Vành tọa độ của một đa tạp đại số affine. Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X được định nghĩa như sau:
Đa tạp bất khả quy (irreducible). Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X, Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n giới hạn vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X sẽ cho một Tôpô trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (trong đó các tập đóng là giao của các tập đóng trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X). Đa tạp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X được gọi là bất khả quy nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X không phải là hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó (nghĩa là không tồn tại các tập đóng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X).
(Ghi chú: trong một vài tài liệu, chẳng hạn cuốn Hình học đại số của Hartshorne thì những đa tạp bất khả quy mới được gọi là đa tạp đại số - tuy nhiên, định nghĩa như hiện tại phù hợp hơn với phần lớn các kết quả nghiên cứu trong chuyên ngành).
Định lý. Đa tạp đại số affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là bất khả quy nếu và chỉ nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{I}(X) là iđêan nguyên tố trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d lớn nhất sao cho tồn tại chuỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (thường thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z_0 là tập gồm một điểm đóng và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(X) (định nghĩa theo độ dài lớn nhất của một chuỗi các iđêan nguyền tố).
Chứng minh: dựa vào sự tương ứng 1-1 giữa các đa tạp đại số và các iđêan căn (và sự tương ứng này đảo ngược thứ tự bao hàm), cùng kết quả rằng một đa tạp là bất khả quy nếu và chỉ nếu iđêan xác định của nó là iđêan nguyên tố. (Ghi chú: iđêan nguyên tố là iđêan căn).
Nhận xét:
(a) Mỗi một đa tạp đại số đều có thể được viết thành hợp của một số đa tạp con bất khả quy trong đó không có 2 đa tạp nào chứa nhau, và cách viết này là duy nhất (trừ việc thay đổi thứ tự các đa tạp con).
(b) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xz-x (thay bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là hợp của 3 thành phần bất khả quy. Tìm các iđêan xác định của 3 thành phần này.
(2) Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là trường số thực. Tìm một đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y) trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^2 không phải là bất khả quy. Chú ý rằng, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k ở đây không phải là trường đóng đại số. Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là trường số phức thì tồn tại hay không đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y) với cùng tính chất?