Giả sử a,b,c là các số thực, $a\neq b$ sao cho hai phương trình $x^{2}+ax+1=0$, $x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm chung và hai phương trình $x^{2}+x+a=0$, $x^{2}+cx+b=0$  có nghiệm chung. Tính $a+b+c$

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O;R)$.Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

a)Chứng minh $AH$=$2OM$

b)Dựng hình bình hành $AHIO$.Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.Chứng minh rằng:$OI.OJ=R^2$

c)Gọi $N$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn $(O)$($N$ khác $A$).Gọi $D$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $NC$ của đường tròn tâm $(O)$ ($D$ khác $N$ và $C$).Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $AC$,$K$ là giao điểm của $AC$ và $HE$.Chứng minh rằng:$\widehat{ACH}=\widehat{A

ban ve gium minh cai hinh voi đc ko

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

 

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

1. Tìm 12 số nguyên dương sao cho tổng bằng tích

2.Tìm x,y,z thuộc Z :

  a,$2xy^{2}+x+y+1=x^{2}+2y^{2}+xy$

  b,$3^{x}+1=(y+1)^{2}$

  c,$19x^{2}+28y^{2}=729$

Bạn biết làm bài 4 với bài 7 ko, chỉ mik làm với

bài 7   đặt $x+\frac{1}{x}=a$

      $y+\frac{1}{y}=b$

      $\left\{\begin{matrix} a+b & & =4,9239\\ a^{2}+b^{2}&&=12,4648 \end{matrix}\right.$

      $\Rightarrow x^{3}+y^{3}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}=(a+b)(a^{2}-((a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2}))+b^{2})-(a+b)$

Thay vào là ra

$x+y=2\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow 0\leq xy\leq 1\Rightarrow x^{2}y^{2}\leq xy$

 

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leqslant xy(x^{2}+y^{2})=xy(4-2xy)=2-2(xy-1)^{2}\leq 2$

$a,b\in N^{*}$        Fnd ::        $a^{2}+b^{2}=\begin{bmatrix} a,b \end{bmatrix}+7(a,b)$

(  $[a,b]=BCNN(a,b)$ ;    $(a,b)=UCLN(a,b))$ )

có thể làm như này 

$y=\frac{p+1}{2} \Rightarrow S_{n+1} =(\frac{p+1}{2})^2$

Mà do $n \geq 2 \Rightarrow S_{n+1}=(2+3+5+...+p) \leq (1+3+5+...+p)+2-9-1=1^2-0^2+2^2-1^2+3^2-2^2+...+(\frac{p+1}{2})^2-(\frac{p-1}{2})^2-8 < (\frac{p+1}{2})^2$

Giả sử ngược lại gọi hai tổng đó là $S_n=x^2,S_{n+1}=y^2$  (quy ước $x,y$ nguyên dương)
Khi đó $S_{n+1}-S_n=p$ (quy ước $p$ là số nguyên tố) 
Hay $(y-x)(y+x)=p$ suy ra $y-x=1,y+x=p$ từ đó suy ra $y=\frac{p+1}{2},x=\frac{p-1}{2}$ 
Suy ra $\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n+1}}=\sqrt{p^2}$ . Điều này xảy ra chỉ khi $S_n=0$ (vô lí)
Vậy ta có đpcm

sao lại xảy ra chỉ khi $S_{n}=0$ thôi hả bạn

Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu $S_{n}$ là tổng n số nguyên tố đầu tiên

$S_{1}=2$ ; $S_{2}=2+3$  ;  $S_{3}=2+3+5$, ...

Chứng minh rằng trong dãy số $S_{1}$ , $S_{2}$, $S_{3}$, ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương  

Đặt y²+1=a:    x+y=b:        x=c 

Khi đó hệ pt ương đương $\left\{\begin{matrix} a=bc & & \\ a(b-2)+c=0& & \end{matrix}\right.\Rightarrow bc(b-2)+c=0\Leftrightarrow b^{2}c-2bc+c=0\Leftrightarrow c(b^{2}-2b+1)=0\Leftrightarrow c(b-1)^{2}=0$

Đến đây được rồi

66% sắt có trong 25 tấn quặng =25.(66/100)=16,5 (tấn)

quặng loại 1 chứa 75% sắt = x.(75/100)=0,75x (tấn)

quặng loại 2 chứa 50% sắt=y.(50/100)=0,5y (tấn )

Giải hệ gồm x+y=25

                    0,75x+0,5y=16,5 

Gì này. Tam giác vuông mà. Sao giải một hồi ra tam giác đều ????

Bài 4a: Phân tích được =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết 120

bài này có cho a,b,c là 3 số dương không bạn

Cho tam giái ABC vuông tại C có BC=a: AC=b; AB=c

Tìm min của $\ P=\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc}$

Con Đình

Giả sư $2\leq c\leq b\leq a$

$abc< ab+ac+bc\Rightarrow 1< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c= 2$

Do đó

$1< \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{2}< \frac{1}{b}+\frac{1}{a}\leq \frac{2}{b}\Rightarrow b< 4\Rightarrow b= 2,3$

Nếu b=3 $\frac{1}{2}< \frac{1}{3}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{6}< \frac{1}{a}\Rightarrow a< 6\Rightarrow a=2,3,5$

Nếu b=2 thì a nhận mọi số nguyên tố

$xy=12\Rightarrow y=\frac{12}{x}$

$xz=15\Rightarrow z=\frac{15}{x}$

Do đó: $yz=20\Leftrightarrow \frac{12}{x}.\frac{15}{x}=20\Leftrightarrow x^{2}=9\Leftrightarrow \left | x \right |=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left | x \right | =3&\\ \left|y\right|& =4 \\ \left | z \right | =5 & \end{matrix}\right.$

kết quả A=-1/xy dùng cô si cho xy là ra

bạn rút gọn bình thường là ra mà chỗ nào có x+y thay bằng 1

$2^{n}+3^{n}+4^{n}=(3-1)^{n}+3^{n}+(3+1)^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ (mod 3)

Vì T chính phương nên T chia 3 dư 0 hoặc 1.

Nếu n =2k => T chia 3 dư 2 (loại) do đó n=2k+1( T chia 3 dư 1)

Với n $\geq$ 3thì$2^{n}+3^{n}+4^{n}=2^{2k+1}+3^{2k+1}+4^{2k+1}=4^{k}.2+9^{k}.3+16^{k}.4=4^{k}+(8+1)^{k}+16^{k}.4\equiv 3$ (mod 8)

T chính phương => T chia 8 dư (0;1;4) do đó n<3

Giải n=(0;1;2)

Bài 1 bạn cứ xét từng hàm số rồi cộng bình thường sẽ thấy bằng nhau
Bài 3 để A nguyên tố thì 1 trong 2 thừ số phải bằng 1 và số còn lại nguyên tố. Từ đó giải thôu

1.  Cho: $\frac{x^{2}-yz}{a}=\frac{y^{2}-zx}{b}=\frac{z^{2}-xy}{c}$

Chứng minh    $\frac{a^{2}-bc}{x}=\frac{b^{2}-ac}{y}=\frac{c^{2}-ab}{z}$

2.Tìm n sao cho $n.4^{n}+3^{n}\vdots 7$

3 Tìm a.b.c nguyên tố sao cho            20abc<30(ab+ac+bc)<21abc

 

Gợi ý:1,Nghịch đảo giả thiết xong bình phương lên áp tỉ lệ thức =>đpcm

          2,xét n=2k;n=2k+1 =>k=...=>n=

          3,Chia cả 3 vế cho abc xong giả sửa>=b>=c 

bài 3 có mấy nghiệm

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

 

$\dpi{200} \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$