đây là dạng của bất đẳng thức holder cho 3 số, có thể chứng minh theo cauchy như thê này:

bdt đã cho tương đương với:

$\sqrt[3]{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\leq 1+\sqrt[3]{abc}$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}+ \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq 1$  (*)

ma ta có:

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq \frac{\sum \frac{1}{1+a}}{3}$  (1)

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq \frac{\sum \frac{a}{1+a}}{3}$  (2)

từ (1),(2) =====> (*) đúng

$\left ( \frac{2x-3}{14x-41} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{7x-23}{19-x} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{x+1}{17x-53} \right )^{\sqrt{2013}}$=$3^{1-\sqrt{2013}}$

đk:$\frac{2}{3}\leq x\leq 7$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{3x-18}{\sqrt{3x-2}+4}+\frac{x-6}{\sqrt{7-x}-1}+\left ( x-6 \right )\left ( 3x^{2}+x-2 \right )$=0

$\Leftrightarrow \left ( x-6 \right )\left ( \frac{3}{\sqrt{3x-2}+4}+\frac{1}{\sqrt{7-x}-1} +3x^{2}+x-2\right )$=0

$\Leftrightarrow x=6$

vì với $\frac{2}{3}\leq x\leq 7$

thì: $\left ( \frac{3}{\sqrt{3x-2}+4}+\frac{1}{\sqrt{7-x}-1} +3x^{2}+x-2\right )$$>0$

phương trình nay có một nghiệm x=4. đây la một bài toán thách đố rất hay.

$\left ( \frac{2x-3}{14x-41} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{7x-23}{19-x} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{x+1}{17x-53} \right )^{\sqrt{2013}}$=$3^{1-\sqrt{2013}}$

đặt:

$\sqrt{x-2008}$=a

$\sqrt{y-2009}$=b

$\sqrt{z-2010}$=c

(a,b,c>0)

phương trình trở thành:

$\frac{a-1}{a^{2}}$+$\frac{b-1}{b^{2}}$+$\frac{c-1}{c^{2}}$=$\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}\right )$+$\left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}\right )$+$\left ( \frac{1}{4} -\frac{1}{c}+\frac{1}{c^{2}}\right )$=0

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{a} \right )^{2}$+$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{b} \right )^{2}$+$\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{c} \right )^{2}$=0

từ đây suy ra: a=b=c=2 <=> x=2012;y=2013 và z=2014

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=\frac{1+a+ca}{9}$

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

 

theo cauchy-schwaz:

$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}$=$\sum \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$=$\frac{1+a+ca}{9}$

 

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1

$a+b+c=3 CMR \sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq 1$

theo cauchy-schwaz:

\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\leq  \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a^{3} \right+b^{2}+c )\left ( \frac{1}{a} +1+c\right )}\leq \frac{a\left ( \frac{1}{a} \right +1+c)}{\left ( a+b+c \right )^{2}}\leq \frac{1+a+ca}{9}

ta chỉ cần chứng minh:

$\sum \frac{1+a+ca}{9}\leq 1 \Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$

mà ta có:

$ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}$

từ đay suy ra ĐPCM "=" <=> a=b=c=1