Trên đường trung tuyến AM của tam giác ABC lấy điểm K sao cho AK=3KM. Đường thẳng BK cắt AC tại P. Tính $\frac{PA}{PC}$

mà mình thấy chúng tương tự nhau đó bạn à

Là gì vậy bạn???

Mình làm mẫu cho bạn câu 1 rồi bạn xử nốt chỗ còn lại nhé
Từ $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ và cắt $BM, AB$ lần lượt tại $P,K$.
Kéo dài $AN$ cắt $BC$ tại $H$
Để thuận tiện, đặt $AD = BC = x$, khi đó ta có:
$HC = \dfrac{1}{3} x = AM$
Vậy $\dfrac{MS}{SB} = \dfrac{AM}{BH} = \dfrac{\dfrac{1}{3}x}{\dfrac{4}{3}x} = \dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow \dfrac{MS}{MB} = \dfrac{1}{5}$
Lại có $\dfrac{MP}{MB} = \dfrac{AK}{AB} = \dfrac{3}{4}$
Vậy $\dfrac{MS}{MP} = \dfrac{4}{15}$
$\Rightarrow \dfrac{MS}{SP} = \dfrac{4}{11} = \dfrac{AS}{SN}$
Mình tính nhẩm từ đầu chý cuối nên chắc sai đó )

Bài 2 cũng rất rất dễ thui: ta có tam giác AQD đồng dạng với BQM (g-g) suy ra DQ=2QB suy ra S_QDCM = (1-1/3.1/2).1/2 S_ABCD
Xin lỗi mn vì ấn rùi nhưng cửa sổ Latex k hiện ra,

Thanks các bạn nhiều ♥
Các bạn có thể nhằn giúp mình nốt bài 3 và 4 không mọi người T^T

1) Cho hình bình hành ABC. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM=2MD và điểm N trên cạnh CD sao cho DN=3NC. BM và AN giao nhau tại S. Tính $\frac{AS}{SN}$
2) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1. Đường thẳng đi qua A và trung điểm M của BC giao BD tại Q. Tính diện tích CDQM]
3) Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC, lấy tương ứng M,N,P sao cho tỉ lệ $\frac{MA}{MB}=\frac{NB}{NC}=\frac{PC}{PA}=\frac{1}{4}$. Các đường thẳng AN,PB và CM cắt nhau tạo thành $\Delta EGH$.
Tính diện tích tam giác EGH biết diện tích tam giác ABC =1
4) Cho hình thang ABCD (BC song song với AD; BC bé hơn AD). Gọi M.N là hai điểm lần lượt nằm trên AB, BC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}$. Đường thẳng MN cắt AC và BD tương ứng ở E và F.ư
CM: EN = FM

Có thể áp dụng Cê-va và Mê-nê-la-uýt mọi người nhé!

Giải phương trình sau:
1/$\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=10(\frac{x}{3}-\frac{4}{x})$
2/$x^{2}+\frac{81x^{2}}{(x+9)^{2}}=40$
3/$\frac{4x}{x^{2}+x+3}+\frac{5x}{x^{2}-5x+3}=\frac{3}{2}$
4/$48.\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1}-5.(\frac{x+2}{x-1})^{2}+20(\frac{x-2}{x+1})^{2}=0$

Cho $a,b>0; a+b\leq 1$. Tìm GTNN: $P=\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2ab}$

1) Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
Tìm GTLN, GTNN của: $x+y+z+xy+yz+xz$
2) Cho xyz=1/
CMR: $\frac{x^{2}}{1+y}+\frac{y^{2}}{1+z}+\frac{z^{2}}{1+x}\geq \frac{3}{2}$
3) Cho $a,b>0 : a+b\leq1$
Tìm GTNN của $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2ab}$

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$
CMR: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$

$1)$ Cho $a + b + c = 1$ ($a , b , c$ dương). CMR : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}$
$2)$ Tìm GTNN của biểu thức:
$A=\frac{1+x}{x}.\frac{1+y}{y}.\frac{1+z}{z}$ biết $x + y + z = 1$
$3)$ Cho $a , b , c > 0$.
CMR: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$
$4)$ Cho các số dương $a , b , c$ thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$
CMR: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$

Tìm GTNN của biểu thức: $(3-x)(4-y)(2x+3y)$

1) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
a. $A=x+\frac{2}{x-1}$ với $x>1$
b. $B=(x+3)(5-x)$
c. $C=x^{2}(1-2x)$
2) Cho $ab+bc+ca=1$. CMR: $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})$ là một số chính phương.
3) Cho $a,b,c\geq \frac{1}{4}$ và $a+b+c=1$. CMR: $\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}<5$
4) Tìm GTLN của biểu thức: $(3-x)(4-y)(2x+3y)$
5) Tìm GTLN của biểu thức: $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$

bạn xem lại đi, theo mình phải có đk là abc=1. chứ nếu có như vậy thì bất đẳng thức đấy hoàn toàn sai với bộ 3 số (0,5;0,5;0,5)

Ừa đúng thật ~~~~ Sorry....

Có ai giúp mình giải bài 1 không?

bài 2 đề thiếu rồi, phải có điều kiện j đó chứ bạn?

Ơ ~~~ Đề chỉ có đến vậy thôi bạn ạ!

1) Cho $abc=2$ và $a^{3}>72$. CMR: $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{3}\geq ab+bc+ca$
2) Cho 3 số dương a,b,c. CMR: $(a+1)(b+1)(c+1)\geq 8$
3) Cho $-1\leq x,y,z\leq 2$ và $x+y+z=0$. CMR: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 6$
4) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
5) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : x+y+z=11. CMR: $x+y\geq xyz$

1) Cho a,b,c là các số dương. CMR: $\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+b+2c}\geq \frac{9}{a+b+c}$
2) Cho a,b,c dương và $a+b+c\leq 3$
CMR: $\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{c}{1+c^{2}}\leq \frac{3}{2}\leq\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
3) Cho a,b,c,d là các số dương
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

Bài này áp dụng Cauchy - Schwarz:
\[VT \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{b + c + c + a + a + b}} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{a + b + c}}{2} \Rightarrow Q.E.D\]
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$



Bài 2 hình như có vấn đề. Xem bài này rồi bạn so sánh nhé.

Ừ. Đúng là mình ghi sai đề thật ^^

1) Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
2) Nếu $ab\geq 1$ thì $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{2}{ab+1}$
3) Tìm a,b,c,d biết: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-ab-bc-cd-d+\frac{2}{5}=0$

1) Cho a,b,c là các số dương bất kì.
CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$

2)Cho a,b,c thỏa mãn: $0\leq a\leq 1 ; 0\leq b\leq 1;0\leq c\leq 1 $
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR: a, $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$
b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
c, $2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}>0$
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$19x^{2}+54y^{2}+16z^{2}-16xz-24yz+36xy+5$

Cho xy+yz+xz = 1 $(x,y,z\neq 1)$ > CMR: $\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}}=\frac{4xyz}{(1-x^{2})(1-y^{2})(1-z^{2})}$

Cho: $\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}$.
CMR: $\frac{a}{x+2y+z}=\frac{b}{2x+y-z}=\frac{c}{4x-4y+z}$

Tính:
a) $A=\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$
b) $B=\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-a)(b-c)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}$
c) $C=\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}$
d) $D=\frac{a^{2}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{2}}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{2}}{(c-a)(c-b)}$

Cho M nằm trong $\Delta ABC$. A',B',C' đối xứng với M qua phân giác $\widehat{A}$, $\widehat{B}$,$\widehat{C}$.
CMR: AA',BB',CC' đồng qui hoặc đôi một song song.

Mọi người giúp em với T_T

1) Cho $\widehat{xOy}$. Hai điểm A,B phân biệt nằm trong góc đó. Dựng C thuộc Ox, D thuộc Oy sao cho 4 điểm A,B,C,D là các đỉnh của hình thang cân có AB là một cạnh đáy.
2) Cho 3 điểm O,D,E không thẳng hàng, Dựng $\Delta ABC$ sao cho O là giao điểm của các đường phân giác BD và CE của tam giác đó.
3) Cho $\Delta ABC$. Dựng 1 điểm M trên AC sao cho chu vi $\Delta AMB$ bằng độ dài BC.
----

Lời nhắn từ BQT: Bạn phải đặt tiêu đề theo quy định! Những bài vi phạm sau sẽ bị xóa mà không có nhắc nhở! Cảm ơn.

Tiêu đề cũ: Dựng hình

Từ các đẳng thức:
$ax-by-cz-dt=0$
$bx+ay-dz+ct=0$
$cx+dy+az-bt=0$
$dx-cy+bz+at=0$
CM: Hoặc a=b=c=d=0 hoặc x=y=z=0