Lâu lắm rồi mới được vào đây
Bài toán 398.
Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$

BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8}{(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)}\geq 2$
Đặt $\frac{a}{b}= x ,\frac{b}{c}= y,\frac{c}{a}= z\Rightarrow xyz=1$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+xy+yz+zx+2}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}+2}\geq 2$
Đặt tiếp $x+y+z=t\Rightarrow t\geq \sqrt[3]{xyz}= 3$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{8}{\frac{t^{2}}{3}+t+2}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{24}{t^{2}+3t+6}\geq 2$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt{t-2}-1\geq 1-\frac{24}{t^{2}+3t+6}\Leftrightarrow \frac{t-3}{\sqrt{t-2}+1}\geq \frac{(t-3)(t+6)}{t^{2}+3t+6}$
$\Leftrightarrow (t-3)(\frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6})\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6}\geq 0$
$\Leftrightarrow t^{2}+3t+6\geq (\sqrt{t-2}+1)(t+6)\Leftrightarrow t^{2}+2t\geq (t+6)\sqrt{t-2}$
$\Leftrightarrow (t^{2}+2t)^{2}\geq [(t+6))\sqrt{t-2}]^{2}$
$\Leftrightarrow (t-3)(t^{3}+6t^{2}+12t+24)\geq 0$
Luôn đúng .
OK.

Bài 481: Cho $a,b,c\in (0,1)$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}< 1$$

Vì $a,b,c\in (0,1)$ nên :
$VT< \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{a+b+c}{3}+\frac{1-a+1-b+1-c}{3}= 1$

Bài 419 . Cho các số dương a , b, c , d thỏa mãn điều kiện abcd = 1 . Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)\geqslant 12$

AM-GM thẳng 12 số :
$VT\geq 12\sqrt[12]{(abcd)^{5}}= 12$

Mọi người làm hăng quá, nháy mắt đã xong hết rùi, chứng tỏ VMF chúng ta rất nhiều nhân tài Post vài bài nữa cho cả nhà cùng làm. Topic sôi nổi lên nào... Tra....zố....

Bài 417: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn không có hai số nào đòng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

$\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{4abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc}\geq 2$.

Võ Quốc Bá Cẩn

+TH1 : Nếu $a\geq b\geq c$.
$VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{bc+ab+ac}+\frac{4abc}{4a^{3}}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{bc}{a^{2}}$
Ta có : $ab+ac\geq b^{2}+c^{2}$.
Ta dùng TC sau : nếu $y\geq x$ thì $\frac{x+t}{y+t}\geq \frac{x}{y}$ ( CM cái này bằng tuong đuong )
Ta đc :
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{bc+ab+ac}\geq \frac{a^{2}}{bc}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{a^{2}}{bc}+\frac{bc}{a^{2}}\geq 2$
Đ.P.C.M.
+TH2 : Nếu $a\leq b\leq c$ .
$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)\geq 0\Leftrightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
$VT= \frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2abc}\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+2abc}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Vậy ta chỉ còn phải CM BĐT sau :
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Đây là một BĐT quen thuộc , có thể dễ dàng CM bằng S.O.S.xem thêm trong Sáng tạo BĐT của anh Hùng.

p/s: hjx. nhìn cách của LilTee mà mình thấy xấu hổ qá .

Bài 344.
Với $a, b, c, d >0$ Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}$$
Bài 345.
Cho $a, b, c \in [1.2]$ . Chứng minh rằng :
$$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\le 7abc$$

Bài 345.
BĐT $\Leftrightarrow \frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(c+a)}{ca}+\frac{c(a+b)}{ab}\leq 7$
$\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\leq 7\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
Đến đây bài này quen rồi !

Bài 140: ( Bài này khá hay ) .Cho a,b,c>0 và abc=1 . CMR:
$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$

Bài 219: Cho $x,y,z>0$.Chứng minh rằng:
$$3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2) \ge xyz(x+y+z)^3$$

Bài này mình giải nhu sau:
BDT : $ \Leftrightarrow 3(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\geq (x+y+z)^{3}$
$ \Leftrightarrow (1+1+1)(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(zx^{2}+xy^{2}+yz^{2})\geq (x+y+z)^{3}$
(luôn đúng theo BDT Holder)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

___________________________________________________________________________
Cách này ko bít có đúng ko , vì dấu "=" xảy ra vs mọi x = y = z.

Bai nua nha!

Bài 131:Cho a,b,c > 0.CMR: $\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4(a+b)}{a+c}\geq 9$

___
MOD: Vui lòng Đánh tiếng Việt có dấu!

 

 

Bài 6:
Cho tam giác $ABC$ có $AA';BB';CC'$ đồng quy tại $O$.Từ $A'$ kẻ $A'M$ vuông góc với $B'C'$.Từ $M$ hạ các đường vuông góc $MX,MY,MZ,MT$ xuống $OB';OC',AB';AC'$.Chứng minh rằng $X,Y,Z,T$ cùng thuộc một đường tròn

+ TH1 : $B^{'}C^{'}//BC$ dễ thấy $Q.E.D$
+ TH2 : $B^{'}C^{'}$ không song song với $BC$ . Gọi $K=B^{'}C^{'}\cap BC;S= B^{'}C^{'}\cap AA^{'}$
Suy ra $(KA^{'}BC)= -1\Rightarrow (SA^{'}OA)= -1$ ( qua phép chiếu xuyên tâm $B$
$\Rightarrow (AOSA^{'})= -1\Rightarrow M(AOSA^{'})= -1$
Mà lại có : $SM\perp A^{'}M\Rightarrow \angle SMA= \angle SMO\Rightarrow \angle C^{'}MA= \angle C^{'}MO$
Từ đây chỉ cần cộng góc thuần túy là ta có ngay $Q.E.D$

Bài 5 tù Gt suy ra $ x^{2}+y^{2}$ /3 mà 3 là số ntố dạng 4k+3 nên x/3 và y/3 .Đến đây lùi vô hạn .
bài 2 nhân 2 vế vs 4 rồi cộng thêm 1 sau đó dùng pp chặn .

Tiếp tục nhé mọi người
Nâng lên 1 chút.
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của các phương trình:
1) $x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

$ PT\Leftrightarrow (x^{2}+1)(x+1)= (2y+1)^{2}$
Suy ra : $ x^{2}+1 , x+1$ là 2 số lẻ .
Đặt d=($ x^{2}+1 , x+1$) suy ra d lẻ .
$ \Rightarrow (x+1)/d$ $ \Rightarrow (x^{2}-1)/d$ mà $ (x^{2}+1)/d$ nên 2/d $\Rightarrow d= 1$
Suy ra : ($ x^{2}+1 , x+1$)=1 , do đó $ x^{2}+1$ và $ x+1$ là 2 số chính phuong .
Suy ra : $ x^{2}$ và $ x^{2}+1$ là 2 số chính phuong liên tiếp .
suy ra x=0 .Tù đó tìm đc y.

P/s:viết dấu chia hết kiểu j` vậy mọi ng`

Cách khác câu 6:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có :
$3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}= [\frac{(a+b+c)2}{a+b+c}]\leq (\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a})^{2}$
$=(\sum \frac{a^{2}}{b\sqrt{b(c+2a)}}.\sqrt{bc+2ca})^2\leq VT.3(ab+bc+ca)\Rightarrow VT\geq 1$

Đề HP và VP năm nay khó đột ngột !

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và a + b + c = 3.
Tìm GTNN của biểu thức M = 3a² + 3b² + 3c² + 4abc
--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>> Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

cách khác núa :
Theo nguyên tác Đi-dép-lê thì tồn tại 2 số cùng lon hoặc nhỏ hon 1 . Gsu đó là a và b .
$\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1$
$\Rightarrow abc\geq ac+bc-c=c(a+b)-c= c(3-c)-c= 2c-c^2$
Do đó : $M=3a^2+3b^2+3c^2+4abc\geq \frac{3}{2}.(a+b)^2+3c^2+4(2c-c^2)$
$= \frac{3}{2}.(3-c)^2+3c^2+4(2c-c^2)= \frac{c^2}{2}-c+\frac{27}{2}= \frac{(c-1)^2+26}{2}\geq \frac{26}{2}= 13$

Vừa mới thi ngày 23/3 nè anh Thành.
To botter097 : Mình tên Huy, số báo danh 035, thi phòng 2.
Mình đâm đầu học số học với BĐT. Cuối cùng số học thì ra bài tép riu, BĐT lại ko ra.
Hình lại ra bài cực trị, chán muốn chết luôn.

Bài 1 là dấu "=" của Mincopxki mà !

Gọi N là giao điểm của AK với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC(đặt là (O))
Dễ chứng minh ANFE,AEHF là tgnt suy ra N nằm trên đường tròn đường kính AH, do đó HN vông góc với NA
Giả sử tia NH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại G thì $\widehat{ANG}=90^{0}$ nên AG là đường kính của (O).Dễ chứng minh BHCG là hình bình hành nên GH đi qua M, suy ra M,H,G thẳng hàng.Trong tam giác AKM có 2 đường cao AD,HM cắt nhau tại H nên H là trực tam của tam giác AKM,suy ra KH vuong góc với AM

Cách này giống cách giải bài hình thi HSG Vĩnh Phúc 2 năm trc , thục ra 2 bài này giống nhau y hệt .

Bài 4:
a) Gọi I là trung điểm AH $\Rightarrow$ I là tâm của $(C_1)$
Dễ chứng minh $ME \perp IE \Rightarrow$ ME là tiếp tuyến của $(C_1)$
Dễ thấy $\angle FED=2\angle HED \Rightarrow$ EH là phân giác trong $\vartriangle KED$
$EC \perp EB \Rightarrow$ EB là phân giác ngoài của $\vartriangle KED$.
\[
\frac{{BD}}{{BK}} = \frac{{ED}}{{EK}} = \frac{{CD}}{{CK}}
\]
Suy ra $...\Rightarrow ME^2=MD.MK \Rightarrow \angle MED=\angle MKE \Rightarrow$ ME là tiếp tuyến của $(C_2)$.
b) Đề sai.

Đề vẫn đúng mà a Hân.
Gọi G là giao điểm của MH và $(C_1)$ . vì ME là tiếp tuyến chung của $(C_1)$ và $(C_2)$ nên theo fuong tích ta có
$ MH.MG=ME^{2}=MD.MK$
Do đó : Tú giác KDHG nội tiếp .
Suy ra : $ \angle KGM= 90^{\circ}$ mà $ \angle MGA= 90^{\circ}$ nên A , G , K thẳng hàng .
Suy ra MH vuông góc vs AK $ \Rightarrow$ H là trục tâm tam giác AMK.
Do đó : $
KH \bot AM
$

Bài $1$ là bất đẳng thức trá hình rồi đấy chị

Câu 5:
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=6. Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx+xyz\geq 8$

Đặt $ x+y+z=p$ , $ xy+yz+zx=q$ , $\ xyz=r$
$ BDT\Leftrightarrow p^{2}-3q+r\geq 8$ $ \Leftrightarrow 36-3q+r\geq 8\Leftrightarrow 28-3q+r\geq 0$
Ta sẽ CM :$28-3q+r\geq 0$ (1)
Tù BĐT quen thuộc : $ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$
Ta rút ra đc : $ r\geq \frac{4pq-p^{3}}{9}$ $ \Rightarrow r\geq \frac{8}{3}q+24$
Suy ra : $ VT\geq 28-3q+\frac{8}{3}q-24= 4-\frac{q}{3}$
Ta có BĐT quen thuộc : $ xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}= 12\Rightarrow q\leq 12$
Do đó : $ VT\geq 4-\frac{q}{3}\geq 4-\frac{12}{3}= 0$
Suy ra : (1) đúng $\ \Rightarrow BDT$ đúng.
Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi $ x=y=z=2$ .

Câu 2:
2. Giải hệ phuong trình sau
$\left\{\begin{matrix} x+y-2=4\sqrt{z-2} & & \\y+z-2=4\sqrt{x-2} & &\\ z+x-2=4\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$

Chém câu dễ !
Câu 2 : ĐKXĐ : $ x,y,z\geq 2$
Do vai trò của $ x,y,z$ nhu nhau nên Giả sủ $ x\geq y\geq z$
Suy ra : $ 4\sqrt{z-2}= x+y-2\geq z+x-2= 4\sqrt{y-2}$
Suy ra : $ y= z$
CMTT : $ x\leq y$ $ \Rightarrow x=y=z$
Thay vào hệ rồi giải . Cái này dễ , chắc ai cũng làm đc .

Anh Hân oi làm hộ em câu c vói , 2 hôm nũa thj HSG giỏi ồi

Chứng minh với mọi sô nguyên dương n thì :$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} < 3$

Dùng khai triển Newton :
$VT= (1+\frac{1}{n})^{n}= \sum_{k=0}^{n}C^{k}.\frac{1}{n^k}$
$= 1+C^1_{n}.\frac{1}{n}+C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}$
$= 2+C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}$
Do đó ta cần CM :
$C^2_{n}.\frac{1}{n^2}+C^3_{n}.\frac{1}{n^3}+...+C^n_{n}.\frac{1}{n^n}< 1$
Xét $C^k_{n}.\frac{1}{n^k}= \frac{n!}{k!(n-k)!n^k}= \frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{n^k}.\frac{1}{k!}$
mà $(n-k+1)(n-k+2)...n< n^k$
$\Rightarrow C^k_{n}.\frac{1}{n^k}< \frac{1}{k!}< \frac{1}{k(k-1)}= \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
cho k chạy tù 2 đến n ta đc :
VT$< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...< 1$
$\Rightarrow Q.E.D$

Vùa thj sáng nay ! Mọi nguòi chém nhiệt tình vào !

Câu 1 (3 điểm )

1. Cho $ f(x)= \frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}$ . Hãy tính giá trị của biểu thúc sau :

$ A= f(\frac{1}{2012})+f(\frac{2}{2012})+...+f(\frac{2010}{2012})+f(\frac{2011}{2012})$

2.Cho biểu thúc :
$ P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^{2}-\sqrt{x}}$
Tìm tất cả các giá trị của $ x$ sao cho giá trị của $P$ là một số nguyên.

Câu 2 (1,5 điểm )
Tìm tất cả các cặp số nguyên duong $ (x;y)$ thỏa mãn $\ (x+y)^{3}=(x-y-6)^{2}$.

Câu 3 (1,5 điểm )
Cho $\ a,b,c,d$ là các số thục thỏa mãn điều kiện :
$ abc+bcd+cda+dab= a+b+c+d+\sqrt{2012}$
CMR : $ (a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)\geq 2012$ .

Câu 4 (3 điểm )

Cho 3 đuòng tròn ($O_1$), ($O_2$) và ($O$) . Giả sủ ($O_1$) và ($O_2$) tiếp xúc ngoài vs nhau tại $I$ và cùng tiếp xúc trong vs ($O$) tại $M_1$ , $M_2$ . Tiếp tuyến của ($O_1$) tại $I$ cắt ($O$) tại $A$ , $A'$. $A$$M_1$ cắt lại ($O_1$) tại điểm $N_1$, $A$$M_2$ cắt lại ($O_2$) tại điểm $N_2$ .

1. CMR : tú giác $M_1$$N_1$$N_2$$M_2$ nội tiếp và $O$$A$ vuông góc vs $N_1$$N_2$.

2. Kẻ đuòng kính $P$$Q$ của ($O$) sao cho $P$$Q$ vuông góc vs $I$$A$ ( điểm $P$ nằm trên cung $A$$M_1$ ko chúa điểm $M_2$ ) .CMR : Nếu $P$$M_1$ và $Q$$M_2$ không song song thì $A$$I$, $P$$M_1$ và $Q$$M_2$ đồng quy .

Câu 5 ( 1 điểm )

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều đc tô màu , trong đó mỗi điểm đc tô bỏi 1 trong 3 màu xanh, đỏ, tím. CMR : luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà 3 đỉnh của tam giác đó đôi một cùng màu hoặc khác màu .

Time : 150 phút
Ngày thi : 06/04/2012
Đề khó vật ! ! Chả biết các mem noi khác làm bài thế nào ?

1. Họ và tên: Lê Minh Tuấn Anh.
2. Nick trên Diễn đàn: Secrets In Inequalities VP
3. Ngày sinh: 26/11/1997
4. Nghề nghiệp: Học Sinh Chăm ngoan
5. Địa chỉ nhà: Địa chỉ mẹ em nha' anh :Phùng Thị Minh Huệ-GV Tiểu học Họp THinh- Tam Duong - Vĩnh Phúc
6. Mail/ Số điện thoại liên lạc: Kethanbi_97vp
7. Địa điểm đăng kí tham gia: Hà Nội
8. Bạn có muốn tham gia vào BTC không: Không

p/s : Có thể em sẽ ko đj đc có thể bố mẹ em sọ em bị bắt cóc , đem bán sang TQ , ...