Bài này nhất thiết phải cho điều kiện x,y dương bạn ạ.đây là bài trong đề thi tuển sinh Hà Nội

 

Mình cũng nghĩ như bạn, nhưng mình tìm thấy đề này trong quyển tổng hợp đề thi. Nếu đề in sai thì thử đi theo cái sai thì sao?

Mình lập luận thế này không biết đúng không?

- Nếu $x\leq 0,y\leq 0$ thì trái với điều kiện.

- Nếu $x,y$ trái dấu thì $P\leq 0$

- Và nếu $x,y$ dương

biể thức sau là biểu thức nào hả bạn?

cái đó mình viết vắn tắt để hiểu thôi chứ đâu có viết chi tiết

Thế này cho dễ hiểu, theo cách của bạn thì bạn chỉ ra dấu bằng như thế nào.
Chỗ này mình thấy nó đâu có tương đương bạn: $2013x+2y^5\leq 2013\Leftrightarrow 2013+2y-2y^5\geq ...$

nếu biểu thức đó mà nhỏ hơn hc = 2013 thì sẽ tương đương vs cái mình viết

Phương pháp của bạn là lần đầu tiên mình thấy đó, cách của bạn mình nghĩ không ổn, bởi vì phải lập luận để đưa ra giá trị Max của biểu thức với các giá trị của biến thỏa mãn, chứ không thể nhảy vào là chộp ngay cái giá trị Max được, có chăng thì chỉ có thể dùng giá trị đó để phán đoán phương pháp thôi.
Cách này chỉ dùng cho chứng minh bất đẳng thức hoặc là giải phương trình bằng phương pháp đánh giá thôi.

bạn làm cụ thể được không

ok? mình sẽ giúp
Lời giải:

Từ giả thiết suy ra $-1\leq x\leq 1,-1\leq y\leq 1$ $\Rightarrow y^5\leq y^4$
Từ đó:
$A\leq 2013x+2y^4=2013x+2(1-x^4)=2013x-2x^4+4x^2-2-4x^2+8x-4+8-8x$
$=2005x-2(x^2-1)^2-4(x-1)^2+8\leq 2005x+8\leq 2005+8=2013$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1;y=0$

k có đk hả bạn,cả 2 đề là số thực à?

Đề chính xác là thế này:
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $x^4+y^4=1$. Tìm $GTLN$ của $A=2013x+2y^5$
-------------------------------
p/s : Đây là một bài trong đề thi khảo sát chất lượng giáo viên giỏi cấp THCS. Bài này có thể làm theo hai cách đó là xét khoảng hoặc là đặt $x, y$ theo $sin,cos$. Cách thứ hai mình làm vẫn chưa ra.

bạn cần cách khác k để mình post

Bạn có cách khác ak, vậy thì post lên cho mọi người cùng tham khảo. Mình chỉ mới làm được có một cách trên.

BĐT $\Leftrightarrow 2013+2y-2y^{5}\geq 2013x+2y\Leftrightarrow 2013+2y(1-y^{4})\geq 2013x+2y\Leftrightarrow 2013x+2yx^{4}\geq 2013+2y\Leftrightarrow (1-x)(2013-2y(x+1)(x^{2}+1))\geq 0$

Tuy hơi khó hiểu một tí nhưng cũng cảm ơn bạn.

đúng rồi bạn ạ, cái này dùng khi ta biết quá rõ max của nó, sử dụng sự tư duy và quan sát khéo léo là ta có thể biết đc max của nó ngay, k nhất thiết phải máy móc làm dần ra đâu bạn ạ

Vậy thì theo mình nghĩ, cách lập luận của bạn như vậy là chưa hợp lí, thứ nhất đề yêu cầu tìm Max, mà bạn lại mở đầu là BĐT tương đương với... Thứ hai nếu như sử dụng cách của bạn thì mở đầu phải chỉ ra Max của biểu thức rồi mới chứng minh, Thứ ba, đến chỗ $(1-x)(2013-2y(x+1)(x^{2}+1))\geq 0$, bạn chỉ ra dấu $"="$ được ngay là $x=1$ vậy còn biểu thức sau bạn giải thế nào????

Cho $\Delta ABC$ cân ở $A$ nội tiếp $(O;R)$. $M$ là điểm trên cung $BC$ không chứa điểm $A$. Xác định vị trí điểm $A$ để $\frac{MA.MB.MC(MA+MB+MC)}{MA.MB+MB.MC+MC.MA}$ đạt giá trị lớn nhất

Bài 1: Cho $\left\{\begin{matrix} a+b=1\\ a^3+b^3=x\\ a^5+b^5=y \end{matrix}\right.$

Tìm hệ thức liên hệ giữa $x,y$ không phụ thuộc vào $a,b$

 

Bài 2: Cho $\left\{\begin{matrix} x=\frac{b}{c}-\frac{c}{b}\\ y=\frac{c}{a}-\frac{a}{c}\\ z=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} \end{matrix}\right.$

Tìm hệ thức liên hệ giữa $x,y,z$ không phụ thuộc vào $a,b,c$

Bài 1: Cho $\left\{\begin{matrix} x^2=a^2+ab+b^2\\ y^2=b^2+bc+c^2\\ z^2=c^2+ca+a^2\\ ab+bc+ca=0 \end{matrix}\right.$

Tìm hệ thức liên hệ giữa $x,y,z$ không phụ thuộc vào $a,b,c$

Bài 2: Cho $\left\{\begin{matrix} x^3=a^2(b+c)\\ y^3=b^2(c+a)\\ z^3=c^2(a+b)\\ xyz=abc\neq 0 \end{matrix}\right.$

Tìm hệ thức liên hệ giữa $x,y,z$ không phụ thuộc vào $a,b,c$

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a+b+c=2$. Tìm GTNN: $P=\frac{a}{ab+2c}+\frac{b}{bc+2a}+\frac{c}{ca+2b}$

Cho $(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2-x^2-y^2=0$. Tìm GTNN, LN của $A=x^2+y^2$

Ta có: $y^2-4x^2y^2-(x^2-y^2+1)^2=-x^2\leq 0$ (1)
Tới đây chỉ cần đặt $u=x^2+y^2$ và giải bất phương trình $VT_{(1)}\leq 0$ là ra ngay kết quả

Bạn có thể giải ra cụ thể dùm mình được không bạn?

Bài 1: Tìm GTNN tuỳ theo m

$A= \left | x-2y+1 \right | + \left | 2x+my+5 \right |$

 

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} x-2y+1=0\\ 2x+my+5=0 \end{matrix}\right.$

 

$D=m+4, D_x=-m-10, D_y=-3$

 

TH1: $D\neq 0$, hệ có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4}\\ \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow Min_p=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4} \end{matrix}\right.$

 

TH2: $D=0 \Leftrightarrow m=-4$. Ta có:

 

$P=\left | x-2y+1 \right |+2\left | x-2y+\frac{5}{2} \right |$

 

Đặt $t=x-2y$, ta được $P=\left | t+1 \right |+2\left | t+\frac{5}{2} \right |$

 

$P=\left\{\begin{matrix} 3t+6(t\geq -1)\\ t+4(\frac{-5}{2}\leq t<-1)\\ -3t-6(t<\frac{-5}{2}) \end{matrix}\right.$

 

Xét bảng biến thiên ta sẽ có: $Min_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow t=\frac{-5}{2}$

 

Tóm lại:

 

- Nếu $a\neq -4$ thì $Min_p=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-m-10}{m+4}\\ y=\frac{-3}{m+4} \end{matrix}\right.$

 

- Nếu $a=-4$ thì $Min_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 2x-4y+5=0$

Tìm GTNN của:
a) $A= x^2+26y^2-10xy+14x-76y+70$
b) $B= 2x^2+9y^2-6xy-12y+2028-6x$
c) $C= 3x^2-2(a+b+c)x+a^2+b^2+c^2$

Đặt y=3-x bài toán trở thành : Tìm GTNN của $x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}$ trong đó x, y thỏa mãn  : $x^{2}+y^{2}\geqslant 5;x+y=3$

Từ hai hệ thức trên ta có : $(x^{2}+y^{2})+4(x+y)^{2}\geqslant 41\rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+8xy\geqslant 41$

Mà : $16(x^{2}+y^{2})^{2}+25(2xy)^{2}\geqslant 40(x^{2}+y^{2})(2xy)$ đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x^{2}+y^{2})=5(2xy)$

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên cho $25(x^{2}+y^{2})^{2}+16(2xy)^{2}\rightarrow 41((x^{2}+y^{2})^{2}+2xy)\geqslant (5(x^{2}+y^{2}+8xy))^{2}\geqslant 41^{2}\rightarrow x^{4}+y^{4}+6x^{2}y^{2}\geqslant 41$.

 

$41\left [ (x^{2}+y^{2})^{2}+(2xy)^2 \right ]$

Cho x,y,z là các số dương và $x+y+z\leq \frac{3}{2}$. Tìm GTNN của $P=x+y+x+\frac{1}{x^2y}+\frac{1}{y^2z}+\frac{1}{z^2x}$

Cho tam giác ABC thoả: $Sin^2B + sin^2C + sinBsinC \geqslant sin^2A$

Tìm GTNN của $P=cotA + cotB + cotC$

Cám ơn!

 

$Sin^2B + sin^2C + sinBsinC \leq sin^2A$ chứ nhỉ?

Cho $x$ thỏa mãn phương trình: $x^2+2ax+9=0(a\geq 3)$
Cho $y$ thỏa mãn phương trình: $y^2-2by+9=0(b\geq 3)$
Tìm GTNN của $f(a,b)=3(x-y)^2+(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^2$ khi $f(a,b)$ nhỏ nhất xác định $a$ và $b$

1. Phương trình 1: $$x <0$$
2. Phương trình 2: $$y>0$$
3. Xét hàm số $$f(x)=3(x-y)^2+(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^2$$
4. Ta có: $$f'(x)=\dfrac{2(x-y)(3x^3y+1)}{ỹ^3}$$
5. Do điều kiện $x<0,y>0$ nên $$f'(x)=0 \Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{3x^3}$$
6. Ta được: $$3(x-y)^2+(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^2 \geq \dfrac{1}{3} \dfrac{(3x^4+1)^3}{x^6}$$
7. Xét hàm số $$g(x)=\dfrac{(3x^4+1)^3}{x^6}$$
8. Ta có $$g'(x)=\dfrac{2(3x^4+1)^2(3x^4-1)}{x^7}$$
9. Do $x<0$ nên $$g'(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}$$
10. Kết luận: $$f(a,b) \geq 8\sqrt{3} \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}},y=\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}$$

Anh có thể nói rõ hơn cho em mấy chỗ xét hàm số $f'(x)$ và $g'(x)$ dùm em được không? Em mới học lớp 9 nên không hiểu rõ lắm,

Cho các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $(x+y)^3+4xy\geq 2$.

 

Tìm GTNN của $A=\frac{9}{4}(x^4+y^4)+\frac{9}{2}x^2y^2-2(x^2+y^2)+1$

a) Tìm GTLN:
$f(x)=1-4x^4-4x^3-x^2$ và $P(x)=(x^2-2x+2)(4x+2-2x^2)$
b) Cho $x,y$ thỏa mãn $x^2+2xy+7x-2y^2+7y+10=0$. Tìm GTLN,NN của $S=x+y+1$

Cho $x^4+y^4=1$. Tìm GTLN của: $A= 2013x+y^5$

Tìm GTLN của $B=x^2+y^2$ biết $(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2-x^2-y^2$

 

Hình như đề bài thiếu dữ kiện!