Cho các số thực dương a , b , c có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT :

$\frac{a}{4b^{2}+1} + \frac{b}{4c^{2}+ 1 } + \frac{c}{4a^{2}+1} \geq ( a\sqrt{a} + b\sqrt{b } + c\sqrt{c} )^{2}$

Philippine Mathematical Olympiad 2013

Bài 1: Xác định số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt $x_1,x_2,…,x_n$ để
$$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right)=\frac{15}{2013}.$$

Bài 2: Gọi $P$ là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác $ABC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là giao điểm của $AP$ với $BC$, $BP$ với $AC$, $CP$ với $AB$. Giả sử rằng các tam giác $APF, BPD, CPE$ có cùng diện tích. Chứng minh rằng $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Bài 3: Cho $n$ là số nguyên dương. Các số từ $1,2,…,2n$ được sắp xếp bất kỳ trên một đường tròn. Mỗi dây cung được nối bởi hai điểm bất kì trong $2n$ điểm và được gán bằng độ chênh lệch dương của hai điểm đầu mút. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $n$ dây cung đôi một không cẳt nhau sao cho tổng các số được gán trên các dây cung bằng $n^2$.

Bài 4: Cho $p\leq q$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu một trong hai số $a^p$ hoặc $a^q$ chia hết cho $p$ thì số còn lại cũng chia hết cho $p$.

Bài 5: Cho $r,s$ là các số thực dương sao cho $(r+s-rs)(r+s+rs)=rs$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $r+s-rs$ và $r+s+rs$.

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$. Chứng minh:
$ab+bc+ac-abc\leq 2$

Xem ở đây

Từ một trò ảo thuật
Câu chuyện này diễn ra trên một chuyến tàu. Khoang gồm 5 thanh niên nam nữ và một ông khách khó tính nằm ở giường trên. Đám thanh niên, sau khi ổn định chỗ ngồi bèn đem bài ra chơi, có cả một số bạn bè của họ từ các khoang khác đến tham gia rất sôi nổi. Ông khách khó tính thì leo lên tầng thượng lấy sách ra đọc. Đám thanh niên gần như không còn chú ý đến vị khách này nữa.
Rồi đám đánh bài cũng tan. Vừa lúc đó ông khách bước xuống. Các cô gái có ý trêu, hỏi. “Anh ơi, anh làm nghề gì mà ít nói vậy”? “Tôi là GV Toán”, “Ôi, anh là GV Toán vậy anh đánh bài giỏi lắm nhỉ?” “Có, tôi biết đánh bài, nhưng cũng thường thôi” “Em tưởng học Toán giỏi là đánh bài giỏi?” “Không hẳn như vậy, đánh bài cần nhiều kỹ năng tổng hợp hơn là Toán. Toán không giúp nhiều cho đánh bài, nhưng tôi có thể dùng Toán để làm một trò ảo thuật cho các bạn xem” “Vâng, vâng, anh thử làm xem” – Đám thanh niên nhao nhao.
Ông khách khó tính – từ nay chúng ta sẽ gọi là ông giáo – cầm bộ bài và vẫy một thanh niên trong nhóm ra bên ngoài thảo luận, sau đó họ quay lại. Ông giáo nói:
“Bây giờ chúng ta thực hiện trò ảo thuật như thế này. Đầu tiên, tôi sẽ sang khoang bên cạnh. Bạn này, người trợ lý của tôi, sẽ cùng ở đây với các bạn. Trò ảo thuật sẽ được tiến hành như sau: Các bạn sẽ chọn ra 5 quân bài tuỳ ý, đưa cho người trợ lý của tôi. Người trợ lý của tôi sẽ giữ lại một quân bài. 4 quân bài còn lại, bạn ấy sẽ lần lượt đưa cho các bạn đem sang cho tôi. Sau khi nhận đủ 4 quân bài từ các bạn, tôi sẽ đoán ra quân bài còn lại”.
“Không tin, không tin, anh làm thử xem!”
Và thật ngạc nhiên, trò ảo thuật diễn ra thành công. Đám thanh niên rất lấy làm thán phục. Ông khách khó tính trở nên thân thiện hơn với đám thanh niên, ông giảng giải cho họ “bí mật” của trò ảo thuật thật dễ hiểu, vì thế, mặc dù toàn là dân nhân văn và kỹ thuật, họ cũng học được “món nghề” chỉ qua 5 phút giảng giải. Ông khách còn bày cho họ nhiều trò ảo thuật khác, đố họ nhiều bài toán khác thật vui. Và họ nghĩ “Hoá ra toán học cũng thú vị và hấp dẫn thật!”. Họ xin địa chỉ email của ông khách để có dịp sẽ tiếp tục thọ giáo.
Còn bạn, bạn có thấy Toán học thú vị và hấp dẫn không? Và bạn có đoán biết được “bí mật” của trò ảo thuật nói trên không?
Đến giải bóng đá FDC Close
Một trong các thanh niên ở câu chuyện nói trên được giao làm trưởng Ban tổ chức giải FDC Close (Giải bóng đá của công ty Phân phối FDC). Mọi việc đã chuẩn bị xong xuôi, sân bãi, trọng tài, danh sách các đội, điều lệ giải, kinh phí, giải thưởng, tuyên truyền các loại đều đã OK. Chỉ còn sắp lịch thi đấu nữa là OK.
“Việc này dễ như bỡn, để em làm cho” “Chú đừng đùa, sắp lịch là khó lắm đó, đâu dưng hồi anh học ở trường, có hẳn môn gọi là bài toán lập lịch” “Ôi dào, anh cứ vẽ, để em đem cái lịch năm ngoái ra modify lại 1 cách là xong chứ gì” “Năm ngoái 8 đội khác, năm nay mười đội khác” “Ôi dào, 8 với 10 thì cũng như nhau thôi” “OK, chú thấy dễ thì chú làm đi”.
Nửa tiếng sau, cậu trai “dễ như bỡn” bắt đầu vò đầu bứt tai “Em xếp đến vòng thứ bảy ngon lành rồi, nhưng còn hai vòng cuối xếp mãi không được!” “Thì anh đã bảo chú rồi, thôi, vào đây, chúng ta cùng trí tuệ tập thể xem sao”.
“Trí tuệ tập thể” hoá ra cũng không giúp được gì. Hơn một giờ đồng hồ nữa lại trôi qua mà cái lịch cho 10 đội thi đấu vòng tròn một lượt vẫn chưa có. Bây giờ không chỉ là cậu “dễ như bỡn” mà cả bọn đều vò đầu bứt tai … Bỗng anh cả vỗ đùi “Tao nghĩ ra rồi!” “Đâu đâu, đại ca quả là thông minh thật, show cho anh em xem nào” “Không phải, tao đã làm ra đâu, nhưng tao biết người có thể giúp chúng ta” “Ai vậy anh, anh định nhờ mấy thằng ở công ty khác? Bọn nó cũng như mình thôi, anh à” “Chúng mày có nhớ đến ông giáo trên chuyến tàu dạo nọ không? Để tao email cho ông ấy” “Ừ, đúng rồi, cũng chưa chắc là ông ấy đã làm được, nhưng ta cứ thử xem”.
20 phút sau, ông giáo đã email lại. Cả bọn vui mừng mở mail ra và thấy một lịch thi đấu vuông vắn trong file Excel đã được gửi về, kiểm tra lại thấy hoàn hảo, chính xác hoàn toàn. “Chà, đúng là Toán học. Sao hồi đó mình cũng học Toán mà không biết cái này nhỉ” “Thì mày học toán tích phân, vi phân với đại số tuyến tính đâu có liên quan gì đến cái món này!” “Thế cái này là trong môn nào?” “Tao cũng chẳng biết nữa, hình như là Toán rời rạc” “Làm gì có, toán rời rạc thì học logic, tập hợp, hàm Bool, lý thuyết đồ thị chứ làm gì có món này” “Ừ, có lẽ hôm nào phải đến gặp ông giáo hỏi xem sao” “Có lý!”.
Các bạn có muốn cùng chúng tôi đến hỏi bí mật của ông giáo? Hay các bạn có thể tự mình lập lịch thi đấu cho giải đấu gồm 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt?
Câu chuyện ở nhà ông giáo
“Các em ạ, thực ra thì ngành Toán nào mà các em học ở Đại học cũng đều có ứng dụng trong thực tế cả. Giải tích và phương trình vi phân rất cần cho các kỹ sư điện, cầu đường, thuỷ lợi, chế tạo máy. Không có mấy môn này làm gì có những thành tựu vĩ đại của con người trong chinh phục không gian vũ trụ, trong nghiên cứu trái đất và khí quyển. Môn xác suất thống kê rất cần trong lĩnh vực kinh tế, cho hải quan, cho ngành khí tượng thuỷ văn, cho thương mại điện tử, cho thị trường chứng khoán. Đặc biệt, các ngành xã hội như tâm lý, nghiên cứu xã hội học, xã hội học môi trường cũng rất cần đến công cụ toán học này. Đại số đại cương và đại số tuyến tính lại áp dụng nhiều trong lĩnh vực thiết kế công nghiệp, toán kinh tế, quy hoạch tuyến tính, lý thuyết mã hoá bảo mật thông tin. Số học, môn học cổ xưa và “già cỗi” nhất, tưởng chừng đã kết thúc sự phát triển của mình trong thế kỷ 20, lại được hồi sinh nhờ có những ứng dụng tuyệt vời trong hệ mã công khai RSA và các hệ mã khác …”
“Vâng, thế nhưng bọn em rất thắc mắc, bài toán lập lịch vừa rồi thì thuộc môn nào ạ?”
“Thực ra, cũng khó có thể nói bài toán đó thuộc lĩnh vực nghiên cứu của ngành nào. Để giải một bài toán ứng dụng, các bạn cần có một kiến thức nền tảng tốt, và một tư duy đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. Khi học các môn học, các bạn phải tìm hiểu rõ về xuất xứ của nó, về ý nghĩa của nó, về ứng dụng của nó. Ví dụ học đạo hàm là phải hiểu ý nghĩa vật lý và ý nghĩa hình học của nó, học thống kê thì phải hiểu ý nghĩa của trung bình, trung vị, phương sai, học phương trình vi phân thì phải hiểu các phương trình đó xuất phát từ đâu … Thiếu những điều đó, các kiến thức của các bạn sẽ vô hồn, vô cảm và bạn sẽ nhớ chúng một cách rất máy móc …”
“Bài toán các bạn vừa gửi hôm trước tôi cũng chưa từng giải. Chúng tôi thường đưa nó vào dạng toán Tổ hợp hay Toán rời rạc. Tôi đã đi đến lời giải bằng trình tự sau: Từ lịch thi đấu cho 4 đội (cái này dễ), lập lịch thi đấu cho 3 đội (cái này còn dễ hơn), từ lịch thi đấu cho 3 đội, lập lịch thi đấu cho 6 đội (cái này là mấu chốt!). Từ lịch thi đấu cho 6 đội, lập lịch thi đấu cho 5 đội (lại quá dễ), từ lịch thi đấu cho 5 đội, lập lịch thi đấu cho 10 đội (cái này quen rồi). Lối tư duy như vậy gọi là đệ quy hay quy nạp. Các bạn cứ thử làm xem sao nhé!”.
Bài toán của ông giáo
Đám thanh niên hỉ hả ra về. Có vẻ họ cũng chưa hiểu hết những lời ông giáo nói vì dù đã học qua ở bậc đại học, nhiều thuật ngữ cứ có vẻ lùng bùng trong tai. Nhưng bài toán mà ông giáo tặng họ lúc ra về thì họ vẫn nhớ và đang tranh cãi nhau để tìm lời giải. Sau đây là nguyên văn bài toán:
Tại một nhà tù ở Hành tinh xanh, người cai ngục thấy rằng nhà tù thì quá chật mà tù nhân thì ngày càng đông, bèn tập hợp các tù nhân lại và nói rằng “Các bạn, tôi thực sự muốn phóng thích các bạn, để các bạn ra ngoài đóng góp cho xã hội và tự nuôi sống bản thân. Tôi thấy các bạn rất dễ thương và nhiều người trong các bạn rất tài giỏi. Nhưng điều đó là chưa đủ để các bạn thành công trong xã hội. Các bạn còn phải biết chia sẻ, biết suy nghĩ và làm việc vì cộng đồng. Và các bạn còn phải có đôi chút may mắn nữa. Vì thế tôi có một trò chơi, vừa mang tính may rủi, vừa mang tính đồng đội. Đội nào thắng cuộc sẽ được phóng thích!”
“Ura, sếp nói ngay đi, chúng tôi rất phấn khích”
“OK. Điều kiện thế này, các bạn lập thành các nhóm, mỗi nhóm 20 người. Sau đó tôi sẽ đi và đội cho mỗi bạn 1 chiếc mũ màu đen hoặc màu trắng lên đầu. Các bạn sẽ không nhìn thấy màu mũ của mình, nhưng có thể nhìn thấy mũ của những người còn lại. Sau đó, các bạn sẽ đoán màu mũ của mình bằng đúng một câu nói “Mũ của tôi có màu …”. Nếu tất cả 20 người trong nhóm đều nói đúng thì tôi sẽ phóng thích …”
“Trời ơi, sếp làm vậy thì sếp giỡn chơi mình rồi” – một tù nhân, có vẻ giỏi toán nói “Mỗi thằng có 50% đúng, bắt 20 thằng đều nói đúng thì bằng giết người ta chứ nhân đạo nỗi gì!”
“Vậy tôi mới nói, các bạn không thể hành động riêng lẻ, cá nhân, các bạn phải biết kết hợp thông tin của cộng đồng, hành động vì cộng đồng. Tôi cho các bạn 10 phút thảo luận trước khi bắt đầu cuộc chơi. Hãy tìm cách để tăng khả năng được phóng thích của nhóm mình”.
Các bạn độc giả, các bạn có tìm được lời giải tước đám thanh niên FDC? Và các bạn có thể giúp được các tù nhân? Kỳ tới, tôi sẽ nhờ ông giáo giải đáp các thắc mắc đặt ra từ bài báo này.
Theo : TS.Trần Nam Dũng

Bài 6: Cho $\Delta ABC$. $AD \perp BC$ tại $D$. EF là đường thẳng qua d bất kì qua D $AE \perp BE ; AF \perp CF (E;F \in d)$
Gọi $M;N $ lần lượt là trung điểm $BC;EF$
Chứng minh: $AN \perp MN$

Phần lớn chúng ta sẽ nhận thấy rằng những người bạn của mình có nhiều bạn hơn mình. Hiện tượng đó được gọi là “nghịch lý bạn bè” (friendship paradox). Hiện tượng này được Scott L. Feld đưa ra trong một bài báo cách đây 20 năm: Why Your Friends Have More Friends Than You Do [1]?
Sau đây là ví dụ gốc của Feld trong bài báo nói trên:
Xét 1 nhóm gồm 8 nữ sinh (ngôn ngữ xã hội học gọi là một social network) trong 1 trường trung học, gồm: Betty, Sue, Alice, Jane, Pam, Dale, Carol và Tina. Một số trong họ là bạn của nhau. Ta biểu diễn họ và mối quan hệ của họ dưới dạng một đồ thị (graph) trong đó mỗi người là một đỉnh (vertex), khi hai người là bạn của nhau thì ta nối hai đỉnh tương ứng bằng một cạnh (edge).

Như vậy số cạnh đi từ một đỉnh chính là số bạn của người đó.
Chẳng hạn (con số phía trước ngoài dấu ngoặc trong hình trên):
Betty: có 1 bạn (là Sue)
Sue: có 4 bạn (là Betty, Alice, Pam và Dale).
Dale: có 3 bạn (là Alice, Sue và Jane).
Ngôn ngữ graph gọi là các con số đó là bậc (degree) của các đỉnh.
Bây giờ ta xem con số rắc rối hơn, được đặt trong dấu ngoặc ở hình trên.
Ví dụ với Dale:
Bạn của Dale: Jane, Alice và Sue.
Số bạn của Jane là 2
Số bạn của Alice là 4
Số bạn của Sue là 4.
Tổng số bạn của Jane, Alice và Sue là 2+4+4 = 10.
Vậy số bạn trung bình của các bạn Dale (có 3 người) là 10/3 = 3.3
Sau đây là bảng tổng kết của Feld trong ví dụ trên:

So sánh hai cột đầu và cột cuối thì chỉ có 2 trường hợp mà số bạn trung bình của bạn nhỏ hơn số bạn của một cá nhân (Sue và Alice).
Phần lớn các trường hợp (phần lớn các cá nhân) đều có số bạn nhỏ hơn số bạn trung bình của bạn bè họ. Đó là cách diễn đạt khác của nghịch lý này.
Nói theo tiếng Anh (dễ hiểu hơn tiếng Việt :-)) là: “Your friends have more friends than you” hoặc chính xác hơn là “Most people have fewer friends than their own friends have”.
Để dễ diễn đạt ta ký hiệu: trong mạng có n người, số bạn bè của một người i là F_i, tổng số bạn trong mạng là $\sum F_{i}$ . Mỗi người có số bạn trung bình là $\sum F_{i}/n$
Số bạn của các bạn của người i là FFi (friends of friends), tổng số bạn của bạn trong mạng là $\sum FF_{i}$. Trung bình số bạn của bạn là $\sum FF_{i}/\sum F_{i}$.
Theo ví dụ của Feld ở trên thì
n=8
$\sum F_{i}$ = 20
$mean(F) =\sum F_{i}/n$= 20/8 = 2.5
$\sum FF_{i}$ = 60
$mean(FF) =\sum FF_{i}/\sum F_{i}$= 60/20 = 3 (không phải là 60/8 !!!)
Ta sẽ chứng tỏ là mean(F) < mean(FF). Từ đó suy ra trong phần lớn trường hợp, nhiều người trong mạng có ít bạn hơn bạn của mình.
Ta dùng một sơ đồ đơn giản hơn để minh họa lập luận:
Xét người 1. 1 có ba bạn (2,3,5), do đó khi tính FF₂ thì 1 xuất hiện và đóng góp 3 mối quan hệ bạn bè vào $\sum FF_{i}$, khi tính FF₃ và FF₅ cũng vậy. Vậy khi tính $\sum FF_{i}$ thì 1 xuất hiện 3 lần, mỗi lần đóng góp 3 mối quan hệ, tức là 3 x 3 vào $\sum FF_{i}$.
Một cách tổng quát một người thứ i sẽ đóng góp Fi lần, mỗi lần Fi mối quan hệ, toàn bộ là Fi x Fi mối quan hệ, vào tổng FF. Do đó
$\sum FF_{i}=\sum F_{i}^{2}$
và
$mean(FF)=\sum F_{i}^{2}/\sum F_{i}$
Bằng một vài biến đổi đại số ta có thể chứng minh rằng (chi tiết xem dưới):
$mean(FF)=mean(F)+\frac{variance(F)}{mean(F)}$
(chính là: $mean(FF)=mean(F)+CV(F)$)
Rõ ràng là $mean(FF)>mean(F)$mean(F)" alt="mean(FF)>mean(F)" />
Từ công thức này ta cũng thấy nghịch lý này rõ hơn ở các mạng xã hội trong đó số bạn có phương sai lớn, tức là một số người có quá ít bạn, ngược lại có người có quá nhiều bạn, vì lúc đó $mean(FF)$ sẽ lớn hơn $mean(F)$ nhiều.
Trần Quý Phi
Ghi thêm:
Chứng minh: $mean(FF)=mean(F)+\frac{variance(F)}{mean(F)}$
$\frac{\sum x^2}{\sum x}=\frac{\sum x}{n}+\frac{\sum x^2}{\sum x}-\frac{\sum x}{n}$
$\frac{\sum x^2}{\sum x}-\frac{\sum x}{n}=\frac{\left n\sum x^2-(\sum x \right)^2 }{n\sum x}$
Nhân cả tử và mẫu của vế phải cho $\frac{1}{n^2}$ thì nó trở thành
$\frac{\left 1/n\sum x^2-(1/n\sum x \right)^2 }{1/n\sum x}$
Mẫu số là mean(F) rồi. Còn ở tử, có một công thức rất quen thuộc là :
$var(X)=mean(X^2)-mean(X)^2$
(phương sai bằng trung bình bình phương trừ bình phương trung bình )
Từ đó suy ra kết quả cần có.
Tham khảo:
[1] Scott L. Feld, (1991) Why Your Friends Have More Friends Than You Do,The American Journal of Sociology, Vol. 96, No. 6 (May, 1991), pp. 1464-1477. Có thể tải tại đây

Nguồn: statistics.vn

NGÀY THỨ NHẤT
$\fbox{1} $Tìm sô nguyên dương nhỏ nhất $m$ thoả mãn:
$$9^{p^2}-29^{p}+m \vdots \ 105$$
Với $p \in \mathbb{P}; p>3$
$\fbox{2}$
Chứng minh rằng trong bất kỳ n đỉnh của (2n-1) -đa giác đều chúng ta có thể tìm thấy 3 trong số các đỉnh tạo thành một tam giác cân.
$\fbox{3}$
Cho A là một tập hợp các các phần tử $n$ và $A_1, A_2, ... , A_k$
Tập hợp con $A_k$ sao cho đối với bất kỳ 2 tập con riêng biệt $A_i, A_j$ Hoặc là giao nhau bằng rỗng hoặc một tập là tập con của tập còn lại. Tìm giá trị lớn nhất của k
$\fbox{4}$
P là một điểm bên trong $\Delta ABC$. $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác. $BP \bigcap \omega=\{B;B_1\};CP \bigcap \omega=\{C;C_1\}$
$PE \perp AC; PF \perp AB$. Kí hiệu bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp $\Delta ABC$ lần lượt là $r;R$.
Chứng minh: $\dfrac{EF}{B_1C_1} \ge \dfrac{r}{R}$
NGÀY THỨ HAI
$\fbox{1}$
O là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. H là trực tâm. $AD \perp BC$. EF là đường trung trực của $OA$; $D;E \in BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoai tiếp $\Delta ADE$ đi qua trung điểm $OH$
$\fbox{2}$
Cho dãy $\{a_n\}$ thoả mãn:
$a_0=\dfrac{1}{2}; a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{2012}$
Tìm $k \in \mathbb{Z}: a_k <1 < a_{k+1}$
$\fbox{3}$
Cho hình vuông $n \X\ n;(n \ge 2)$ với tất cả các dấu (+)
Tìm $n $ sao cho sau n lần biến đổi thì ô vuông còn toàn dấu (-)
Biết mỗi phép biến đổi cho ta đổi mọi dấu của ô vuông bên cạnh

$\fbox{4}$
Tìm số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thoả mãn:
$p|n^{ n+1}+(n+1)^n.$

Dạ : hthtb22

Chú bảo thi với Ánh mà sao lại đưa hình này.

Nếu anh cần em post ảnh hai đứa cho ạ
Em chỉ sợ bị ném gạch =)) =))

Em xin tham gia ạ :"> WhjteShadow - nhockhongbiet0304 . Mong mọi người ủng hộ :">

Ai đây Đạt
Có phải người yêu mới không

Cho $a,b,c > 0$. Tìm $\min$ :
$\text{A} = \left \lfloor \frac{a + b}{c} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{b + c}{a} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{c + a}{b} \right \rfloor$.

Mời bạn thảo luận tại đây

Bài 1 : Tìm $(m;n)$ biết $m;n \in Z$
$(m^2+1) \vdots n$ và $(n^2+1) \vdots m$

Bài 2: Điểm $P$ nằm bên trong tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\widehat{ABP}=\widehat{PCA}$. Dựng hình bình hành $PBQC$. Chứng minh $\widehat{QAB}=\widehat{CAP}$

Bài 3: Xét tập hợp các số nguyên dương viết trong hệ nhị phân, có đúng $2013$ chữ số và chữ số $0$ nhiều hơn chữ số $1$. Gọi $n$ là số các số nguyên như vậy và $s$ là tổng các chữ số của $n$. Chứng minh rằng, khi viết trong hệ nhị phân, $n + s$ có số chữ số $0$ hơn số chữ số $1$.

Bài 4: Giả sử $ABCD$ là một hình vuông và $P$ đó là một điểm nằm trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Có tồn tại hay không điểm $P$ sao cho độ dài các đoạn thẳng $PA, PB, PC, PD$ và $AB$ đều là các số nguyên?

giúp mình giải phương trình

$(6x-5)\sqrt{x+1}-(6x+2)\sqrt{x-1}+4\sqrt{x^2-1}=4x-3$

Ý tưởng: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Cách giải
Đặt $a = \sqrt{x+1}; b = \sqrt{x-1}\Rightarrow a^2-b^2 = 2$ ($a, b \ge 0$)
phương trình viết lại thành:
$$\dfrac{a(a^2+11b^2)}{2}-(4a^2+2b^2)b+4ab = \dfrac{a^2+7b^2}{2} $$
$$ \Leftrightarrow (a-b)(a^2-7ab+4b^2-a+7b) = 0 $$
$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a-b = 0 (\textbf{vô nghiệm})\\ a^2-7ab+4b^2-a+7b = 0 \end{array} \right.$$
Đến đây ta xét hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l} a^2 - b^2 = 2 \\ a^2-7ab+4b^2-a+7b = 0 \end{array} \right.$$
Gợi ý: Cộng hai vế hai phương trình sẽ ra phương trình tích

Cho $\{a_n\}$ thoả mãn:
$a_0=\dfrac{1}{2};a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{2012}$
Tìm k: $a_k < 1 < a_{k+1}$
P/S : Tiếng Tàu ko dịch được nên dịch bừa

Question 9: Find all pairs $\left ( x;y \right )$ of real numbers satisfying the system $$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=9 & & \\ x^{2}+2y^{2}=x+4y & &\end{matrix}\right.$$

Sướng nhể có TST; chỗ mình chẳng có nên mình cũng chẳng đc học Tiếng Anh
Nhìn thấy câu hệ sài ít Tiếng Anh nhất rảnh chém gió phát =))

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=9 (1) & & \\ x^{2}+2y^{2}=x+4y & &\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x^3+y^3)-3(x^2+2y^2-x-4y)=9$
$\Leftrightarrow (x-1)^3+(y-2)^3=0$
$\Leftrightarrow x=3-y (2)$
From (1) and (2); we have
$(3-y)^3+y^3=9 \Leftrightarrow (y-1)(y-2)=0$
If $y-1=0 \Rightarrow y= 1 \Rightarrow x=2$
If $y-2=0 \Rightarrow y= 2 \Rightarrow x=1$
Therefore $(x;y)\in ${$(1;2);(2;1)$}$

Bài làm của em

Em đăng kí

Cho $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $\geq$ $0$ $,$ $x$ $+$ $y$ $+$ $z$ $=$ $1$.
Tìm $\max$ :
$\text{P} = \frac{x}{2 - x} + \frac{y}{2 - y} + \frac{z}{2 - z} + \left ( 1 - x \right )\left ( 1 - y \right )\left ( 1 - z \right )$

Xét bài toán sau:
Cho các số thực $a,b,c$ thuộc đoạn $\left[0;1 \right]$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a \right)\left(1-b \right)\left(1-c \right)\leq 1$$

Do vai trò của a;b;c là như nhau nên ta giả sử $a=Max{a;b;c}$
Nên:
$\dfrac{b}{c+a+1} \le \dfrac{b}{b+c+1}$
$\dfrac{c}{a+b+1} \le \dfrac{c}{b+c+1}$

AM-GM 3 số không âm có:
$(1-b)(1-c)(b+c+1) \le (\dfrac{1-b+1-c+b+c+1}{3})^3=1$
$\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c) \le \dfrac{1-a}{b+c+1}$
Cộng lại ta có: $P \le \dfrac{1-a+a+b+c}{b+c+1}=1$
Thấy $(x;y;z)=(1;0;0)$ thoả mãn dấu =
Vậy $P_{max} =1$ :grinder:

Bất đẳng thức m gặp rồi (THTT năm 2009)

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a} \ge \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}$
$\Leftrightarrow (\dfrac{a^2}{b}+b-2a)+(\dfrac{b^2}{c}+c-2b)+(\dfrac{c^2}{a}+a-2c) \ge \sqrt{a^2-ab+b^2}-\dfrac{a+b}{2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}-\dfrac{b+c}{2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}-\dfrac{c+a}{2}$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2[\dfrac{1}{b}-\dfrac{3}{4\sqrt{a^2-ab+b^2}+2(a+b)}] \ge0$
Ta có: $4\sqrt{a^2-ab+b^2}=4\sqrt{(a-\dfrac{b}{2})+\dfrac{3b^2}{4}} > b$
Nên $4\sqrt{a^2-ab+b^2}+2(a+b) \ge 3b$ OK
Dấu = khi a=b=c

Đề thi phân ban lần 2 cuả THPT Chuyên Thái Bình
http://online.print2...3f9fba021522995

Câu HPT vừa gõ xong thì khoá chủ đề
Nên post tạm đây

ĐK: $x \ge 2;y \ge 0$
Xét phương trình đầu:
$2y-3x+\sqrt{y(x-2)}=4(\sqrt{x-2}-\sqrt{y})-6$
$\Leftrightarrow (3x-3y-6)+4((\sqrt{x-2}-\sqrt{y})) +y-\sqrt{y(x-2)}=0$
$\Leftrightarrow (x-y-2)[3+\dfrac{4}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{y(x-2)}}]=0$
$\Leftrightarrow x-y-2=0$ (vì $x \ge 2; y\ge 0$)

Thay phương trình dưới ta có:
$\sqrt{y}+2\sqrt{y^3+y^2+3y}-(2y+4)+\sqrt{5y+16}=0$
Ta có: $f(x)'=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^3+y^ 2+3y}}+\dfrac{1}{2\sqrt{5y+16}}-2$
$f(x)"=-\dfrac{1}{4y}-\dfrac{1}{y^3+y^2+3y}-\dfrac{1}{4(5y+16)} <0$
Mà $f(0)=0$
Nên y=0 là nghiệm duy nhất
Tóm lại $(x;y)=(2;0)$

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) :
Câu I (2,0 điểm)$\quad $ Cho hàm số $y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m - 1 $ có đồ thị $(C_m),\ ;m$ là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $(C_2)$ khi $m=2$.

2.Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d:y=x-1$ cắt đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$ tại đúng hai điểm phân biệt $A,B$ , sao cho tam giác $IAB$ có diện tích bằng $4\sqrt {2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)} $ với $I\left( {2;3} \right)$.

Câu II. (2,0 điểm) .

1.Giải phương trình : $\cos x\left( {\cos 2x - 19} \right) - \left( {1 + \sin x} \right)\left( {7 - \cos 2x} \right) = - 3\left( {8 + \sin 2x} \right)$

2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2y - 3x + \sqrt {y\left( {x - 2} \right)} = 4\left( {\sqrt {x - 2} - \sqrt y } \right) - 6\\\sqrt y + 2\sqrt {y\left( {xy - x + 5} \right)} = 2\left( {y + 2} \right) - \sqrt {5x + 6} \end{array} \right.\quad{(x,y \in{\mathbb{R}})}$

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân $\quad I = \int\limits_1^e {\dfrac{{x\left( {{{\ln }^2}x - 3x} \right)}}{{x + \ln x}}dx} $.

Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Biết cạnh bên hợp với mặt đáy $(ABCD)$ một góc ${30^0}$ và mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có bán kính bằng$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$ . Gọi $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua trung điểm của $SA$ , $M$ là trung điểm của $AE$ , $N$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $AC$ . Tính thể tích khối chóp$S.ABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $AC$ theo $a$.

Câu V (1,0 điểm). Cho các số thực $x,y,z$ thuộc khoảng $(1;\sqrt2)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P = \dfrac{{x{y^2}}}{{4{y^2}z - {z^2}x}} + \dfrac{{y{z^2}}}{{4{z^2}x - {x^2}y}} + \dfrac{{z{x^2}}}{{4{x^2}y - {y^2}z}}$$

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( {3;5} \right)$, $B\left( {1;2} \right)$, $C\left( {6;3} \right)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$ cắt $BC$ sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm $B,C$ đến $\Delta$ là lớn nhất. Hãy lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $E\left( { - 1;1} \right)$ đồng thời cắt cả hai đường thẳng $\Delta$ và ${d_1}:x - y + 14 = 0$ lần lượt tại hai điểm $H,K$ sao cho $3HK = IH\sqrt {10} $ với $I$ là giao điểm của $\Delta $ và ${d_1}$ .

2.Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {3;0;0} \right)$ , $M\left( { - 3;2;1} \right)$ .Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $AM$ và cắt hai trục tọa độ $Oy,Oz$ lần lượt tại hai điểm $B,C$ đồng thời tạo với mặt phẳng $\left( \beta \right):x + 2y + 2z - 8 = 0$ một góc $\varphi $ có giá trị $\cos \varphi = \dfrac{{20}}{{21}}$ . Lập phương trình đường thẳng $\Delta $ đối xứng với đường thẳng $d:\dfrac{x}{{ - 3}} = \dfrac{y}{{ - 2}} = \dfrac{z}{2}$ qua mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ biết ${z_C} < \dfrac{3}{2}$ .

Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức có phần thực âm thỏa điều kiện ${z^3} + 2\bar z - 16i = 8z$. Hãy tính mô-đun của số phức:
$$ \omega = {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} - 8\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) + 17 $$ B. Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm).

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 6 = 0$ và hai điểm $B\left( {5;3} \right)$ , $C\left( {1; - 1} \right)$ . Tìm tọa các đỉnh $A,D$ của hình bình hành $ABCD$ biết $A$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ và trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d:x + 2y - 9 = 0$ và hoành độ điểm $H$ bé hơn hơn $2.$

2.Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ , $B\left( {4; - 1;3} \right)$ và đường tròn $\left( C \right)$ là đường tròn lớn nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; - 1; - 2} \right)$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 6}}{{ - 2}}$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm $M,N$ sao cho $MN = 8\sqrt 2 $ . Lập phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ , tìm tọa độ điểm $C$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $(P):2x + y + 3z - 22 = 0$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $C$ .

Câu VII.b (1,0 điểm)
Cho hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - 2x + m}}{{x + 1}}$ có đồ thị là $\left( {{H_m}} \right)$ . Tìm $m$ để tiếp tuyến tại điểm $M$ có hoành độ bằng $-2$ thuộc $\left( {{H_m}} \right)$ cắt hai trục tọa độ ${\rm{Ox, Oy}}$ lần lượt tại hai điểm $A,B$ sao cho tam giác $IAB$ có $IA = 4IB$ với $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $\left( {{H_m}} \right)$ .

------------Hết------------

Ta có các đẳng thưcsau: (với $x+y+z=1$)
$x^2+x=x^2+x(x+y+z)=(x+y)(x+z)+x^2-yz$
Và: $\sum (x^2-yz)(y+z) = 0$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{x^2-yz}{(x+y)(x+z)}=0$ (chia 2 vế cho $(x+y)(y+z)(z+x)$)
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{x^2-yz}{x^2+x-(x^2-xy)}=0$

Ta có
Đặt $a=x^2-yz;b=x^2+x;b-a=(x+y)(x+z)$
Ta có: $ \frac{a}{b} \le \frac{a}{b-a} \Leftrightarrow -a^2 \le 0$ luôn đúng
$\Rightarrow\sum \dfrac{a}{b} \le \sum \dfrac{a}{b-a}=0$

1. Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn bất kì cắt BC tai $A_1,A_2$; cắt canh CA tại $B_1,B_2$; cắt cạnh $AB$ tại $C_1,C_2$. Chứng minh $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy khi và chỉ khi $AA_2,BB_2,CC_2$ đồng quy .

Bài làm
Sử dụng phương tích
Ta có:
$AC_1.AC_2=AB_1.AB_2$
$BA_1.BA_2=BC_1.BC_2$
$CB_1.CB_2=CA_1.CA_2$
Nhân lại ta có:
$$A_1B.B_1C.C_1A.A_2B.B_2C.C_2A=A_1C.B_1A.C_1B.A_2C.B_2A.C_2B$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{A_1B}{A_1C}.\dfrac{B_1C}{B_1A}.\dfrac{C_1A}{C_1B}=\dfrac{A_2C}{A_2B}.\dfrac{B_2A}{B_2C}.\dfrac{C_2B}{C_2A}$$

Theo định lí Menelauyt đây chính là điều phải chứng minh
====
Đề học kì sao mà khó thế