$\frac{1}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2a}$
$\frac{1}{b^{2}+1}\leq\frac{1}{2b}$
$\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2c}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1)$
$ab+bc+ac=3\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}(2)$
Từ (1) và (2) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2abc}(*)$
Vì a,b,c>0 nên $\frac{3}{2abc}\leq \frac{3}{2}(**)$
Từ (*)và (**) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$
shinichikudo201 nội dung
Có 473 mục bởi shinichikudo201 (Tìm giới hạn từ 14-05-2020)
#548871 $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 22-03-2015 - 23:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
#548539 Chứng minh $\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-03-2015 - 17:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Sai rồi, nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0$ à
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a; b; c)=(0 ;0; 1006)$ và các hoán vị
#548538 $\sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq 1$
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-03-2015 - 17:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
1)Cho a, b, c là các số dương thỏa a+b+c=3. Chứng minh
a) $\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$
b) $\sum \frac{a^2}{a^2+2b^2}\geq 1$
c) $\sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq 1$
2)Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq 3(a^2+b^2)$
( Chỉ dùng Cô-si hoặc biến đổi tương đương)
Tất cả các câu bài $1$ đều sủ dụng phương pháp $Cauchy$ ngược dấu.
Ví dụ như câu $a$ thì sẽ làm như thế này:
$\sum \frac{1}{a^2+1}= \sum 1-\frac{a^2}{a^2+1}\geq \sum 1-\frac{a^2}{2a}= \frac{3}{2}$
#548506 Chứng minh $\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-03-2015 - 12:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a; b; c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1006$ . Chứng minh:
$\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt{2012+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$
#548111 Tìm Max $M=\frac{x^4}{(x^2+1)^2}$
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 18-03-2015 - 22:11 trong Bất đẳng thức và cực trị
M=x^4/(x^2+1)^2 <= x^4/(2x)^2 = x^2/4
=> MaxM=x^2/4 ( Dấu "=" xảy ra khi x^2 = 1 ; (x-1)^2=0 => x=1 )
=> MaxM = 1/4 ( Dấu "=" xảy ra khi x=1 )
Sai bản chất.
#547979 Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 18-03-2015 - 13:35 trong Đại số
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}$
$\sum \sqrt{a^2-ab+b^2}= \sum \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2}\geq \sum \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2}= \sum \frac{1}{2}(a+b)= 1$
#547756 CMR: $\sum \frac{1}{a+b}\geq \su...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 17-03-2015 - 17:29 trong Bất đẳng thức và cực trị
giải phương trình đã cho ra nghiệm chỉ có a=b=c=2 thỏa mãn => thay vô bđt
Cho a, b, c là các số nguyên dương t/m điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$
CMR: $\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^{2}+28}$
Bài này đã có ở đây
(Giải phương trình kiểu gì mà như thánh. )
#545427 Chứng minh phương trình $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 2001^n$ luôn có n...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 22-02-2015 - 21:04 trong Số học
Tất cả những câu của bài 3 đều có trong cuốn ''Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên'' của Vũ Hữu Bình, bạn có thể tham khảo thệm.
#544674 Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 17-02-2015 - 16:14 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
bạn có viết nhầm ko mà sao mình giải số không được chẵn
Nếu có thể thì mong bạn viết hộ mình cách giải, còn HPT nghiệm không chẵn cũng là chuyện bình thường.
#544663 $\left\{\begin{matrix} x^3y(1+y)+x^2y^2(y+...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 17-02-2015 - 15:34 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^3y(1+y)+x^2y^2(y+2)+xy^3=30 & \\ x^2y+x(1+y+y^2)+y=11& \end{matrix}\right.$
#544648 Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 17-02-2015 - 14:05 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2-y^2-y=0 & \\ x^2+xy+x=1& \end{matrix}\right.$
#544195 CMR: $\sum \frac{1}{a+b}\geq \su...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 14-02-2015 - 22:09 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=12$.
CMR:
$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^2+28}$
$\sum \frac{8}{a^2+28}= \sum \frac{8}{a^2+(a^2+b^2+c^2)+16}= \sum \frac{8}{(2a^2+8)+(b^2+4)+(c^2+4)}\leq \sum \frac{8}{8a+4b+4c}= \sum \frac{2}{2a+b+c}$
Do đó ta quy BĐT về chứng minh:
$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{2}{2a+b+c}$
Điều này luôn đúng theo BĐT $Schwarz$ :
$\sum \frac{1}{a+b}= \frac{1}{2}\sum (\frac{1^2}{a+b}+\frac{1^2}{b+c})\geq \frac{1}{2}\sum \frac{(1+1)^2}{a+b+b+c}= \sum \frac{2}{a+2b+c} (đpcm)$
#541548 Tìm $min$ $\sum \frac{1}{\sqrt...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-01-2015 - 22:15 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương $a; b; c$ thỏa mãn $15\sum \frac{1}{a^2}= 10\sum \frac{1}{ab}+2007$
Tìm $max$ $\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}$
Áp dụng các BĐT $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ và $xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ ta có:
$5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq 15(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})= 10(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2007\leq \frac{10}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+2007$
$\Rightarrow \frac{5}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq 2007\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \sqrt{\frac{6021}{5}}$
Mặt khác$\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}= \sqrt{(2a+b)^2+(a-b)^2}\geq \sqrt{(2a+b)^2}= a+a+b$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\leq \frac{1}{a+a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$
Chứng minh tương tự rồi cộng các BĐT cùng chiều ta thu được:
$P\leq \frac{1}{9}(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})\leq \frac{1}{9}.3.\sqrt{\frac{6021}{5}}= \frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt{\frac{45}{6021}}$
Vậy $maxP= \frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}$ đạt được khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt{\frac{45}{6021}}$.
#541545 Tìm $min$ $\sum \frac{1}{\sqrt...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-01-2015 - 21:59 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương $a; b; c$ thỏa mãn $15\sum \frac{1}{a^2}= 10\sum \frac{1}{ab}+2007$
Tìm $max$ $\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}$
#541543 Tìm $min$ $\sum \frac{1}{\sqrt...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-01-2015 - 21:56 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn $15\sum \frac{1}{a^2}= 10\sum \frac{1}{ab}+2007$
Tìm $min$ $\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}$
#541517 Chứng minh $ab(a+b)^2\leq \frac{1}{64}$
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-01-2015 - 18:28 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a; b$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}= 1$
Chứng minh $ab(a+b)^2\leq \frac{1}{64}$
#541513 Thông báo lỗi kĩ thuật lạ.
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-01-2015 - 18:22 trong Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn
#541512 Tìm $GTNN$ của biểu thức $\frac{x-1}{y+t...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-01-2015 - 18:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tìm $GTNN$ của biểu thức $\frac{x-1}{y+t}+\frac{1-y}{y+z}+\frac{y-z}{x+z}+\frac{z-x}{x+t}$ (với $x; y; z; t> 0$)
#541485 Tính độ dài sợi chỉ quấn quanh trụ.
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 21-01-2015 - 11:12 trong Hình học không gian
Một hình trụ có chu vi mặt đáy là $16 cm$, chiều cao $84cm$. Người ta quấn xung quang trụ một sợi chỉ, quấn đều đúng $70$ vòng từ đáy này sang đáy kia của trụ. Tính chiều dài sợi chỉ?
#541441 Tìm max $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 20-01-2015 - 20:00 trong Bất đẳng thức và cực trị
Giả sử $x; y; z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$
Tìm max $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$
Chia cả hai vế của $GT$ cho $z^2$ rồi đặt $t=\frac{1}{z}$
Bài toán trở thành:
Tìm max $P=\frac{1}{x^4+y^4+t^4}$ với $xy^2+x^2t+yt^2=3$.
Áp dụng $BĐT$ $AM-GM$ cho $4$ số:
$(x^4+y^4+y^4+1)+(x^4+x^4+t^4+1)+(t^4+t^4+y^4+1)\geq 4t^2y+4x^2t+4t^2y= 12$
$\Rightarrow x^4+y^4+t^4\geq 3\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}$
Vậy $max P=3$ đạt được khi và chỉ khi $x=y=z=1$
#541438 Tìm max $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 20-01-2015 - 19:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
Giả sử $x; y; z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$
Tìm max $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$
#540403 Tìm tất cả các số $\bar{ab}$ và $\bar...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 11-01-2015 - 18:15 trong Số học
Tìm tất cả các số $\bar{ab}$ và $\bar{cd}$ thỏa mãn:
$\bar{ab}.\bar{cd}=\bar{ba}.\bar{dc}$
#540366 Báo lỗi diễn đàn
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 11-01-2015 - 13:18 trong Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn
Các bạn cho biết là diễn đàn có chậm hơn nhiều so với các trang khác không? (Trang nào thì các bạn nêu ra để những người khác có thể cùng kiểm tra xem).
Nếu thực sự chậm thì BQT sẽ tìm biện pháp để khắc phục.
Nhân đây mình cũng xin nói luôn là cho đến hôm nay thì tốc độ cải thiện rất đáng kể, chỉ lâu khi vào cổng thôi, còn khi vào trong rồi thì load rất nhanh (cho hỏi diễn đàn có dùng thêm cookie không?)
#540320 Báo lỗi diễn đàn
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 10-01-2015 - 22:15 trong Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn
Các bạn cho biết là diễn đàn có chậm hơn nhiều so với các trang khác không? (Trang nào thì các bạn nêu ra để những người khác có thể cùng kiểm tra xem).
Nếu thực sự chậm thì BQT sẽ tìm biện pháp để khắc phục.
Vậy mọi người cùng test thử các trang sau (đây là các trang có tính năng thảo luận trực tiếp như VMF). Kết quả về tốc đọ truy cập thu được khả quan hơn hẳn so với vào diễn đàn (đây chỉ là ý kiến chủ quan của mình, mình dùng Yandex Alpha nhé): Diễn đàn học mãi, Facebook, Tiếng Anh 123, Cộng đồng Khoa học & Công nghệ;......
#540142 chứng minh với mọi tứ giác lồi ABCD ta luôn có $AC^{2}+BD^...
Đã gửi bởi shinichikudo201 on 09-01-2015 - 20:27 trong Hình học
Hạ $AH\perp DC; BK\perp DC$.
Theo định lý $Pythagoras$ ta có $AD^2=AH^2+HD^2$ và $AC^2=AH^2+HC^2$.
Do đó $AC^2-AD^2=HC^2-HD^2=(HC+HD)(HC-HD)=DC(HC-HD)$
Tương tự; $BD^2-BC^2= DC(DK-KC)$
Vậy $AC^2-AD^2+BD^2-BC^2=DC(HC-HD+DK-KC)=DC(HK+KC-DH+DH+HK-KC)=2DC.HK \leq 2AB.CD$. Đây chính là ĐPCM.
- Diễn đàn Toán học
- → shinichikudo201 nội dung