Đặt VT=P

Áp dụng BĐT Cauchy-Swart (c/m dựa vào Bđt Bunhiacopki)

$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

$P= \frac{x^{2}}{x^{3}-xyz+2013x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+(x+y+z)(3xy+3xz+3yz)}= \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=\frac{1}{x+y+z}$ (đpcm)

$GT => x^3+x^2+x+1=4y^2+4y+1$

=> $(x+1)(x^2+1)=(2y+1)^2$

Ta có $x^2+x+1=x(x+1)+1$ là số lẻ mà $(x^2+x+1)x \vdots 2$

=> x là số chẵn => x+1, $x^2+1$ là số lẻ

Nếu x+1 và $x^2+1$ không nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN của s+1 và $x^2+1$

 => $\begin{Bmatrix} x+1\vdots d\\ x^2+1\vdots d \end{Bmatrix}$

$x(x+1)\vdots d$ => $x^2+x\vdots d$ => $2\vdots d$

=> d=1;2

mà x+1, $x^2+1$ là số lẻ => d=1

Giải nghiệm nguyên tích như bình thường =>(x;y)=(0;-1);(0;0)

Ta có :

$\frac{1}{xyz}=\frac{4}{4xyz}=\frac{x+y+z}{4xyz}=\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xz}+\frac{1}{4yz}$

mà $\frac{1}{4xy}>\frac{1}{4xy+z^2}$ chứng minh tương tự với những phân thức còn lại

=> ĐPCM ( dấu = không xảy ra )

Hay dùng BCS cho nhanh bạn à . 

$A^2=(\sqrt{x-2005}+\sqrt{2006-x})^2\geq (1+1)(x-2005+2006-x)= 2.1=2$

=> $A\geq \sqrt{2}$

Dấu = xảy ra khi $\sqrt{x-2005}=\sqrt{2006-x}$ <=> $2x=4011<=>x=\frac{4011}{2}$

Cho phương trình $x^{4}+bx^{3}+x^{2}+bx+1=0$. Tìm b để phương trình có không ít  hơn 2 nghiệm âm phân biệt

Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế cho $x^{2}$

ta được $x^2+bx+1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

Đặt $x+\frac{1}{x}=a$

=> $a^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$

=> Pt <=> $a^2+ab-1=0$

Tính a theo b bằng $\Delta$

Giới hạn a bằng pt $x^2+1=ax$

từ đó giới hạn b

Với $n\epsilon N ,n\geq 2$

Chứng minh A không phải là số nguyên

A= $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}$

cách này đã được trình bày trong sách của Vũ Hữu Bình rồi ( hơi khó hiểu )

có  cách nào khác không ?

1. $A(\sqrt{2013}+\sqrt{2012})=1$

=> A$= \frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}$

$B(\sqrt{2014}+\sqrt{2013})=1$

=> B$= \frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$

vì $\sqrt{2012}<\sqrt{2014}$

=> A>B

2. $y=\left | x-1 \right |+\left | x-3 \right |$

Vẽ đồ thị : chia thành 3 TH ( có giới hạn )

$y=\left | x-1 \right |+\left | 3-x \right |\geq \left | x-1+3-x \right |=2$

min y= 2

Dấu = xảy ra khi $(x-1)(3-x)\geq 0$

<=> $1\leq x\leq 3$

Tìm chữ số tận cùng của $\begin{bmatrix} (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{48} \end{bmatrix}$

 ( với $\begin{bmatrix} X \end{bmatrix}$ là kí hiêu phần nguyên - số lớn nhất không vượt quá X )

Sử dụng BĐT   côsi cho 3 số dương ta có

$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(a+c)(b+c)\leq \frac{24(x+y+z)^3}{27}=\frac{8(x+y+z)^3}{9}$

=> ĐPCM

gt=> $\overline{aabb}=\overline{xx}.\overline{yy}.\overline{zz}$

=> 1100a+11b $\vdots 1331$

=> 100a+b $\vdots 121 \vdots 11$

=>a+b $\vdots 11$

 mà $1\leq a+b\leq 18$

=> a+b = 11

đặt 100a+b=121k

=>99a+11=121k

=>9a+1=11k $\vdots 11$

=> 9a+1=55 =>a=6 =>b=5

số đó là 6655

(x,y,z)=(5;1;1) và hoán vị

1/Tìm Nghiệm nguyên tố:

$x^{y}+1= z$

2/ So sánh

A$= \sqrt{2008}+\sqrt{2009}+\sqrt{2010}$

B$= \sqrt{2005}+\sqrt{2007}+\sqrt{2015}$

p/s: làm rõ ràng giùm mình

THANKS

Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=4$

Chứng Minh :

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}> 4$