Có thể tổng quát bài toán trên thành 

Cho các số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \left [ a,b \right ]$

Khi đó ta có $\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}} \right )\leq n^{2}+k.\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{4ab}$

trong đó $k=n^{2} nếu n chẵn,k=n^{2}-1 nếu n lẻ$

Chứng minh tổng quát tn đk bạn?

Gợi ý nhé :

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

 

Ta phải  chứng minh: $3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

 

Tiếp theo đó chứng minh: $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq\frac{5}{2}$

 

Do đó ta sẽ có:$3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq 5+2.\frac{5}{2}=10$

Bạn có thể ns rõ cách suy luận hay nhận xét để có cách làm như thế đk k?

Giải phương trình: 

$\sqrt[4]{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

Cho tam giác ABC, P thuộc miền trong của tam giác. Gọi K,M,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên BC,CA,AB. Xác định P sao cho tổng $BK^{2}+CL^{2}+AM^{2}$

Giải phương trình: 

$\sqrt{\frac{6}{2-x}}+\sqrt{\frac{10}{3-x}}=4$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn abc+a+c = b. Tìm giá trị lớn nhất của $P = \frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$

Cho $x,y,z\in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của $P= (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Chọ họ đường thẳng $(d_{m})$: $y=\frac{m+1}{m^{2}+m+1}x+\frac{m^{2}}{m^{2}+m+1}$. Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có bất kì đường thẳng nào thuộc họ $(d_{m})$ đi qua.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+x+y+1}+x+\sqrt{y^{2}+x+y+1}+y=18 & \\ \sqrt{x^{2}+x+y+1}-x+\sqrt{y^{2}+x+y+1}-y=2& \end{matrix}\right.$

Thực tế là bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

        $\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}\geq x+y$

<=>  $4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3$

<=>  $x^3+y^3\geq x^2y+y^2x$

Cái này thì không khó để chứng minh 

Chỗ cuối là dùng bđt ji hay biến đổi tương đương thôi bạn

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z ta có:

$\frac{x+y+2010}{z+\sqrt[3]{4(x^{3}+y^{3})}}\leq \frac{x+y+2010}{x+y+z}$

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(-2;-5), B(-4;5) và đường thẳng d: x-2y+3 = 0

1. Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất

2. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB là nhỏ nhất

$ax^{2}+bx+c>0,\forall x\epsilon \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>0\\\Delta <0 \end{matrix}\right.$

Còn th cả 2 nhân tử đều <0 thì không xét à bạn???

BPT $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 6x^2+4x+5\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}\\ [x^{2}-(m-1)x+1][4x^2+2(m+1)x+3]>0 \end{matrix}\right.$

       $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x^2-(m-1)x+1>0\\4x^2+2(m+1)x+3>0 \end{matrix}\right.$ 

       $\Leftrightarrow -1\leq m\leq -1+2\sqrt{3}$

Bạn ơi, còn th cả 2 nhân tử <0 thì không xét à? Đoạn cuối bạn làm rõ tí đk k?

Tìm m để phương trình: 

$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+m\sqrt{x+2\sqrt{x-9}-8}=x+\frac{3m+1}{2}$có hai nghiệm x1,x2 sao cho x1<10<x2

Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: 

$6x^{2}+4x+5>\left | 2x^{2}+4mx+1 \right |$

Cho $x,y,z\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Chứng minh: $\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{m-2x(y+1)}+x-y-2=0$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{m-2x(y+1)}+x-y-2=0$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{m-2x(y+1)}+x-y-2=0$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{m-2x(y+1)}+x-y-2=0$