$\sqrt{2-x^2} + \sqrt{2- \frac{1}{x^2}} = 4- (x+ \frac{1}{x})$
-------------------------------
Chào bạn. Bạn là thành viên mới nên xem kĩ những nội dung sau:

$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề

$\to$ Nội quy Diễn đàn Toán học

Nhận thấy:$u_{n+1}> u_{n}$, do đó $ ( u_{n})$ là dãy đơn điệu tăng
Ta cm $u_{n}< 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$(1)
Thật vậy (1) đúng với n=1,2
Mặt khác:
3!=2.3$> 2^{2}$,$4!= 2.3.4> 2^{3};...;n!=1.2.3.4...n> 2^{n-1}$(Quy nạp)
Do đó:$u_{n}=1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$$= \frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}= 2\left ( 1-\frac{1}{2^{n}} \right )< 2\Rightarrow u_{n}< 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$
Dãy ($u_{n}$) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn.

bạn ơi có thể cho mình hỏi tại sao lại chọn con số 2 mà k phải là một số khác không?

Nè, hình như bạn nhầm đề rùi thì phải? vế phải hình như là $ 4- (x+ \frac{1}{x} )$

thank you nha! nhưng nếu đề bài như bạn thì làm như thế nào vậy?

a,b,c chỉ là ba số thực dương thôi chứ không nguyên

Giải phương trình sau
cos3x-cos2x +cosx =$\large \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 4cosx^{3}-3cosx -(2cosx^{2}-1)+cosx = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 4cosx^{3}-2cosx^2-2cosx+\frac{1}{2}=0$
nghiệm lẻ quá

mình còn nghĩ ra một cách mọi người xem giúp mình có đúng không:
gọi M(x;y) thỏa mãn $$5x^{2} + 5y^{2} -5x-15y+8 = 0$
$\Rightarrow$ M thuộc đường tròn có pt $$5x^{2} + 5y^{2} -5x-15y+8 = 0$
Ta có A= x + 3y + 1 $\Leftrightarrow$ x + 3y + 1 - A= 0 ( gọi là đường thẳng d)
$\Rightarrow$ M thuộc d
rồi tìm điều kiện để đường tròn và đường thẳng d có ít nhất một điểm chung.

$Cho: 5x^{2} + 5y^{2} - 5x - 15y +8 \leq 0$
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức : $A = x + 3y +1$

Giải các phương trình vô tỷ sau:

1. $x^3+8=7\sqrt{8x+1}$

2. $x^4+2x^2-2x+1=(x^3+x)\sqrt{\frac{1-x^2}{x}}$

3. $2\sqrt{7x^3-11x^2+25x-12}=x^2+6x-1$

4. $2\sqrt{x+1}+6\sqrt{9-x^2}+6\sqrt{(x+1)(9-x^2)}=38+10x-2x^2-x^3$

4. $x+\frac{3x}{\sqrt{1+x^2}}=1$

đăt : $x = a \rightarrow x^2 = a^2
\sqrt{1 + x^2}= b \rightarrow 1 + x^2 = b^2$
trừ hai pt cho nhau và kết hợp với pt đầu ta có hpt
a^2 - b^2 = 1
a*( 1 + $\frac{3}{b}$ ) = 1
bạn thế vào rồi giải thui
chúc bạn luôn vui vẻ và hạnh phúc^-^

Tìm ba số dương a,b,c thỏa mãn hệ :
$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =3& & \\ & & \\ a+b+c\leq 12& & \end{matrix}\right.$

1) Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh rằng: $(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}\leq a^ab^bc^c$

2) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : $x+3y+5z\leq 3$. Chứng minh rằng:
$3xy\sqrt{625z^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}+5zx\sqrt{81y^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz$

các bạn có thể tham khảo lời giải câu 2 tại đây :
còn câu 1 thì mình chịu

ĐK: $x\ge 1;y\ge 0$.

Từ PT thứ hai ta có $\sqrt y=x-1$.

Đặt $t=\sqrt{x-1}$. ĐK $t\ge 0$.

Ta thay vào PT đầu tiên được $t-t^2=8-(t^2+1)^2\Leftrightarrow t^4+t^2+t-7=0$

rồi làm tiếp thế nào vậy bạn? pt ẩn t không có nghiệm đặc biệt.

Chuẩn hóa $a+b+c=3$.Ta sẽ CM :$H\leq \frac{6}{5}$

BĐT $< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mà $\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \sum \frac{2a+3}{25}< = > (a-1)^2(a+2)\geq 0$(đúng)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$

bạn ơi! cho mình hỏi làm thế nào để có kết quả chuẩn hóa bằng 3 vậy bạn?

cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:

$H=\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^{2}+b^{2}}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^{2}+c^{2}}$

 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}-\sqrt{y} =8-x^{2}& \\ \left ( x-1 \right )^{2}=y& \end{matrix}\right.$

 

 

Do $\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\geq abc$ nên ta sẽ chứng minh:
$$a^ab^bc^c\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}$$
Lấy Logarit Nepe 2 vế, ta cần chứng minh:
$$ a.\ln a+b.\ln b+c.\ln c\geq (a+b+c).\ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
Xét hàm số $f(a)=a.\ln a$, ta có $f''(a)=\frac{1}{a}>0 \forall a>0$ nên hàm số $f(a)=a.\ln a$ lõm trên $(0;\infity)$
Áp dụng bất đẳng thức $Jensen$ ta có:
$$f(a)+f(b)+f \left(c\right)\geq 3f \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
$$\Leftrightarrow a.\ln a+b.\ln b+c.\ln c\geq (a+b+c).\ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ $\square$

Em mới học lớp 11 có cách nào dành cho lớp 11 không anh?

giải pt và hệ pt sau:
1) $\sqrt{x^2+5}=3x -2 +\sqrt{x^2+8}$
2)$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 + 1/(2xy)=1 & & \\ \sqrt{x+y}=x^2-y & & \end{matrix}\right.$

$ 1) tanx-3cotx=4(sinx+{\sqrt{3}cosx})$
$2 ) 4sin^{_{3}}x.cos3x+4cos^{_{3}}x.sin3x+3\sqrt{3}cos4x=3$
$ 3) (1+2sinx)cosx=2(cos^{_{2}}x+cos^{_{4}}x)+1$
$4 )3tan^{_{3}}x-tanx+\frac{3(1+sinx)}{cos^{_{2}}x}=8cos^{_{2}}(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})$

hjhj đây là cách của mình :
Đặt : $\sqrt{x^3+1 }=a \rightarrow x^3 + 1 = a^3 (1)
x = b \rightarrow x^3 = b^3 (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
a^2 - b^3 = 1
\Rightarrow ta có hpt:
a^2 - b^3 = 1
5a - 2b = 4
chúc bạn luôn vui vẻ và hạnh phúc^_^

hjhj đây là cách của mình :
Đặt : $\sqrt{x^3+1 }=a \rightarrow x^3 + 1 = a^3 (1)
x = b \rightarrow x^3 = b^3 (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được:
a^2 - b^3 = 1
\Rightarrow ta có hpt:
a^2 - b^3 = 1
5a - 2b = 4
chúc bạn luôn vui vẻ và hạnh phúc^_^

$4\sin^{_{3}}x.\cos 3x+4\cos^{_{3}}x.\sin 3x+3\sqrt{3}\cos 4x=3$

$\Leftrightarrow 2\sin^{_{2}}x.(\sin 4x-\sin 2x)+2\cos^{_{2}}x.(\sin 4x+\sin 2x)+3\sqrt{3}\cos 4x=3$

$\Leftrightarrow 2\sin^{_{2}}x.\sin 4x-2\sin^{_{2}}x.\sin 2x+2\cos^{_{2}}x.\sin 4x+2\cos^{_{2}}x.\sin 2x+3\sqrt{3}\cos 4x=3$

$\Leftrightarrow -\sin x(\cos 5x-\cos 3x)+\sin x(\cos 3x-\cos x)+\cos x(\sin 5x +\sin 3x)+\cos x(\sin 3x+\sin x)+3\sqrt{3}\cos 4x=3$

$\Leftrightarrow \sin 5x\cos x-\sin x\cos 5x+2(\sin 3x\cos x+\sin x\cos 3x)+3\sqrt{3}\cos 4x=3$

$\Leftrightarrow \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=1$

$\Leftrightarrow \cos (\frac{\pi }{6}-4x)=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow .................................$

cho em hỏi sao $\Leftrightarrow \sin 5x\cos x-\sin x\cos 5x+2(\sin 3x\cos x+\sin x\cos 3x)+3\sqrt{3}\cos 4x=3$ lại ra $\Leftrightarrow \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=1$

Chứng minh rằng pt: $a.(x-b)(x-c)+b(x-a)(x-c)+c(x-a)(x-b)=0$ luôn có nghiệm với mọi a,b,c dương

1) Xem lại đề với ! http://www.wolframal...t/?i=sqrt(x^2+5)-3*x%2B2-sqrt(x%5E2%2B8)
2) Từ phương trình 2 ta có:
$$x+y=(x^2-y)^2$$
$$\Leftrightarrow (x^2+x+1-y)(x^2-x-y)=0$$
Thế vào là OK!

thế vào nó ra pt ậc 7 k có nghiệm đăck biệt thì làm tiếp thế nào vậy bạn?

Thu gọn phương trình trên ta đc
$x^{2}(a+b+c)-2x(ab+bc+ca)+3abc=0$
$\Delta '=(ab+bc+ca)^{2}-3abc(a+b+c)\geq 0$
Nên phương trình luôn có nghiệm.
_________

NLT: Viết hoa đầu dòng bạn nhé !
___

bạn ơi mình cũng làm cáh đó rồi nhưng làm thế nào để chứng minh $\Delta$ $\geqslant 0$ ?

Mình nghĩ phải là $x^2+15$ vì mình nhớ đã làm bài này và có nghiệm chẵn, có thể SD liên hợp để giải quyết bài này.

mình cũng nghĩ là để bài nhầm bởi làm ra lẻ quá