời mọi người cùng cho thêm ý kiến.
Thực ra thì lợi thế mà em nói, "có rất nhiều người đang làm Toán nghiêm túc", anh cũng không biết là có đúng không nữa. Anh thì lại cho rằng hiện tại trở ngại lớn nhất chính là nhân lực. Theo quan sát của anh thì những năm gần đây diễn đàn chỉ mạnh về Toán THCS và THPT (số thành viên tham gia Toán Olympic, Toán Đại Học thì ít hơn nhiều, Nghiên Cứu thì lại càng ít). Nếu có nhiều người giỏi thì anh nghĩ là mình cũng có thể làm được kha khá việc hay.
Chắc hôm nào anh em điểm danh lại phát, xem có những ai, đang học và làm việc gì ở đâu. Biết đâu đấy...
 
Ít ngày tới anh sẽ thảo luận thêm về các điểm khác ra trong post đầu tiên của em.

Về việc định hướng diễn đàn, em đang có ý tưởng là có lẽ cần mở ra một box và viết thử nghiệm lý thuyết vào đó. Cái đầu tiên cần viết chắc là lý thuyết tập hợp, vì lý thuyết tập hợp và logic được dạy trong nhiều tài liệu cơ bản và nâng cao, nhưng dường như chẳng đóng vai trò gì lớn; ngoài ra cần phát triển phần này vừa đủ để mình có thể nói sang giải tích hay hình học. Em thấy cái này có thể thay đổi diễn đàn rất lớn, nhưng không loại trừ theo hướng tiêu cực; nhưng em quan niệm một box như vậy chỉ dùng để thử nghiệm, nếu sai hay lạc hướng cũng sẽ không có hại gì. Nếu box đó được thành lập, em nghĩ vẫn giữ cách chia cũ gồm 2 phần, gồm tài liệu + các bài toán và vấn đề. Trong phần tài liệu sẽ có 2 chủ đề, một chủ đề để thông báo tiến độ viết bài cũng như bình luận của các thành viên, còn chủ đề còn lại có một post duy nhất cập nhật tài liệu. Phần các bài toán và vấn đề vẫn giữ chức năng như cũ.

@manguish Mình lại thấy bạn không có gì phải buồn cả vì nếu bạn thấy cách diễn đạt nào đó có ích cho bạn thì sẽ có những người đọc cũng cảm thấy có ích, và không ai có thể viết tốt mà không có quá trình học hỏi được. Còn về việc học tập thì chuyện viết bài này không liên quan lắm vì việc đó được đánh giá thông qua điểm số, còn nếu bạn muốn tự đánh giá thì có thể thông qua việc làm bài tập. Ở mức độ toán như sở thích, bạn không cần suy nghĩ quá nhiều. Tuy nhiên mình thấy bạn có nhiều chấp niệm với toán quá mà lại còn có vẻ đang muốn tự học đại số! Mình cảm thấy một người có thể tự học được lý thuyết trường thì nhiều khả năng có thể học tốt ở đại học. Nếu bạn có vấn đề gì đó ngăn cản việc học nghiêm túc, mình nghĩ bạn có thể đi nghe giảng ở các lớp học của trường Tự nhiên chẳng hạn chứ không cần đăng ký học thực sự.  

Có lẽ @maguish cần đặt ra một định nghĩa và một mệnh đề để người đọc dễ theo dõi. Chẳng hạn như đặt hẳn ra một định nghĩa thế nào là số dựng được và một mệnh đề chứng minh rằng một điểm là dựng được nếu và chỉ nếu các toạ độ của chúng là số dựng được.

Mình đọc qua thì thấy bài viết có quá nhiều chỗ khá nghiệp dư nên mình không tiện bình luận một cách chi tiết, hi vọng tác giả tự kiểm tra lại và chau chuốt hơn. Mình tin hoàn toàn có thể dành thêm 1-2 ngày để sửa mà bài viết vẫn có chỗ để cải thiện. Một số lời khuyên: không nên trộn quan điểm cá nhân/góc nhìn chủ quan vào những chỗ có nội dung toán học vì nó khiến người đọc rất mất tập trung. Bắt đầu vào chứng minh mình vừa đọc vừa thấy ức chế vì mình muốn xem nội dung của chứng minh của Landau chứ không phải muốn biết bạn nghĩ gì, hoặc nếu muốn đưa chúng vào thì hãy diễn đạt sao cho chúng trông khách quan; không viết hoa viết tuỳ tiện, có thể in đậm hoặc viết nghiêng nếu muốn nhấn mạnh; không xuống dòng tuỳ tiện. Bạn có thể đọc thử một cuốn sách như đại số tuyến tính của Nguyễn Hữu Việt Hưng để tham khảo cách trình bày.

 

Chứng mình trên dường như tránh được sử dụng bậc của mở rộng trường và có thể là một bài tập khá tốt cho sinh viên toán năm 3 đang học lý thuyết Galois vì dù sao bậc của mở rộng trường chỉ là một phần nhỏ thông tin của mở rộng, tuy nhiên mình không thấy được trong bài toán dựng hình cụ thể nào mà điều này có ích. Nhiều khả năng một ví dụ như vậy sẽ có phần nhân tạo, nhưng sẽ rất hay nếu được thấy một ví dụ.

 

Tại một điểm trong chứng minh này vẫn cần sử dụng cơ sở của không gian véc tơ (Mệnh đề 2). Mình tin bạn có thể viết một chứng minh khác sử dụng bậc của mở rộng trường. Thực ra chỗ màu nhiệm là ở việc diễn đạt bài toán dựng hình sang một bài toán trong lý thuyết trường nên có thể công việc này khá buồn chán. Tuy nhiên quá trình tự khám phá của bạn nhiều khả năng sẽ cho ra một bài viết có ích cho học sinh phổ thông. Mình tin đó sẽ là một đóng góp lớn cho diễn đàn.

@manguish Về bài viết, mình hoàn toàn ủng hộ việc giải thích cặn kẽ vì như vậy nó càng tiếp cận được nhiều người đọc. Mình không nghĩ là vấn đề nằm ở chỗ bạn giải thích chi tiết. Nếu bạn cảm thấy như vậy thì có thể cách giải thích đó chưa tốt hoặc chỗ bạn nhắm vào giải thích hoá ra lại vô duyên. Về vấn đề chi tiết thì chẳng hạn như ánh xạ là gì ? Mình nhớ đến lớp 10 mình mới biết về khái niệm này. Và nếu không học chuyên thì chắc cũng rất khó có cơ hội đọc về khái niệm ánh xạ, nên nếu xác định rằng bài viết này cho học sinh phổ thông có thể hiểu được thì không hẳn. Vì vậy nếu nói về giải thích cặn kẽ thì có rất nhiều chỗ bạn cần làm thêm chứ không có giải thích thái quá, và cần quỹ thời gian lớn mới làm được như vậy.

Mọi người có thể tham khảo thêm cuốn sách này của Milne https://www.jmilne.o...mese.pdf#page29

Để em thử anh. Nhưng mà cho em cái deadline dài dài    Nếu được không biết anh Khuê (Nesbit), anh Hân (perfectstrong) và anh Đạt (WhjteShadow) viết một vài bài giới thiệu cho em với các bạn phổ thông / đại học biết tí mùi vị của toán ứng dụng ạ?

 

 

Em luận án tốt nghiệp là làm về giả thuyết Weil về số Tawagawa đó anh https://toanqpham.gi...io/Tamagawa.pdf

Đến một lúc em cũng đã đụng đến cuốn sách của Lurie một tí (khoảng 1/2 của chương 1 chỉ để hiểu geometric formulation của giả thuyết này), nhưng chỉ dừng đó vì kiến thức hình học đại số của em yếu quá. Nếu anh thích em có thể thử trình bày những gì em biết về giả thuyết Weil cổ điển, rồi anh giúp em hiểu mấy đoạn sau trong sách Lurie? 

 

Higher category thì có em cũng thử đọc một tí, nhưng sau cũng dừng lại vì đọc thiếu động lực. Thật ra em cũng thấy có nhiều người khuyên là không nên đọc sách HA và SAG của Lurie trừ khi thật sự cần dùng kiến thức đó. Mà em hiện giờ thì không biết dùng cái này vào cái gì em quan tâm 

 

Tớ cũng muốn học về six operations (không nhất thiết là $l$-adic, topological version tớ mà hiểu cũng là tốt rồi, cũng không biết có khác nhau lắm không?) vì cái này có áp dụng cho lý thuyết biểu diễn được (nên họ mới gọi geometric representation theory). Theo cảm tưởng thì cái này như một công thức, không nhất thiết phải biết mọi chi tiết, chỉ cần biết đủ dùng là được rồi? 

ok, để khi nào anh rảnh a sẽ nói chi tiết thêm việc trình bày. 

 

Em không hỏi anh về six operations, nhưng anh cũng tiện trả lời giúp. Anh đoán cái six operations mà em cần sẽ ở trong phạm trù dẫn xuất nên em chỉ cần bắt đầu với việc học phạm trù dẫn xuất và sau đó đọc thẳng cái six operations trong setting của em. Nếu em muốn thêm motivation thì có thể đọc Grothendieck duality (có rất nhiều tài liệu về cái này), vì ý tưởng ban đầu của six operations xuất phát từ Grothendieck nhằm tổng quát hoá đối ngẫu Serre. Em có thể bắt đầu bằng cái slide này https://www.imo.univ...llusie/Xian.pdf

Thế là anh không bắt nhịp bọn này rồi, bọn Pháp cứ phải chém gió giữa giờ, giờ học, giờ ăn, cả lúc đi về. Hồi năm ba em học lý thuyết Galois ở trường, thầy (you know who) bảo lớp em học chả khác gì bọn Pháp, đại khái là hay đi muộn, tài tử, lại còn hay chém gió. Không như bọn Đức, làm cái gì chuẩn chỉ, đúng giờ, trưa nghỉ còn không hút thuốc uống cafe. Chả biết có phải em bị ngấm cái thói đấy vào máu không, nhưng giờ làm gì ngày cũng phải hai cốc cafe chém gió, ngắm trời đất chém gió toán (nếu có bạn) xong mới làm việc được.

Anh không nói rõ nên chắc Bằng tưởng tượng nhầm rồi =)). Hơn nữa nếu suy nghĩ kỹ thêm thì những việc chú nói đề cập ở trong lớp như trên thì anh và có lẽ hầu hết sinh viên tự nhiên đều như vậy :3. Còn thói quen kia thì anh nghĩ cái thói quen đó là của riêng chú chứ không khái quát liên quan gì đến người Pháp được đâu, dễ nhất chú hỏi bạn chú có ngắm trời đất không, và tìm một người kỵ cafe làm toán ở Pháp thì cũng không khó. Anh nghĩ cũng đừng nên tin những khái quát người Đức như thế này thế nọ, vì anh nghĩ nhưng định kiến như vậy khả năng cao là sai bét (chẳng hạn chú có thể lên search các video quảng cáo của viện Bonn).

 

Anh không muốn nói rõ thêm việc la cà mà bà giáo bảo anh làm vì không cần thiết. Chú cần hiểu ai đi làm thì tự người đó có lựa chọn cá nhân để sao cho công việc của họ tốt nhất. Ví dụ ở chỗ anh có rất nhiều giáo sư nổi tiếng không lên lab bao giờ, như vậy họ không bao giờ có cơ hội làm những việc mà chú nói. Chả lẽ vì vậy họ không phải người Pháp! Bản thân anh thấy anh làm tốt nhất là khi nhận lương Pháp rồi về Việt Nam mà làm =)). Anh chỉ lấy ví dụ qua để chú thấy là đôi khi những bài đăng mà nội dung toán học của nó không được mọi người quan tâm lắm cũng không phải vấn đề quá lớn và nó có thể nói tạo ra không gian mới cho diễn đàn nhằm động viên chú viết sau khi chú hỏi anh có cần hay không thôi. Khi anh đọc bài của chú cũng chỉ có thời gian đọc hiểu một hai định nghĩa thôi vì anh còn bận làm cái của anh, và nó không hề có ích gì ngay lập tức cho anh cả, nhưng tất nhiên ta không chỉ sống chỉ nhằm đào cho ra bằng được kết quả =)), đấy là một cái anh học được từ thầy hướng dẫn.  

 

Tiện mình note lại thì hôm nay anh nghe một người kể trong condensed mathematics của Scholze có một phiên bản của six operations mà gần đây một học trò của Scholze mở rộng nó cho p-adic rigid spaces. Từ đó anh hơi nghi ngờ là thực sự có ai tìm ra một cơ sở chung cho tất cả các six operations không vì chẳng hạn chả lẽ tất cả đều suy ra đơn giản từ định lý kia Ayoub hay là việc áp dụng định lý đó cũng không tầm thường nên việc nghiên cứu vẫn còn active ? (có thể thử search “six operations arxiv”). Có lẽ Bằng nên giải thích ý của mình đầy đủ hơn.

Em đọc $l$-adic để học về six operations thôi, thực ra mỗi khi học em sẽ note lại nên không biết anh hay mọi người có hứng thú em sẽ lập một topic về $l$-adic cohomology xong sẽ note lại nội dung mình học hàng tuần.

Anh cũng cần 4 operations (thực ra cái anh đã làm có một bước xây dựng left adjoint cho hàm tử $Lf^*$), nhưng thực ra chả tính đối đồng điều bao giờ. Tuy nhiên, mình cứ đăng lên thôi, coi như xây dựng một môi trường văn hoá cho diễn đàn. Như anh thấy mọi người ở Pháp hay nói toán học còn có culture nữa (anh bị nói vậy khi anh nói nhiều công việc ở khoa thừa thãi không có ích cho nghiên cứu =)) ). Ví dụ như ở chỗ anh mọi người rất thích la cà với nhau, mặc dù anh cũng chưa cảm được lắm.

Không biết giả thuyết Weil trên trường hàm khác gì giả thuyết Weil bình thường không nhỉ? Vì dạo này em cũng đang đọc $l$-adic cohomology và giả thuyết Weil.

 

Từ giờ Toàn kiểm duyệt bài viết bài nào tệ thì viết tus cho tớ với anh Nxb biết   vì đúng tớ toàn kiểu introductory nên không hiểu thì có vấn đề thật.

Giả thuyết Weil này là giả thuyết Weil về các số Tamagwa chú ơi, còn anh đoán cái Bằng bảo là giả thuyết Weil về  hàm zeta. Nhưng mà trong cuốn sách kia lại có một chương về đối đồng điều $l$-adic nên có liên quan tới cái chú đang làm rồi đấy. =))

Em vào trường này thì đang định xin học về chương trình Langlands ạ. Trường đại học ở Úc em học có nhiều người làm trong mảng lý thuyết biểu diễn ((geometric) representation theory) nên hồi đó em cũng cố theo học mảng này. Nói thế thôi ạ chứ em cũng quèn lắm, cũng chỉ có kiến thức mỗi mảng một ít, chưa cố đi chuyên sâu vào cái nào cả. 

 

Giờ em cũng chỉ đang cố đọc hiểu bài của Bằng với anh nxb viết ạ. Rồi nếu mà thấy thạo toán bằng tiếng việt một tí nữa thì em sẽ xin viết một bài ạ. 

Anh viết bài để cổ vũ mọi người tìm hiểu về higher category, nhưng hoá ra đế đọc còn không hiểu thì bài viết tệ thật. Thực ra bài viết về $\infty$-phạm trù đó anh tổng hợp lại từ Kerodon, nhưng có lẽ viết ít hơn và formal hơn như giới thiệu trong quyển sách higher topos của Lurie thì tốt hơn. 

 

Toàn định theo Langlands thì chắc cũng có kiến thức về nhóm đại số đúng không ? Anh đang định đọc cuốn sách về giả thuyết Weil trên trường hàm của Lurie :https://www.math.ias...wa-abridged.pdf. Anh xem qua thì thầy phần về higher category khá đơn giản và vì là sách nên được nhắc lại rất cẩn thận, trùng lặp khá nhiều với HA là cái anh học được một ít rồi nên anh ước chừng nếu ai đó học về nhóm đại số thì sẽ dễ dàng đọc được chương 1 Introduction của cuốn sách. Nếu có hứng thú thì bảo anh nhé.

 

Thực ra anh đang mới học về spectral algebraic geometry, nhưng thấy khối lượng lớn quá (anh cần nhảy đến khoảng trang 400 của SAG của Lurie), và anh cũng bị lost luôn từ khoảng mấy chục trang đầu tiên của SAG nên anh nghĩ nếu nhìn ngay lập tức được một ứng dụng của lý thuyết thì sẽ có cảm quan tốt hơn về một đống định nghĩa trong SAG. Tuy nhiên giả thuyết Weil kia không phải cái anh quá quan tâm nên hi vọng có thể cộng tác được với ai đó để học thêm. 

Ồ vậy hả em. Vậy là do anh chưa thực sự đọc cuốn nhập môn giải tích nào trước đây cả nên mới thấy thích cách viết xây dựng lý thuyết trong sách của Tao. Nói ra thật xấu hổ nhưng có vẻ như con đường học Toán của anh nó chạy ngược chiều, hồi đại học thì chỉ học được sơ sơ về Toán đại cương, sau này rồi mới bắt đầu bổ túc thêm, nhưng giải tích lại bắt đầu với cuốn Measure, Integration & Real Analysis của Sheldon Axler, anh cứ tưởng nó cũng là nhập môn. Chắc phải dành chút thời gian để đọc nhanh cuốn của Tao. 

Đọc cuốn sách như vậy là quá đủ rồi anh ơi. Giải tích mình cũng đâu cần nhiều. Ví dụ bạn bè xung quanh em trừ ai nghiên cứu giải tích chứ lâu lắm rồi cũng không có tích phân hay đạo hàm gì cả :3

Thiết nghĩ khi xưa làm sao archimedes nhận ra sự tồn tại của số pi mà không có giải tích nhỉ, thậm chí ông còn đưa ra được công thức tính chu vi và diện tích hay tất cả chỉ là suy đoán nhỉ?

Bạn nói thừa thãi quá. Đâu có thứ gì cần phải thiết nghĩ ở đây. Tất nhiên ác si mét không dùng giải tích thì sẽ dùng phương pháp khác để tính. Không phải trong phần những điều lý thú hoặc sách nâng cao hồi cấp 2 đã dạy tính số pi cũng như công thức diện tích đường tròn? Người ta dạy bạn thế nào thì Ác Si Mét cũng làm như thế. Còn cái sự tồn tại của số pi nó không phải ác si mét mà cả thế giới người ta có nhu cầu tính toán diện tích và chu vi hình tròn thì người ta nghĩ ra, ngay cả Việt Nam cổ đại cũng biết tính và lấy pi xấp xỉ 3. Ác Si Mét tiên tài nhưng chả cần phải thiết nghĩ để mà biết tại sao có những công thức như vậy. 

Bấy lâu nay học toán nhưng em vẫn không biết cách chứng minh chặt chẽ câu hỏi: liệu số pi có tồn tại? Lỡ như trong 1 hình tròn này tỉ số giữa đường kính và chu vi là số pi nhưng trong một hình tròn khác tỉ số đó khác số pi thì sao? Em mong ai đó có thể chứng minh chặt chẽ giúp em bằng một cách sơ cấp để học sinh cấp 3 hiểu được và đồng thời ( nếu được) nói thêm một chút về phương pháp xấp xỉ số pi của Archimedes ( em xin cảm ơn).

Mình cho là nếu bạn học tới lớp 12 rồi chẳng hạn thì sẽ có đủ kiến thức để giải thích điều này. Đầu tiên, ta định nghĩa 2$\pi$ là chu vi của đường tròn đơn vị. Tiếp theo, độ dài đường cong được định nghĩa thông qua tích phân, nên bạn tính được ngay chu vi đường tròn bán kính R là 2$\pi$ R. 

Thực ra thì đường cong khép kín là ảnh liên tục của tập compact $[0;1]$ nên nó cũng compact và tất nhiên bị chặn.
Bông tuyết Von Koch bị chặn nhưng nó có chu vi vô hạn.
Lý do hình tròn có chu vi hữu hạn là do hình tròn là hình lồi. Một đa giác lồi nằm trong một đa giác lồi khác thì chu vi đa giác nằm trong nhỏ hơn, có thể chứng minh bằng cách thu nhỏ đa giác ngoài hết cỡ rồi dùng bđt tam giác, từ đó chứng minh được tổng các đoạn thẳng (với hình tròn) hữu hạn (cho hình tròn vô hình vuông chứa nó chẳng hạn).

Không hiểu bạn đang cố giải thích điều gì vì bạn giải thích tập bị chặn nhưng rồi lại lấy ví dụ tập bị chặn có “độ dài vô hạn”?!

 

Tất cả những kiến thức này có thể được học chẳng hạn như mình kỳ 2 năm nhất ở khtn Hà Nội. Do không phải tất cả mọi người học toán nên mình sẽ nói thêm ở đây. Mình nhận có một số kỹ năng cơ bản dường như mọi người không có. Chẳng hạn để chứng minh một đối tượng nào đó có một tính chất nhất định thì cái đầu tiên các bạn cần phải hiểu là định nghĩa.

 

“All the other vehicles of mathematical rigor are secondary [to definitions], even that of rigorous proof.”-Yuri Manin

 

Định nghĩa của bị chặn là nằm trong hình cầu, định nghĩa của độ dài như của poset là một tổng các số, giải thích cái kiểu gì để từ nằm trong hình cầu thì suy ra được độ dài hữu hạn, chưa kể tự bạn lấy ra một phản ví dụ? Ngoài ra bạn dùng một số từ không ai hiểu như “khép kín”?

 

Tiếp theo các bạn được học tích phân từ cấp 3, nhưng dường như vẫn không ai hiểu rõ vì tích phân lấy ý tưởng từ độ dài cũng như diện tích, và các bạn vẫn cứ thắc mắc và giải thích lăng nhăng cả lên những thứ đã được học. SGK giải tích lớp 12 đã viết rất “rõ” định nghĩa tích phân: nếu f là hàm trên đoạn [a,b] thì các bạn chia nhỏ [a,b] ra thành các đoạn $[x_i,x_{i+1}]$ và tổng $\sum f(x_i)(x_{i+1}-x_i)$ xấp xỉ diện tích của hình nằm dưới $y=f(x)$ và khi $max(x_{i+1}-x_i)$ đủ bé thì giới hạn mà nó tiến tới được gọi là tích phân của hàm $f$. Định nghĩa này có thể viết chặt chẽ hơn như sau:

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ được gọi là khả tích nếu tồn tại $S$ sao cho với mọi $\epsilon > 0,$ tồn tại $\delta$ sao cho với mọi bộ $a=t_0<t_1<\dots<t_n=b$ và với mọi $x_i\in [t_i,x_{i+1}],$ ta có $$|\sum f(x_i)(t_{i+1}-t_i)-S|<\epsilon.$$

Khi đó, $S$ được gọi là tích phân của $f$ trên đoạn $[a,b].$

 

Vậy nên khi các bạn được học công thức để tính độ dài đường cong từ lớp 12 bằng tích phân mà bây giờ biết bao các em các cháu đều thuộc lòng để đi thi đại học thì nó thực sự chính là “ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG.” Làm ơn đừng có phức tạp hoá vấn đề và khơi lại cái Newton, Leibniz, và biết bao nhiêu nhà toán học đã giải quyết từ thế kỷ 19. Người ta chứng minh cho các bạn công thức độ dài $y=f(t)$ là:

$$\int_{a}^{b}\sqrt{1+|f’(t)|^2}$$ thì trong trường hợp này để giải thích được tại sao độ dài lại hữu hạn, các bạn sử dụng tính liên tục của đạo hàm. Thế các bạn có tách đường tròn ra làm hai phần khả vi liên tục hay không ạ? Còn nếu chứng minh công thức trong sách lớp 12 không làm các bạn thoả mãn? bởi vì:

 

“In fact, barring direct mistakes, the most crucial difficulty with checking a proof lies usually in the insufficiency of definitions”-Yuri Manin

 

Thế cái gì các bạn thiếu trong trường hợp này? Chính là định nghĩa tích phân, cái mà mình đã viết ra rồi. Khi đó các bạn hoàn toàn có thể viết lại một chứng minh chính xác, ý tưởng không khác gì sgk nâng cao lớp 12 (sách giáo khoa toán phổ thông được viết bởi những người có kiến thức cũng không tầm thường đâu ạ). Nếu không chứng minh được theo định nghĩa chính xác của tích phân, các bạn có thể google, còn nếu vẫn có chỗ không hiểu thì hãy đặt câu hỏi trên box toán giải tích của diễn đàn. Còn lời khuyên đối với Lemonjuice: sách vở bây giờ rất nhiều không cần hỏi ai trên diễn đàn cả, vì diễn đàn có nhiều thành phần và có khi toàn nhận được những câu trả lời linh tinh, cũng chả ai có trình độ như mấy ông viết sách. Bạn ra ngay hiệu sách phía bên tay trái đại học khoa học tự nhiên Hà Nội, mua giải tích 1, 2, 3 của Trần Đức Long về đọc trong đó có tất cả những gì bạn cần. Còn nếu quá đam mê thì đăng ký học toán ở đại học khoa học tự nhiên Hà Nội.

 

Nói thêm mình mong diễn đàn không phải nơi thảo luận những điều vô bổ. Các bạn viết linh tinh vào trong bài thi, người chấm cho bạn 0 điểm. Gửi bài lên tạp chí chỉ cần cách viết lủng củng? Dù cho bạn là thiên tài mà không chịu sửa thì cũng bị reject. Các bạn đi học thầy cô uốn nắn thế vứt rác lên diễn đàn lại không có hậu quả gì. Mình thấy thực sự khó hiểu.

Đầu tiên, em không hề nói một hình bị chặn thì sẽ có chu vi hữu hạn, em chỉ nói mọi đường cong khép kín trên $\mathbb{R}^2$ đều bị chặn, tức bạn ngtien không cần giả sử nữa. Và bạn ngtien dường như giả định rằng đường cong bị chặn nên có có độ dài hữu hạn, nên em đưa phản ví dụ. Anh nên hiểu rõ ý của em trước khi phán xét loạn lên như vậy.
Và cho em hỏi làm sao để tính độ dài đường cong không khả vi tại mọi điểm?! Nhìn chung em xin lỗi vì làm phức tạp vấn đề, nhưng anh có thể chỉ ra được chuyện này có sai ở đâu hay không?!

Xin lỗi bạn mình chưa đọc kỹ. Và mình cũng không phản đối định nghĩa độ dài đường cong ở chỗ nào cả. Mình còn trích dẫn sgk toán nâng cao lớp 12 mà :3.

Anh thấy poset đưa ra phản ví dụ quá hay. Trong Toán học nếu chỉ dựa vào trực giác thì nhiều khi sẽ sai hoàn toàn. Một ví dụ khác không liên quan tới câu hỏi của topic nhưng về trực giác: $0.999\dots = 1$ (hôm qua thấy Hân nhắc lại cho Hoang Huynh về ví dụ này, thấy hay nên anh mượn tạm). Hoàn toàn không hề trực quan đúng không?

 

Bài của Nxb tuy hiểu sai ý của poset nhưng cũng rất đáng để đọc (việc hiểu sai ý hay đọc nhầm rất dễ xảy ra, poset không nên quá bận tâm, hôm qua anh cũng mới đọc nhầm một bài trong box BĐT). Mình khuyên Lemonjuice và Hoang Huynh nên đọc kĩ bài của Nxb, và nếu thấy chỗ nào không rõ có thể hỏi thêm.

 

Ngoài ra nếu hai bạn có thể đọc được tiếng Anh thì có cuốn Analysis của Terence Tao (gồm hai tập), xây dựng giải tích hoàn toàn từ số 0 lên luôn, rất thích hợp cho những người đam mê muốn tìm tòi thêm như Lemonjuice và Hoang Huynh. Hãy xem trích đoạn trong phần mở đầu của tập 1:

 

tao_analysis_I.png

 

Cuốn này mình muốn đọc từ lâu nhưng tiếc là vẫn chưa có thời gian vì phải học những thứ khác trước cần hơn cho công việc.

 

Không biết tiếng Việt có cuốn nào tương tự như vậy không nhỉ, bạn nào biết xin chỉ giúp.

Em thấy nội dung 2 tập sách của Tao cũng giống như giải tích 1,2,3 của Trần Đức Long. Em nghĩ nhập môn giải tích trên thế giới nơi nào cũng giống nhau, bởi vì giải tích là một nhánh đã phát triển từ lâu trong toán học. Sách nhập môn họ đều bắt đầu từ lý thuyết tập hợp rồi đưa ra một cách xây dựng của tập số thực, rồi các chủ đề sau đó cũng y hệt. 

Tải thử SGK lớp 12 hiện tại về kiểm tra xem thì trúng phóc:

 

giaitich12.png

 

Thật là nguy hiểm! Định nghĩa chính thống dùng tổng trên và tổng dưới cũng rất trực quan và dễ hiểu đối với học sinh, tại sao họ không dùng nhỉ?

Anh ơi định nghĩa của họ đúng rồi ạ vì hàm $f$ liên tục thì $f$ sẽ luôn có nguyên hàm. Dạy học sinh chỉ nên dạy như vậy thôi và khi đi xa hơn cũng không có hàm nào mà không liên tục cả. Vì họ cũng có chuyên môn cao nên họ mới có khả năng linh hoạt trong định nghĩa như vậy. Định nghĩa dùng tổng Darboux thì họ cũng có gợi ý trong sgk nâng cao rồi. Ở đây họ làm vậy hoàn toàn đảm bảo chính xác về mặt toán học mà vẫn cung cấp đầy đủ kiến thức về tích phân. Còn bây giờ giả sử sử dụng định nghĩa chính xác của tích phân, thì phải đi thừa nhận một đống định lý không chứng minh được vì thời gian học lớp 12 có hạn, làm vậy là rất dở. Kể cả khi học toán cao hơn nữa, thì việc quan tâm tới các hàm không liên tục, không khả vi vv… nó là những bài toán rất lâu của giải tích và chỉ được cho vào để làm bài tập nhằm xác định xem sinh viên có hiểu bản chất của định nghĩa không, kéo dài không quá 1 kỳ để học những thứ đó. Làm như sgk lớp 12 sẽ giúp cho những ai học về các lĩnh vực khác không phải toán sẽ vẫn có thể bắt kịp những kiến thức cao hơn của toán học mà không cần phải quan tâm các vấn đề không mang tính thực hành, ngay cả đối với các nhà toán học.

Em ơi, hiển nhiên "định nghĩa" của họ là đúng bởi vì đó là cái mà topic này đang thảo luận mà em: "the second fundamental theorem of calculus". Như anh nói ở trên là định nghĩa dùng tổng cũng rất trực quan và dễ hiểu đối với học sinh, có thể phát biểu định nghĩa này trước, sau đó phát biểu định lý mà không cần chứng minh, vẫn rất ngắn gọn và súc tích, và theo anh là không hề có "tác dụng phụ" nào gây hại. Ít nhất nếu được học như vậy thì nếu học sinh tra tài liệu khác, như Wikipedia chẳng hạn, thì sẽ không bỡ ngỡ (ví dụ như Hoang Huynh ở trên chẳng hạn). Anh đang tò mò không biết SGK của Pháp dạy thế nào, tìm sơ qua trên Google không thấy có PDF mà không dám tìm sâu hơn 

Không được đâu anh ạ vì nguyên tắc là càng chứng minh được càng nhiều càng tốt. Nếu viết một định nghĩa ra mà không ai dùng được thì rất dở. Em trình bày toán cho những người không cùng nhánh ví dụ như một trong hai directeur của em hoặc người khác trình bày cho em thì đều phải đưa ra định nghĩa mà tất cả mọi người đều có thể thao tác được trên đó. Ví dụ có lần em trình bày định nghĩa iđêan chia hết iđêan khác, thì thay vì dùng từ chia hết để mọi người liên tưởng lại tính chia hết trong số học, mà dùng đúng khái niệm của nó thì bị thầy mắng cho té tát nên viết định nghĩa không ai dùng được không phải trò đùa đâu ạ. Em tin rằng những người viết sách tự họ là những người cảm thấy có trách nhiệm lớn nhất. Giáo dục phổ thông bị mọi người và phụ huynh kêu ca nhưng chắc chắn nó không nát theo kiểu sách được viết ra mà tính sư phạm không được đảm bảo. Bà giáo Phd của em cũng bắt em trình bày cho bà ấy để sao cho bà ấy hiểu chứ không phải vứt một đống định nghĩa technical mà không dùng được cái nào hết. Trong chương trình toán lớp 12 học sinh đã học tính nguyên hàm thuần thục rồi với vai trò hoàn toàn rõ ràng xem như là phép tính ngược của đạo hàm thì không có lý do nào để không tiếp tục phát triển tích phân từ nguyên hàm.

 

Với cả em thấy em, anh hay tất cả các thành viên khác của diễn đàn chả có ai bỡ ngỡ cái này, chúng ta chỉ bỡ ngỡ khi đọc những thứ vớ vẩn của Hoang Huynh thôi nên mình kêu gọi diễn đàn không thảo luận những câu hỏi kểu này của Hoang Huynh, không tất cả đều trở thành ngớ ngẩn. Ví dụ như em vừa đọc wikipedia từ đầu đến cuối phần tích phân thì chả thấy có cái thứ gì không rõ ràng cả, chúng ta tự tạo ra vấn đề khi đọc đúng đầu đuôi mà Hoang Huynh chụp ảnh ghép lại rồi vứt lên diễn đàn.

 

P/S: Em xin nói thêm là càng ngày những câu hỏi của HoangHuynh càng ảnh hưởng tiêu cực lên diễn đàn. Diễn đàn nên là nơi thảo luận những nội dung toán học thực chất chứ không phải là nơi cãi lộn. Đáng lẽ từ lúc Hoang Huynh đăng chứng minh đl Fermat của ông ấy lên là đã đủ hiểu mức độ tâm thần của ông này và cần ban từ rất rất nhiều câu hỏi trước đó rồi.

Nếu Grothendieck, người tạo ra topos, còn sống và vẫn làm toán thì em nghĩ ông sẽ không ủng hộ quyết định làm cho Huawei này, có khi còn phản đối gay gắt

 

 

 

 Em có đọc ra trên blog này thì hình như là hợp tác hai bên giữa Huawei và IHES, nên nếu mà có ai thua thì chắc là người Mỹ. Trích một đoạn trên blog:

 

 

Không biết Lafforgue nói đùa hay nói thật

 

PS: And Nxb làm mảng gì bên $\infty$-cat thế ạ?

Anh không hiểu lắm Mỹ liên quan ở đây theo logic nào, vì chuyện đang giữa Pháp và Tầu. Theo cách lập luận này thì cả thế giới thua? Còn lý do Huawei đầu tư vào Pháp theo anh chả liên quan gì đến những điều blog này nói. Rõ ràng là Tầu muốn học công nghệ và khoa học từ các nước phát triển, nhưng không làm được với Mỹ thì tất nhiên phải đầu tư vào châu Âu. Ở châu Âu thì Pháp là điểm đến lý tưởng, vì có lực lượng lao động phát triển, nhưng lương thấp nên chắc chắn không thể cưỡng lại được. Thông tin mình thu thập được thì tự mình kết luận, đâu cần dựa vào ai đó để nói cho mình biết. 

https://www.youtube....h?v=EqrNLuN5Bfk

Ngoài ra sắp tới sẽ có thể thêm những nhà toán học sau nghiên cứu cho Huawei:

2018 Fields Medal Alessio Figalli, 1998 FIelds Medal Maxim Kontsevich, 1994 Fields Medal Pierre-Louis Lions.

Toàn đọc thiếu rồi em. Hợp tác với IHES thì đã có từ nhiều năm nay, không có gì mới. Tin mới ở đây là Lafforgue cùng 3 Fields medalists khác về đầu quân (làm nhân viên) cho Huawei. Mức độ khác nhau nhé em. Và anh cũng giống Nxb, không hiểu Mỹ có liên quan gì ở đây 

 

 

Điều này thì Nxb nhầm rồi nhé. Chỉ Huawei không làm được (nữa) ở Mỹ thôi, nhưng Tàu không chỉ có mỗi Huawei. Dù không có số liệu cụ thể nhưng anh cá là số người mà Trung Quốc gửi sang Mỹ nhiều hơn toàn bộ số người mà họ gửi sang châu Âu và châu Úc cộng lại, thậm chí có thể nhiều hơn vài lần. Họ đi "học hỏi" khắp nơi và Mỹ luôn là mục tiêu số 1. Riêng về ngành AI thì số lượng người Trung Quốc trong các công ty hay lab lớn ở Mỹ nhiều không đếm xuể.

Anh ơi, em nói không học được không có nghĩa là không học được gì cả, và loại đầu tư cũng phải là đầu tư gì đó liên quan đến ý kiến trong bài blog mà Zaraki trích dẫn kia vì em không thích cái ý kiến đó, vì họ đang cố giải thích việc Pháp nhận được đầu tư kia theo cái câu của Lafforgue. Em thấy em chỉ nhầm nếu Tầu thuê được mấy huy chương Fields của Mỹ về làm cho họ. Em đính chính lại ý em nói ở đây.

 
Anh không hiểu ý của em lắm (đặc biệt về cái "loại đầu tư"), nhưng anh nghĩ là em hiểu nhầm ý tác giả blog rồi. Để anh trích lại đầy đủ hơn:

 

 
Lưu ý từ cuối cùng của bài post, đó là từ quan trọng nhất: "Ouch!", dịch ra là "Úi chà", còn dịch dân dã hơn chút nghĩa là: "Đệt!" Tác giả cũng không đồng ý với Lafforgue đâu em.
 
 

 

Đúng rồi, nếu em nói vậy thì nghe hợp lý hơn. Anh cũng nghĩ là rất khó để mời những nhà khoa học top-của-top của Mỹ về làm. Top-của-top ở đây theo nghĩa là không chỉ rất nổi tiếng trong giới khoa học mà còn trong công chúng. Còn nếu chỉ tầm nổi tiếng trong ngành thôi thì đã có đầy người làm cho các công ty của Trung Quốc ở Mỹ.

 

(Tuy nhiên có một ngoại lệ mà anh biết đó là Andrew Ng đã từng về đầu quân cho Baidu. Andrew Ng được xem là một trong những ông Trùm của AI, từng vào top 100 người ảnh hưởng nhất thế giới của tạp chí Time, rất nổi tiếng, mọi người có thể check thêm trên Wikipedia để biết. Nhưng mà bố mẹ ông là người Hồng Kông, dù ông sinh ra ở Anh và là công dân Mỹ, nên thôi xem như cũng là gốc Tàu, ngoại lệ này không tính.)

Ý em là chẳng hạn xây dựng một viện nghiên cứu khoa học như vừa rồi ở Pháp. Các công ty thuê người của quốc gia khác thì cũng chỉ là hệ quả bình thường của đối tác thương mại, nhưng khoa học cơ bản thì trước giờ toàn do nhà nước bao cấp.  Em thấy nó nhạy cảm như những loại tài sản công khác như điện, nước, vv… Em không khẳng định nó có xảy ra hay không, nhưng giả sử ban đầu chỉ là hợp tác cùng có lợi rồi dần dần dẫn tới học thuật của nước mình phụ thuộc vào quốc gia khác thì nó sẽ biến thành loại quyền lực mềm rất nguy hiểm. Không đâu xa chẳng hạn như ở Việt Nam hiện nay có tập đoàn như kiểu Vingroup đầu tư rất lớn vào khoa học, giả sử chính phủ thấy thế mà giảm hoặc ì ạch không tăng đầu tư công vào khoa học để giải quyết các vấn đề tồn đọng từ lâu như lương bổng; đầu tư của của nó lớn hơn đầu tư của nhà nước, nhà khoa học sinh ra tâm lý biết ơn/phụ thuộc, không thể đóng góp phản biện hoặc tệ hơn, chính nhà nước sau khi hưởng lợi thì tìm cách nuôi dưỡng, bảo vệ nó, hệ quả là dần dần vô thức hoạt động như một nhà nước theo chủ nghĩa tư bản độc quyền.

 

Còn về việc em không biết blog nói kháy thì do em không vào blog đọc mà là đọc cái trích dẫn của Zaraki.