cho $a,b,c \in [0,1]$ chứng minh rằng 

$a+b^2+c^3-ab-bc-ac\leq1$

$0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc\geq 0\Leftrightarrow a+b+c-(ab+bc+ca)\leq 1-abc\leq 1$

Mà $b(1-b)\geq 0\Rightarrow b^{2}\leq b$

      $c(1-c^{2})\geq 0\Rightarrow c^{3}\leq c$

$\Rightarrow a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq 1$

Ta xét dãy số gồm 2008 số có dạng :

1, 11, 111,.... , 111...11 chia cho 2007

Theo nguyên tắc Đrich- lê sẽ tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 2007.

Gọi 2 số đó là A và B ( A > B)

=> A - B = 111...1100...0 chia hết cho 2007 ( ĐPCM)

Cho các số thực không âm $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ thỏa mãn:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} =1$

Tìm Max Q = $a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{4}+a_{4}a_{5}$

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng : $\left | \frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a} \right |< 1$

Nhân 2 vế với abc >0 ta có:

VT = $\left | ac(a-c)+ab(b-a) +bc(c-b)\right |$

     =$\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$

Theo BĐT tam giác: $\left | a-b \right |< c$ ; $\left | b-c \right |< a$ ; $\left | c-a \right |< b$

=> VT < abc = VP (đpcm)

A = $2(x+y+z)+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}-\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}$

   =$2(x+y+z)+\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}-\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}=2(x+y+z)=4026$

Cho $\Delta ABC$. O là điểm trong tam giác sao cho$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}$. Vẽ $OH\perp AB(H\in AB)$, vẽ $OK\perp AC(K\in AC)$. Gọi M,E và F thứ tự E là trung điểm của BC,BO và CO. Chứng minh:

a)$\widehat{OEH}=\widehat{OFK}$

b)$MH=HK$ hay MH=MK gì đó(mình không nhớ rõ).

sr mik ko tải đc latex

a. Đặt góc HBO = góc KCO = a

=> góc HEO = góc KFO = 2a (góc ngoài tam giác)

b. gt => ME là đường trung bình tam giác BOC => ME // OC và ME = OF (1)

             MF là đường trung bình tam giác CBO => MF // BO và MF = OE (2)

Từ (1) và (2) => T.g MEOF la hình bình hành. K/h phần a => góc HEM = góc MFK

Mà HO = EO = MF và KF = OF = ME => tam giác EMH = tam giác FKM (c.g.c) => MH = MK (đpcm)

Cho a, b, c là các số thực ko âm. Cm:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

Cho x, y, z $\geq 0$ và $x+y+z=1$. Cm:

A = $\sqrt{x+\frac{(y-z)^{2}}{12}}+\sqrt{y+\frac{(z-x)^{2}}{12}}+\sqrt{z+\frac{(x-y)^{2}}{12}}\leq \sqrt{3}$

tham khảo tại dây

https://www.google.c...DNP1WgGLS2HssUQ

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), H và I thứ tự là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Biết AH = R, tính$\angle A$

Tìm đa thức f(x) thỏa mãn:

f(x) có bậc 2 và f(x) $\leq 1$ với $\left | x \right |\leq 1$, f(x) $\geq 7$ với x $\geq 2$