120:

Đặt $2^{x}=t$ ta có: $\left\{\begin{matrix} t^{3}=5y^{2}-4y\\ \frac{t^{2}+2t}{t+2}=y \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} t^{3}=5y^{2}-4y\\ t=y \end{matrix}\right.$ <=> $y^{3}-5y^{2}+4y=0$

Giải hpt:
118) $\left\{\begin{matrix}xy-3x-2y=-4 & & \\ x^2+y^2-2x-4y=-5 & & \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} (x-2)(y-3)=2\\ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=1;y=2$. Thay vào pt đầu => VN

 

Bài 94. $4x^3-12x^2+9x-1=\sqrt{2x-x^2}$

 

$(x-1)(4x^{2}-8x+1)=\sqrt{2x-x^{2}}$

$\Rightarrow (x^{2}-2x+1)(4x^{2}-8x+1)^{2}=2x-x^{2}$

Đặt $2x-x^{2}=a$ => $a=(1-a)(1-4a)^{2}\Leftrightarrow 16a^{3}-24a^{2}+10a-1=0$

$\Leftrightarrow a=\frac{2\pm \sqrt{2}}{4}$ hoặc $a=\frac{1}{2}$

121:

pt (2) =>$x^{2}.(xy-1)=1-xy$ => xy =1 hoặc $x^{2}=-1$ ( loại)

--------

p/s: mik nghĩ VP pt (2) là -1 chứ nhỉ

122:

Thay $xy=3-x^{2}$ vào pt (1)

=>$y^{3}+y(3-x^{2})+3x-6y=0\Leftrightarrow (x-y)(3-xy-y^{2})=0$

224. $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-2x+xy-y=0\\ 2y^{2}+2y-xy-x=0 \end{matrix}\right.$

pt (1) $\Leftrightarrow (x-1)(2x+y)=0$

$\Leftrightarrow x=1\cup 2x=-y$

126:

thay $y=(x-1)^{4}$ vào pt (1)

=> $\sqrt{x-1}-(x-1)^{2}=8-x^{3}$

Đặt $\sqrt{x-1}=t\geq 0\Rightarrow x=t^{2}+1$

=> $t-t^{4}=8-(t^{2}+1)^{3}\Leftrightarrow t^{6}+2t^{4}+3t^{2}+t-7=0\Leftrightarrow t=1$

=> x = 2 và y = 1

Bài 95. $x^3-3x=\sqrt{x+2}$

$(x^{3}-3x-2)-(2-\sqrt{x+2})=0$
$\Leftrightarrow (x-2)\left [(x-1)^{2}-\frac{1}{2+\sqrt{x+2}} \right ]=0\Leftrightarrow x=2$

ĐK của x : $x\geq 3$ hoặc $-2\leq x\leq 0$
$2+\sqrt{x+2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{2+\sqrt{x+2}}\leq \frac{1}{2}$
=> BT $\geq (x-1)^{2}-\frac{1}{2}$
- Nếu $x\geq 3$ => đúng
- Nếu $-2\leq x\leq 0$ thì $(x-1)^{2}-\frac{1}{2}$ = $\frac{2x^{2}-4x+1}{2}$. x trog khoảng này thì BT cũng dương => VN

 

 

116) $\left\{\begin{matrix}x-2y-\sqrt{xy}=0 (1) & & \\ \sqrt{x-1}-\sqrt{2y-1}=1 & & \end{matrix}\right (2).$

 

 

ĐK....

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y}).(\sqrt{x}-2\sqrt{y})=0$ => $x=4y$. Thay vào (2) ta có:

$\sqrt{4y-1}-\sqrt{2y-2}=1\Rightarrow y=\frac{1}{2}$  

Tên thật: Vũ Thùy Linh

Lớp 9A3 - trường THCS Lâm Thao - huyện Lâm Thao - tỉnh Phú Thọ

 

Đề Bài: Giải phương trình:

$8x^{2}+3x+7=6x\sqrt{x+8}$

Lời giải:

ĐKXĐ: $x+8\geq 0\Leftrightarrow x\geq -8$

Ta có: $8x^{2}+3x+7=6x\sqrt{x+8}$

       $\Leftrightarrow \left [ 9x^{2} -6x\sqrt{x+8}+(x+8)\right ]-(x^{2}-2x+1)=0$

       $\Leftrightarrow (3x-\sqrt{x+8})^{2}-(x-1)^{2}=0$

       $\Leftrightarrow 3x-\sqrt{x+8}=x-1(1)$

                      hoặc $3x-\sqrt{x+8}=1-x(2)$

$(1)\Leftrightarrow 2x+1=\sqrt{x+8}$  (ĐK: $x\geq \frac{-1}{2}$ )

Bình phương 2 vế:

$\Rightarrow 4x^{2}+4x+1=x+8$

$\Leftrightarrow 4x^{2}+3x-7=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(4x+7)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ $\in$ ĐKXĐ hoặc $x=\frac{-7}{4}$ $\notin$ ĐKXĐ

$(2)\Leftrightarrow 4x-1=\sqrt{x+8}$   (ĐK: $x\geq \frac{1}{4}$ )

Bình phương 2 vế:

$\Rightarrow 16x^{2}-8x+1=x+8$

$\Leftrightarrow 16x^{2}-9x-7=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(16x+7)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ $\in$ ĐKXĐ hoặc $x=\frac{-7}{16}$ $\notin$ ĐKXĐ

Vậy S = { 1 }

$\left\{\begin{matrix} & \\ x^2+1+y(x+y)=4y & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

y=0 không là nghiệm

=>$\left\{\begin{matrix} (x^{2}+1)+y(x+y-2)=2y\\ (x^{2}+1).y.(x+y)=y^{2} \end{matrix}\right.$

Đặt $x^{2}+1=u;y(x+y-2)=v$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} u+z=2y\\ uv=y^{2} \end{matrix}\right.$

1. Trước hết cm đường thẳng d luôn đi qua 1 điểm M cố định. M(1;2)

Nếu m = 0 thì y = 2. Khoảng cách từ O đến d bằng 2

Nếu 2 - m = 0 => m = 2 => y = 2x

Nếu m khác 2 và 0. Đt d cắt Ox và Oy thứ tự tại A và B.

=> A($\frac{m}{m-2}$;0) và B(0;m). Kẻ OH vuông góc với AB tại H 

$OH\leq OM=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$

=>OH Max = $\sqrt{5}$. Dấu "=" khi H trùng M. Sau đó áp dụng hệ thức trong tam giác vuông $\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}=\frac{1}{OM^{2}}=\frac{1}{5}$

Thay giá trị OB và OC theo m, giải pt tìm được m

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}-8xy-12xy+12y^{2}=0\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)(2x-3y)=0 (1)\\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y(2) \end{matrix}\right.$

Từ (1) $\Rightarrow x=y$ hoặc $2x=3y$

- Nếu x = y. Thay vào (2) ta có:

$4x^{2}-6x+1=x^{2}-3x$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+1=0$

$\Delta =-3< 0$ nên phương trình vô nghiệm

- Nếu 2x = 3y. Thay vào (2) ta có:

$9y^{2}-9y+1=y^{2}-3y$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-6y+1=0$

$\Leftrightarrow 8y^{2}-4y-2y+1=0$

$\Leftrightarrow (2y-1)(4y-1)=0$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4}$ hoặc $y=\frac{1}{4}\Rightarrow x=\frac{3}{8}$

Vậy $(x;y)\in \left \{ (\frac{3}{4};\frac{1}{2}),(\frac{3}{8};\frac{1}{4}) \right \}$

* Mở rộng :

Với trường hợp không thể phân tích phương trình (1) thành nhân tử có vế phải bằng 0. Cách giải chung:

Vì  y = 0 không là nghiệm của hệ. Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho $y^{2}$

Đặt $\frac{x}{y}=m$ ta đưa được về dạng $(m-a)^{2}=b$ ( với a và b là hằng số )

Tìm được $\frac{x}{y}$ thay vào phương trình (2) và tìm được nghiệm

Cụ thể trong bài: Chia 2 vế (1) cho $y^{2}$ 

(1) $\Leftrightarrow \frac{4x^{2}}{y^{2}}-\frac{10x}{y}+6=0$

$\Leftrightarrow (\frac{2x}{y}-\frac{5}{2})^{2}=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y}=1$ hoặc $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$. Giải tương tự như trên ta tìm đươc nghiệm của hệ__

_________________________
Tạm coi cái mở rộng là cách giải khác, +5 điểm

$d = 9$

$S = 45$

k cần phải thế. Báo đâu có bắt buộc, chưa bao giờ báo bảo thế cả

xem ở mục Ru bic hỏi đáp mấy số trước mà xem. Phải có

Câu này sai oy. K cần phiếu vẫn gởi đc. Tui có bao giờ gởi phiếu đâu.

phải có phiếu mà, trên báo cũng ns gửi phải cần phiếu !!

 Em thấy toán 1 mọi năm toàn > 40 hic hic năm nay liệu mấy đấy anh

ý bạn là trên 40 h/s hay trên 40 điểm thế

40đ ý

năm trước lấy 39 

mà chia thành 2 lớp, mỗi lớp 40 phải ko nhỉ

2a

gt => $a^{2}(a-1)+b^{2}(b-1)+c^{2}(c-1)=0$ (*)

Ta có: $a^{2}+b^{2}=1-c^{2}\geq 0\Leftrightarrow c^{2}\leq 1\Leftrightarrow -1\leq c\leq 1$

CMTT => $-1\leq a,b,c\leq 1$

Suy ra: $a^{2}(a-1)\leq 0$, $b^{2}(b-1)\leq 0$ , $c^{2}(c-1)\leq 0$

=> (*)$\leq 0$. Dấu "=" xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1

=> P = 1

Với $x=y=0$ là nghiệm của HPT

Với $xy\neq \Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy^2=2y\\ $3x^3+y^3+2x^2y^2=0 \end{matrix}$\right.$

Đặt $x=ty\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^2y^2+ty^3=2y\\ 3t^3y^3+y^3=2t^2y^4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^2y+ty^2=2\\ 3t^3-2t^2y=-1 \end{matrix}\right.$ ra HPT đẳng cấp rồi

Đặt $t=zy\Rightarrow z=-1\Rightarrow y^2+x=0$

$\Rightarrow y=1,x=-1$

chỗ này biến đổi từ đâu? 

Câu 1:

a. ĐK: $x\geq \frac{1}{2}$

gt => $(2x-1)+2\sqrt{2x-1}+1=x^{2}+2x+1$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}+1)^{2}=(x+1)^{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=x$ ( vì x $\geq \frac{1}{2}$)

$\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=1$

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG 

ĐỀ CHÍNH THỨC 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN : TOÁN LỚP 9 - BẢNG A

Thời gian thi : 150 phút 

 

Bài 1: (2,0 điểm). 

 

a) Cho $a=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

 

Chứng minh rằng $a$ là một nghiệm của phương trình $2013x^2-2014x+1=0$

 

b) Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xy+yz+zx=2014$. Tính giá trị của biểu thức :

$P=x\sqrt{\frac{(y^2+2014)(z^2+2014)}{x^2+2014}}+y\sqrt{\frac{(z^2+2014)(x^2+2014)}{y^2+2014}}+z\sqrt{\frac{(x^2+2014)(y^2+2014)}{z^2+2014}}$

 

Bài 1a: Quy đồng biến đổi tìm đc a = 1. Thay a = 1 vào pt => đpcm

b. Thay $xy+yz+zx=2014$ ta có:

$x\sqrt{\frac{\left (y^{2}+2014 \right )(z^{2}+2014)}{x^{2}+2014}}=x\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)^{2}(z+x)}{(x+y)(x+z)}}=x(y+z)$

CMTT => P = $2(xy+yz+zx)=4028$

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG 

ĐỀ CHÍNH THỨC 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN : TOÁN LỚP 9 - BẢNG A

Thời gian thi : 150 phút 

 

 

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3-3x=y\\ y^3-3y=z\\ z^3-3z=4-x \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix} (x-2)(x+1)^{2}=y-2\\ (y-2)(y+1)^{2}=z-2 \\ (z-2)(z+1)^{2}=2-x \end{matrix}\right.$

-Nếu $(x-2)(y-2)(z-2)=0$ ....

- Nếu $(x-2)(y-2)(z-2)\neq 0$. Nhân theo vế => $\left [(x+1)(y+1)(z+1) \right ]^{2}=-1$ VN

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG 

ĐỀ CHÍNH THỨC 

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN : TOÁN LỚP 9 - BẢNG A

 

Bài 2: (2,0 điểm).

 

a) Giải phương trình: $x^2+2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3x+1$

 

Ta thấy x = 0 ko là nghiệm

Nếu x khác 0. Chia 2 vế pt có x

$x+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3+\frac{1}{x}\Leftrightarrow (x-\frac{1}{x})+2\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1=4\Leftrightarrow (\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1)^{2}=4\Rightarrow \sqrt{x-\frac{1}{x}}=1$

$\Rightarrow x^{2}-x-1=0$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I,cắt đường tròn (O) tại M.

a.CMR: $ MC^2=MI. MA$

b. Kẻ đường kính MN. Các tia phân giác của B và C cắt AN tại P và Q. 

CMR: 4 điểm B,C,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn.

a. Xét $\Delta MCI$ VÀ $\Delta MAC$ CÓ:

Chung $\angle AMC$

$\angle MCI=\angle MAB$ ( cùng chắn cung BM) $=>\angle MCI=\angle MAC$

Suy ra $=>\Delta MCI$ ~ $\Delta MAC$ ( g.g )$\Rightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{MI}{MC}\Rightarrow MC^{2}=MA.MI$

Câu 1b

gt =>$x^{4}-y^{4}+4(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)\left [ \left ( x+y \right ) (x^{2}+y^{2})+4\right ]=0$

$\Leftrightarrow (x-y).A=0$. Mà VT 2 pt của hệ luôn dương => x, y > 0 => A > 0 ( VN )

Với x = y thay vào => x, y là nghiệm của pt

$t^{4}-4t+3=0\Leftrightarrow (t^{2}+2)^{2}-(2t+1)^{2}=0$

$\Leftrightarrow t^{2}-2t+1=0\Leftrightarrow t=1$

                 hoặc $\Leftrightarrow t^{2}+2t+3=0(VN)$

Vậy x = y = 1