$\frac{1}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2a}$
$\frac{1}{b^{2}+1}\leq\frac{1}{2b}$
$\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2c}$
$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1)$
$ab+bc+ac=3\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}(2)$
Từ (1) và (2) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2abc}(*)$
Vì a,b,c>0 nên $\frac{3}{2abc}\leq \frac{3}{2}(**)$ 
Từ (*)và (**) : $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$

Sai rồi, nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=0$ à 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a; b; c)=(0 ;0; 1006)$ và các hoán vị

1)Cho a, b, c là các số dương thỏa a+b+c=3. Chứng minh

a) $\sum \frac{1}{a^2+1}\geq \frac{3}{2}$

b) $\sum \frac{a^2}{a^2+2b^2}\geq 1$

c) $\sum \frac{a^2}{a+2b^3}\geq 1$

2)Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{2a(a+b)^3}+b\sqrt{2(a^2+b^2)}\leq 3(a^2+b^2)$

( Chỉ dùng Cô-si hoặc biến đổi tương đương)

Tất cả các câu bài $1$ đều sủ dụng phương pháp $Cauchy$ ngược dấu.

Ví dụ như câu $a$ thì sẽ làm như thế này:

$\sum \frac{1}{a^2+1}= \sum 1-\frac{a^2}{a^2+1}\geq \sum 1-\frac{a^2}{2a}= \frac{3}{2}$

Cho $a; b; c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1006$ . Chứng minh:

$\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt{2012+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

M=x^4/(x^2+1)^2 <= x^4/(2x)^2 = x^2/4

=> MaxM=x^2/4 ( Dấu "=" xảy ra khi x^2 = 1 ; (x-1)^2=0 => x=1 )

=> MaxM = 1/4 ( Dấu "=" xảy ra khi x=1 )

Sai bản chất.

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}$

$\sum \sqrt{a^2-ab+b^2}= \sum \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2}\geq \sum \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2}= \sum \frac{1}{2}(a+b)= 1$

giải phương trình đã cho ra nghiệm chỉ có a=b=c=2 thỏa mãn => thay vô bđt

 

Cho a, b, c là các số nguyên dương t/m điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$

CMR: $\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^{2}+28}$

Bài này đã có ở đây

(Giải phương trình kiểu gì mà như thánh. )

Tất cả những câu của bài 3 đều có trong cuốn ''Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên'' của Vũ Hữu Bình, bạn có thể tham khảo thệm.

bạn có viết nhầm ko mà sao mình giải số không được chẵn

Nếu có thể thì mong bạn viết hộ mình cách giải, còn HPT nghiệm không chẵn cũng là chuyện bình thường.

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^3y(1+y)+x^2y^2(y+2)+xy^3=30 & \\ x^2y+x(1+y+y^2)+y=11& \end{matrix}\right.$

Gỉai hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2-y^2-y=0 & \\ x^2+xy+x=1& \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=12$.

CMR:

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^2+28}$

$\sum \frac{8}{a^2+28}= \sum \frac{8}{a^2+(a^2+b^2+c^2)+16}= \sum \frac{8}{(2a^2+8)+(b^2+4)+(c^2+4)}\leq \sum \frac{8}{8a+4b+4c}= \sum \frac{2}{2a+b+c}$

Do đó ta quy BĐT về chứng minh:

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{2}{2a+b+c}$

Điều này luôn đúng theo BĐT $Schwarz$ :

$\sum \frac{1}{a+b}= \frac{1}{2}\sum (\frac{1^2}{a+b}+\frac{1^2}{b+c})\geq \frac{1}{2}\sum \frac{(1+1)^2}{a+b+b+c}= \sum \frac{2}{a+2b+c} (đpcm)$

Cho các số thực dương $a; b; c$ thỏa mãn $15\sum \frac{1}{a^2}= 10\sum \frac{1}{ab}+2007$

Tìm $max$ $\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}$

Áp dụng các BĐT $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ và $xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ ta có:

$5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq 15(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})= 10(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2007\leq \frac{10}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2+2007$

$\Rightarrow \frac{5}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\leq 2007\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \sqrt{\frac{6021}{5}}$

Mặt khác$\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}= \sqrt{(2a+b)^2+(a-b)^2}\geq \sqrt{(2a+b)^2}= a+a+b$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\leq \frac{1}{a+a+b}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Chứng minh tương tự rồi cộng các BĐT cùng chiều ta thu được:

$P\leq \frac{1}{9}(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})\leq \frac{1}{9}.3.\sqrt{\frac{6021}{5}}= \frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt{\frac{45}{6021}}$

Vậy $maxP= \frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}$ đạt được khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt{\frac{45}{6021}}$.

Cho các số thực dương $a; b; c$ thỏa mãn $15\sum \frac{1}{a^2}= 10\sum \frac{1}{ab}+2007$

Tìm $max$ $\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}$

Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn $15\sum \frac{1}{a^2}= 10\sum \frac{1}{ab}+2007$

Tìm $min$ $\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}$

Cho $a; b$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}= 1$

Chứng minh $ab(a+b)^2\leq \frac{1}{64}$

Cho mình hỏi cái này là cái gì?

Tìm $GTNN$ của biểu thức $\frac{x-1}{y+t}+\frac{1-y}{y+z}+\frac{y-z}{x+z}+\frac{z-x}{x+t}$ (với $x; y; z; t> 0$)

Một hình trụ có chu vi mặt đáy là $16 cm$, chiều cao $84cm$. Người ta quấn xung quang trụ một sợi chỉ, quấn đều đúng $70$ vòng từ đáy này sang đáy kia của trụ. Tính chiều dài sợi chỉ?

Giả sử $x; y; z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$

Tìm max $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

Chia cả hai vế của $GT$ cho $z^2$ rồi đặt $t=\frac{1}{z}$

Bài toán trở thành:

Tìm max $P=\frac{1}{x^4+y^4+t^4}$ với $xy^2+x^2t+yt^2=3$.

Áp dụng $BĐT$ $AM-GM$ cho $4$ số:

$(x^4+y^4+y^4+1)+(x^4+x^4+t^4+1)+(t^4+t^4+y^4+1)\geq 4t^2y+4x^2t+4t^2y= 12$

$\Rightarrow x^4+y^4+t^4\geq 3\Rightarrow P\leq \frac{1}{3}$

Vậy $max P=3$ đạt được khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Giả sử $x; y; z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$

Tìm max $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

Tìm tất cả các số $\bar{ab}$ và $\bar{cd}$ thỏa mãn:

$\bar{ab}.\bar{cd}=\bar{ba}.\bar{dc}$

Các bạn cho biết là diễn đàn có chậm hơn nhiều so với các trang khác không? (Trang nào thì các bạn nêu ra để những người khác có thể cùng kiểm tra xem).

Nếu thực sự chậm thì BQT sẽ tìm biện pháp để khắc phục.  

Nhân đây mình cũng xin nói luôn là cho đến hôm nay thì tốc độ cải thiện rất đáng kể, chỉ lâu khi vào cổng thôi, còn khi vào trong rồi thì load rất nhanh (cho hỏi diễn đàn có dùng thêm cookie không?)

Các bạn cho biết là diễn đàn có chậm hơn nhiều so với các trang khác không? (Trang nào thì các bạn nêu ra để những người khác có thể cùng kiểm tra xem).

Nếu thực sự chậm thì BQT sẽ tìm biện pháp để khắc phục.  

 Vậy mọi người cùng test thử các trang sau (đây là các trang có tính năng thảo luận trực tiếp như VMF). Kết quả về tốc đọ truy cập thu được khả quan hơn hẳn so với vào diễn đàn (đây chỉ là ý kiến chủ quan của mình, mình dùng Yandex Alpha nhé): Diễn đàn học mãi, Facebook, Tiếng Anh 123, Cộng đồng Khoa học & Công nghệ;......

Hạ $AH\perp DC; BK\perp DC$.

Theo định lý $Pythagoras$ ta có $AD^2=AH^2+HD^2$ và $AC^2=AH^2+HC^2$.

Do đó $AC^2-AD^2=HC^2-HD^2=(HC+HD)(HC-HD)=DC(HC-HD)$

Tương tự; $BD^2-BC^2= DC(DK-KC)$

Vậy $AC^2-AD^2+BD^2-BC^2=DC(HC-HD+DK-KC)=DC(HK+KC-DH+DH+HK-KC)=2DC.HK \leq 2AB.CD$. Đây chính là ĐPCM.