Tam giác ABC có sinA+sinC=2sinB
Chứng minh rằng: $tan\frac{A}{2}+tan\frac{C}{2}\geq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz$\geq 1$
Tìm min: P=$\sum \frac{x^{5}-x^{2}}{x^{5}+y^{2}+z^{2}}$

Cho tam giác ABC nhọn với H là trực tâm. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt Ch tại E. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE,CD.
a, CMR: H,M,N thẳng hàng
b, MN cắt trung tuyến Al của tam giác ABC tại P. CM: đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC

Sử dụng C-S:
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}=\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{a^{2}+8bc}}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{a^{2}+8bc}}$
Mặt khác cũng theo C-S:
$\sum a\sqrt{a^{2}+8bc}\le \sqrt{(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{4}+24abc)}$
$\Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{a^{2}+8bc}} \ge \sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}}$
Cần chứng minh
$(a+b+c)^{3}\ge a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc \Leftrightarrow 3(a+b)(b+c)(c+a)\ge 24abc$ (đúng)

giải tiếp đi bạn ơi. làm đến yêu cầu tìm Min mà

Cho 3 số thực dương a,b,c
Tìm Min $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}$

Bạn thử kiểm tra đề giúp mình nhé .
Mình chỉ giải đc với $\sum \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+7ab+b^{2}}}$ thôi
Bạn pm nhanh nhé để mình còn biết mà nghĩ cách khác .

Mình đã đưa ra đề đúng rồi bạn ạ. bạn xem lại cách giải đi

Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
CMR: $(a+b+c)^{2}\leq 9bc$

Cho a,b,c là 3 số dương
Tìm Min P=$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+7ab+b^{2}}}$

Tìm trên đường thẳng y=x+1 những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức $y^{2}-3y\sqrt{x}+2x=0$

Giải phương trình:
$54x^{3}+1=y^{3}$
-
MOD:Tiêu đề của bạn đã đặt sai.Bạn tham khảo cách đặt tiêu đề tại đây

Đúng là ngốc xít

đừng nói thế bạn ơi... mình đọc chưa hết đề bài mà

Cho tam giác ABC cân tại A. 1 điểm M di động trên BC. Qua M kẻ đường thẳng // AB,AC , cắt AB tại D, cắt Ac tại E. I là điểm đối xứng của M qua DE.
a, CMR: AIBC nội tiếp
b, CMR: M di động trên BC thì MI đi qua 1 điểm cố định

Giải phương trình
$x^{6}+z^{3}-15x^{2}z=3x^{2}y^{2}z-(y^{2}+5)^{3}$
--
MOD:Tiêu đề của bạn đã đặt sai.Bạn tham khảo cách đặt tiêu đề tại đây

Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix} &x^{2}-y^{2}+xy=1 & \\ &3x+y=y^{2}+3 & \end{matrix}\right.$

Mình xin được giải:
Ta có: P=$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})$
= $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
Áp dụng BĐT AM-GM suy ra P$\geq \frac{8abc}{abc}$
vậy Min P =8
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều

Thơ: Thôi đừng nghĩ cho thêm sầu
Bây giờ làm lại từ đầu đi em

hay lắm quang béo ạ

Sao được nhỉ.Như thế thì $a;b;c;d;e$ lớn hết cỡ thì $P$ cũng tăng theo thôi

Mình nhầm bạn ạ... bạn xem lại đề mình sửa rồi nhé

Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ các đường cao BM xuống AD, BN xuống CD. Biết tỉ số $\frac{MN}{BD}$= $\frac{1}{2}$. Tính các góc của hình thoi

Cho các số nguyên a,b,c,d,e thỏa mãn a+b+c+d+e=1
Tìm Max P=ab+bc+cd+de+ea

$x^{2}+2x+2006$ $= (x+1)^{2}+2005$ $\Rightarrow $x=-1$ .
$\Rightarrow$$x^{2}=1$ .vậy $Min = 2005$

Nhầm rồi bạn ơi!!
Min là $\frac{2005}{2006}$

Câu 3:
a) Ta có phương trình tương đương
$(\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^{2}-14x-5=0$$\Leftrightarrow \frac{3x-15}{\sqrt{3x-1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(3x+1)(x-5)=0$
Đặt (x-5) ra làm thừa số chung ta có tích 2 thừa số nhân vs nhau=0
Ta dễ cm được 1 thừa số luôn lớn hơn 0
Suy ra x=5

Vì y là nghiệm của pt nên $y^{5}-y^{3}+y=2$(*)
Nhân 2 vế của pt trên với $y+\frac{1}{y}$ ta được
$y^{6}+1=2(y+\frac{1}{y})$
Vì VT luôn dương nên y>0
Áp dụng BĐT cô si có
$y^{6}+1=2(y+\frac{1}{y})\geq 4$
$\Rightarrow y^{6}>3$ mà y>0 nên y>$y^{6}$
Chia 2 vế pt (*) cho $y^{3}$ ta được :
$\frac{2}{y^{3}}+1=y^{2}+\frac{1}{y^{2}}>2 \Rightarrow y<\sqrt[6]{4}$
Cuối cùng ta được ĐPcm

Ta sẽ chứng minh cái đầu trước , giả sử y > căn bậc 6 của 3 suy ra$y^{4}+y^{3}+1=\frac{1}{x-1}\geq \frac{1}{\sqrt[6]{3}-1}...y^{4}+y^{3}+1\leq \sqrt([6]{3})^{4}+(\sqrt[6]{3})^{3}+1 vô lý\Rightarrow \blacksquare 1$, suy ra y dương, dùng cầu chỳ ta có$VT\geq 2x^{3}-x^{3}-2\Rightarrow x< \sqrt[6]{4}\Rightarrow \blacksquare$

bạn ms chứng minh 1 chiều. còn chiều kia thì sao?

Cho k là số thực cố định không đổi và x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1
Tìm Max F=xy+yz+xz+kxyz