3.    $=(2y-x)^{2}+3(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{4}$

$A=n.4^{n}+3^{n}=n.(7-3)^{n}+3^{n}=n.B(7)+n.(-3)^{n}+3^{n}$. Vì A $\vdots$ 7 nên $n.(-3)^{n}+3^{n}\vdots 7$

Với n chẵn $A=3^{n}(n+1) \vdots 7$$ \Rightarrow(n+1)\vdots7$ hay $n+1=7(2k+1)$ (vì n+1 lẻ ) $\Rightarrow n=14k+6$ ( k nguyên) 

Với n lẻ $A=3^{n}(1-n)$ tương tự $\Rightarrow 1-n=7.2k=14k $$\Leftrightarrow n=1-14k  $

$\frac{1}{m+n-x}=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{1}{m+n-x}-\frac{1}{m}=\frac{x-n}{xn}\Leftrightarrow \frac{x-n}{x+n-m}=\frac{x-n}{xn}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=n & & \\m( m+n-x)=xn& & \end{bmatrix}$

Với x=n thì mọi m đều thỏa mãn

Với m(m+n-x)=xn tương đương (m+n)(m-x)=0

3.       $\sum \frac{1}{2x+y+z}=\sum \frac{1}{4}.\frac{4}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}.\sum (\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})= \frac{1}{2}\sum \frac{1}{x+y}=\frac{1}{8}.\sum \frac{4}{x+y}\leq \frac{1}{8}.\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{4}.\sum \frac{1}{x}=1$

Bạn biết làm bài 4 với bài 7 ko, chỉ mik làm với

bài 7   đặt $x+\frac{1}{x}=a$

      $y+\frac{1}{y}=b$

      $\left\{\begin{matrix} a+b & & =4,9239\\ a^{2}+b^{2}&&=12,4648 \end{matrix}\right.$

      $\Rightarrow x^{3}+y^{3}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}=(a+b)(a^{2}-((a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2}))+b^{2})-(a+b)$

Thay vào là ra

là sao? bạn giải kỹ hơn giùm mình đi

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\dpi{200} \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\ \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

đa giác n cạnh => có n đỉnh... 
mỗi đỉnh of đa giác có thể nối với (n-3) đỉnh khác để tạo ra (n-3) đường chéo....(trừ đỉnh ta đang xét và 2 đỉnh gần nhất....(vì nối tạo ra cạnh)) 
ta có n đỉnh => sẽ có n.(n-3) đường chéo.. 
nhưng 1 đường chéo sẽ đc nối bởi 2 đỉnh => số đg chéo sẽ đc nhân đôi = n.(n+3) 
=> số đường chéo thực = n.(n-3)\2

Giải hệ phương trình

$\ \left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ \frac{xy+xz+yz}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

Với q>3 ; Tìm 2 số nguyên tố q và r biết 2^q+q²=r

Vì q>3 nên 3 không chia hết cho q, do đó $k\vdots q$, vậy (k,q)=1 là sai!

(k;q)=1 thì 3 chia hết q suy ra q=3 thì mới kết luận không tồn tại q mà bạn

Hướng giải 

$2^{q}+q^{2}\equiv 2$ ( mod 3 ) $\Rightarrow r-2=3k$

Mặt khác: theo định lý nhỏ Fermat: $2^{q}-2 \vdots q \Rightarrow r-2\vdots q$

Do đó $3k\vdots q$ đến đây làm sao để chứng minh (k;q)=1 vậy chỉ mình với

Cần j đến Phéc-ma nhỉ , theo mình làm như sau nhé 
Vì với n>3 và $q^2+2^q$ là snt nên q lẻ suy ra $2^q \equiv 2(mod3)$
Ta lại có q ko chia hết cho 3 thì suy ra $q^2$ \equiv 1 (mod3) 
=> $q^2+2^q$ chia hết cho 3 ( vô lí)
Vậy không có q,r thỏa mãn đề ra :v

 x,y $\in$ IR⁺,  x+y=2

Find Min :

$T=\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}$

có thể làm như này 

$y=\frac{p+1}{2} \Rightarrow S_{n+1} =(\frac{p+1}{2})^2$

Mà do $n \geq 2 \Rightarrow S_{n+1}=(2+3+5+...+p) \leq (1+3+5+...+p)+2-9-1=1^2-0^2+2^2-1^2+3^2-2^2+...+(\frac{p+1}{2})^2-(\frac{p-1}{2})^2-8 < (\frac{p+1}{2})^2$

Giả sử ngược lại gọi hai tổng đó là $S_n=x^2,S_{n+1}=y^2$  (quy ước $x,y$ nguyên dương)
Khi đó $S_{n+1}-S_n=p$ (quy ước $p$ là số nguyên tố) 
Hay $(y-x)(y+x)=p$ suy ra $y-x=1,y+x=p$ từ đó suy ra $y=\frac{p+1}{2},x=\frac{p-1}{2}$ 
Suy ra $\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n+1}}=\sqrt{p^2}$ . Điều này xảy ra chỉ khi $S_n=0$ (vô lí)
Vậy ta có đpcm

sao lại xảy ra chỉ khi $S_{n}=0$ thôi hả bạn

Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu $S_{n}$ là tổng n số nguyên tố đầu tiên

$S_{1}=2$ ; $S_{2}=2+3$  ;  $S_{3}=2+3+5$, ...

Chứng minh rằng trong dãy số $S_{1}$ , $S_{2}$, $S_{3}$, ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương  

Cho $a;b;c \in N^{*}$ sao cho $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in Z$

Gọi d là ước chung của a và b.

Chứng minh $d\leqslant \sqrt{a+b}$

$a,b\in N^{*}$        Fnd ::        $a^{2}+b^{2}=\begin{bmatrix} a,b \end{bmatrix}+7(a,b)$

(  $[a,b]=BCNN(a,b)$ ;    $(a,b)=UCLN(a,b))$ )

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau

1.        6x²+5y²=74 

2        .x²+xy+y² =x+8y

3        .1+x+x²+x³=y³

4       .1+x+x²+x³+x⁴=y²

5.       (x-2)⁴-x⁴=y³

6.         $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\frac{1}{2}(x+y+z)$ 

7.     x²+y² +z²=x²y²

3) $ (x+1)^3 \ge y^3=x^3+x^2+x+1>(x-1)^3 \Rightarrow x=0,y=1$ 

x có thể âm sao so sánh được

Giải phương trình  

$1+x^{4}=2(1+x)^{4}$

Ặc.Sai rồi

Bài 1:

Ta chứng minh được $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq \frac{3}{2}$

Do đó $\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{1}{\frac{a+b+1}{b+1}}\geq \frac{9}{\sum \frac{a}{b+1}+1}\geq 2$