Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $0 \leq a \leq b \leq c$ và $a^2+b^2+c^2=3$.Tìm Min:

$P=3abc-2015a-b-c$

Xét hai số thực $x,y$ thỏa mãn $(x+y)^3+4xy \geq 2$.Tìm Max:

$P=3(x^2+y^2)^2-2(x+y)^2-xy(3xy-4)+2015$

Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc=>P=2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{q}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Áp dụng bđt Bunchiacopxki: $(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(9-2q)(q^2-6r)$

$=>a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(9-2q)(q^2-6r)}\leqslant \frac{9-2q+q^2-6r}{2}$ (theo Cauchy)

$=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{9-2q+q^2-6r}$

Mặt khác, áp dụng bđt Schur: $6r\geqslant \frac{6p(4q-p^2)}{9}=8q^2-18$

$<=>P\geqslant 2015+2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}$ (1)

Ta lại có: $2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}-34=\frac{(q-3)(2q^3-48q^2+333q-729)}{q(q^2-10q+27)}\geqslant 0$ 

Do $q\leqslant 3$ và $2q^3-48q^2+333q-729<0$ với $0<q\leqslant 3$

$=>2q+\frac{81}{q}+\frac{2q}{q^2-10q+27}\geqslant 34$ (2)

Từ (1);(2) suy ra: $P\geqslant 2015+34=2049$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Anh còn cách nào đễ hơn không,trường em không học BDT Schur

cho 3 số thực $x,y,z$ không âm thỏa mãn điều kiện $x+y+z > 0$.Tìm Min:

$P=\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

P/S:Làm theo nhiều cách.Cảm ơn các bạn

Cho  $x,y,z \geq 0,x+y+z \leq 3$.Tìm Min của

$$P=\frac{2}{x^3}+\frac{2}{y^3}+\frac{2}{z^3}+\frac{1}{x^2+y^2-xy}+\frac{1}{y^2+z^2-yz}+\frac{1}{z^2-zx+x^2}$$

Cho a,b,c thuộc [0;2] ,$a+b+c=3$

Tìm Min của:

$P=\frac{2}{11-a^2-b^2-c^2}-\frac{a^3+b^3+c^3}{ab+bc+ca+5}$

Cho a,b,c thuộc [0;2] ,$a+b+c=3$

Tìm Min của:

$P=\frac{2}{11-a^2-b^2-c^2}-\frac{a^3+b^3+c^3}{ab+bc+ca+5}$

cho x,y,z $\geq 0$ và x+y+z>0.Tìm Min P:

$P=\dfrac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

bạn ơi hình như không xảy ra đẳng thức vì dãy (1;1;1) không tỉ lệ (1;1;$\dfrac{1}{16}$),mình nghĩ là nếu dùng holder thì dùng 2 dãy có các hệ số tương tự nhau

Co $x,y,z \geq 0$ và thỏa mãn:$xy+yz+xz=xyz$.Tìm giá trị lớn nhất:

$P=\dfrac{x}{1+x^2}+\dfrac{y}{1+y^2}+\dfrac{z}{1+z^2}$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:$a+b+c=3$.Tìm Max:

$P=\dfrac{a^2+9}{2a^2+(b+c)^2}+\dfrac{b^2+9}{2b^2+(a+c)^2}+\dfrac{c^2+9}{2c^2+(a+b)^2}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:$a+b+c=1$.Chứng minh rằng:

$P=\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{a+c}+\dfrac{c+a^2}{a+b} \geq 2$

Cho a,b là các số thực dương:

Tìm Min:

$P=\dfrac{8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})}{1+(a+b+c)^2}$

Cho số thực a,b thuộc [1;2].tìm Min:

$P=\dfrac{(a+b)4^2}{c^2+4(ab+bc+ac)}$

Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ACD$.Các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB,AC,AD$ sao cho $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{PD}{PA}=\dfrac{1}{2}$.Gọi $I$là giao của $MN$ với $BC$ và $J$ là giao của $MP$ với $BD$

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $MG,PI,NJ$ đồng phẳng

b)Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $NI;H$ là giao điểm của $MG$ với $BE;K$ là giao điểm của $GF$ với $mp(BCD)$,chứng mnh các điểm $H,I,K,J$ thẳng hàng

Cho $a,b,c$ là 3 số thực thỏa mãn:$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$ và $a.c > 0$.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}$

Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:

$a.\sin (B-C)+b.\sin (C-A)=0$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:$ab+bc+ac=3$.Tìm min:

$P=5a^2+2b^2+c^2$.Bài này mình làm như sau:

$ma^2+nb^2\geq 2\sqrt{mn} ab$

$(5-m)a^2+\dfrac{5}{7}c^2\geq \sqrt{\dfrac{5}{7}(5-m)} ac$

$(2-n)b^2+\dfrac{2}{7}c^2 \geq \sqrt{\dfrac{2}{7}(2-n)} bc$

Tìm m,n thỏa mãn:

$mn=\dfrac{25-5m}{7}=\dfrac{4-2n}{7}$.Bài này mình biết là làm sai vì phần tách $c^2$.Sở dĩ là như vậy vì mình hay tách mẹo tách $c^2$ thành $\dfrac{2}{2+5}$ và $\dfrac{5}{2+5}$ với một số bài toán thì đúng nhưng bài toán này thì không?Ai chỉ rõ cách cân bằng hệ số cho mình với!!

Chú ý: Tiêu đề kẹp $$ vào chứ

Biết $5\tan^2x-12\tan x-5=0$ ($\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}$).Tính $\sin2x$

Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+xy+y^2\leq 3$.Chứng minh rằng:

$4\sqrt{3}-3\leq x^2-xy-3y^2\leq 4\sqrt{3}+3$

MOD.Chỉ gửi 1 chủ đề thôi .

Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^2+xy+y^2 \leq 3$.Chứng minh rằng:

$4\sqrt{3}\leq x^2-xy-3y^2\leq 4\sqrt{3}+3$

Ta có $\frac{x^2-xy-3y^2}{3}\leq \frac{x^2-xy-3y^2}{x^2+xy+y^2}=\frac{t^2-t-3}{t^2+t+1};t=\frac{x}{y}$

Sau đó xát biệt thức delta

tương tự ta cũng tìm được min 

Bạn làm sơ qua 1 chút cho mình với.không hiểu gì??