Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Bài 524: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}-2y=xy-4x \\ &\sqrt{12x^{2}+3y+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-y} \end{matrix}\right.$

Giải phương trình: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài toán. Giải phương trình:

$$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^2+3}=4$$

Đôi lời:

- Bài toán này đã có ở đây nhưng chưa có lời giải, xin phép được đăng lại để mọi người chú ý và thảo luận.

- Mục đích của việc đăng lại bài này là tiếp nối việc thảo luận bài toán ở đây (đang khá hào hứng nhưng sợ nói nhiều thành spam).

Dĩ nhiên phương trình bậc $3$ và bậc $4$ có cách giải nhưng đôi khi việc giải (bậc $4$) lại quá cồng kềnh và phức tạp nên hi vọng có cách giải nào đó "đẹp" hơn.

Xin hết.

Nghiệm bài này cũng không được đẹp lắm. Theo em nghĩ thì đề bài này chắc là chưa đúng

 

 

Giải phương trình sau: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Hiện tại mình có 1 ý tưởng nhưng chưa hoàn thiện 

Đặt $\sqrt{x+2}=u, \sqrt{10-3x}=v$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} &3u^{2}+v^{2}=16 \\ &48u+12v=43u^{2}+9v^{2}-4uv \end{matrix}\right.$

Hệ này dùng UCT có vẻ khá khủng nên chắc không khả quan lắm. Mọi người có ý tưởng nào cho hệ này không?

Nhìn vẫn cảm thấy chúng nó giông giống nhau

 

Giải phương trình:

            $5+x+2\sqrt{(4-x)(2x-2)}=4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}$

 

http://diendantoanho...qrt4-xsqrt2x-2/

Anh nói rõ hơn được không? Về mặt ý tưởng?

Cám ơn anh ạ, Nhưng anh ơi, làm sao anh biến đổi được từ  " Ta có: $a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$ "

lúc đầu là bdt côsi , sau đó thì làm sao ra được vế  $\frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

Rồi cái tổng đó có ý nghĩa gì mà nó lại lớn hơn = a^2 =3

Giaỉ thích giùm em nghen, em hơi dốt phần này

$a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow 1\geq a(2-a)\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{2-a}\geq \sum a^{2}$

Bất đẳng thức trên là dạng viết tắt của:

$\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Có lẽ điều này không đúng! Hệ có VSN!

 

 

P.S: Hệ chỉ có nghiệm duy nhất khi có ràng buộc $x, y, z\ge 0.$

Sorry mọi người...đây là sai sót khi ghi đề của mình. Đã sửa

Nếu đã thế thì "không khó" , và cũng không cần nhớ bất kỳ BĐT nào cả

(Phần chém gió ban đầu... nhưng sự thật không thể như vậy...!!!)

 

Đặt $S= x+y, P=xy,$ với $S^2 \ge 4P$, ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} &S=1-z \\ &\left(4 z - 2\right) P + \left(2 z^2 - 2 z + \frac{14}{27}\right)=0.\end{matrix}\right.$

Hiển nhiên $z\neq -\frac{1}{2}$. Do đó, hệ trên tương đương

 

$\left\{\begin{matrix} & S=1-z \\ &P =-\frac{27 z^2 - 27 z + 7}{27\left(2 z - 1\right)}\end{matrix}\right.$

Điều kiện: $S^2\ge 4P \iff \frac{\left(\frac{1}{27}\right) \left(6\, z + 1\right) {\left(3\, z - 1\right)}^2}{\left(2\, z - 1\right)}\ge 0$

$$\iff z\le -\frac{1}{6} \vee z= \frac{1}{3} \vee z> \frac{1}{2}.$$

Hệ có vô số nghiệm có "dạng"

$$\left(\frac{1-z+\sqrt{\frac{6 z + 1}{54 z - 27}} \left(3 z - 1\right)}{2}; \frac{1-z-\sqrt{\frac{6 z + 1}{54 z - 27}} \left(3 z - 1\right)}{2};z\right); \left(\frac{1-z-\sqrt{\frac{6 z + 1}{54 z - 27}} \left(3 z - 1\right)}{2}; \frac{1-z+\sqrt{\frac{6 z + 1}{54 z - 27}} \left(3 z - 1\right)}{2};z\right),$$

trong đó $z$ thỏa điều kiện $$ z\le -\frac{1}{6} \vee z= \frac{1}{3} \vee z> \frac{1}{2}.$$

Hệ này chỉ có 1 nghiệm duy nhất thôi anh 

Giải phương trình sau: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Bài 380: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x+y-4}+1)^{2}=2y-7+2\sqrt{4x-xy} \\ &\dfrac{x+1}{y+2}+\dfrac{y+1}{x+2}=1+\dfrac{\sqrt{xy}}{4} \end{matrix}\right.$

Bài 388: $\frac{(x^{3}+3x^{2}\sqrt{x+1})(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}=4(x+1)(2\sqrt{x+1}-x-1)$

Bài 395: $\begin{cases} & (x+y)^{2}+12\sqrt{x+y-6}=4x+3y+37 \\ & \sqrt{y^{2}-12}+10\sqrt{y}= x\sqrt{x^{2}y-5y}+10 \end{cases}$

Bài 398: $(2-5x)\sqrt{2x+1}+(5x+1)\sqrt{x+4}-\sqrt{(x+4)(2x+1)}-9x=0$

Bài 402: $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+3x^2-2y^2-6y=4 & \\ x^2-y-3+\sqrt{2x+2y+3}=\sqrt{x^2+4x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 413: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}-x^{3}=\sqrt{x-1}-8 \\ &2\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}+12x-5y=20 \end{matrix}\right.$

Bài 418: $x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$

Bài 428: $\begin{cases} & y-6=\sqrt{y-4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{x} \\ & \sqrt{4x+y}+\sqrt{3x^{2}+y-4}=x^{3}+7x-xy+2 \end{cases}$

Bài 439: $3x+2+2\sqrt{2x^2+6x+21-(x+6)\sqrt{2-x}}=2\sqrt{2x+5}$

Bài 440: $\frac{x^2-2+\sqrt{x}(2x-\sqrt{x}-4)}{\sqrt{2x-4\sqrt{x-1}}-1}=\sqrt{4-x^2}$

Bài 462**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

Bài 486**: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}+y^{6}}\left ( 2+\dfrac{x^{4}}{x^{3}+5y^{6}} \right )=\dfrac{22x^{2}}{5} \\ &\dfrac{2y^{3}}{x^{4}}-\dfrac{y^{3}}{x^{3}+5y^{6}}=\dfrac{9}{10x^{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 493: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x^6}-y^3+\dfrac{1}{x^2}-3y^2+\dfrac{3}{x}-y=0 \\ x^2+x\sqrt{y}-\dfrac{1}{y}+y^2=2 \end{matrix}\right.$

Bài 495: $\large 2^{\sqrt{x^2+1}}=3^{\sqrt{x}+1}.$

Bài 499: $\left\{\begin{matrix} &x(y-9)+\sqrt{y-1}+1=0 \\ &y(18x^{2}+1)=3x+22+(x+1)^{2} \end{matrix}\right.$

Bài 514: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x-1}-y(1+2\sqrt{2x-1})=-8 \\ &y^{2}+y\sqrt{2y-1-4x}-2x+y=13 \end{matrix}\right.$

Bài 516: $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2-3y^2+3x+4y-1=0 \\ y^3-3xy-x+12y-7-6y^2=0 \end{matrix}\right.$

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ. Mọi người đừng quên các bài ** nhé...

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ =3

Chứng minh rằng :$\frac{1}{2-a}$ + $\frac{1}{2-b}$ + $\frac{1}{2-c}$  $\geq$ 3

Ta có: $a^{2}+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{2-a}\geq \sum a^{2}=3$

$\Leftrightarrow \sum \left ( 1+\frac{a}{2-a} \right )\geq 6$

$\Leftrightarrow \sum \frac{2}{2-a}\geq 6 \Leftrightarrow \sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Giải hệ phương trình với $x,y,z\geq 0$:

$\left\{\begin{matrix} &x+y+z=1 \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}+4xyz=\dfrac{13}{27} \end{matrix}\right.$

Bài 517: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{3+2x^{2}y-x^{4}y^{2}}+x^{4}(1-2x^{2})=y^{4} \\ &1+\sqrt{1+(x-y)^{2}}=x^{3}(x^{3}-x+2y^{2}) \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^{2}+xy+x+3=0 \\ &(x+1)^{2}+3(y+1)+2\left ( xy-\sqrt{x^{2}y+2y} \right )=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x+6\sqrt{xy}-y=6 \\ &x+\dfrac{6(x^{3}+y^{3})}{x^{2}+xy+y^{2}}-\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=3 \end{matrix}\right.$

Đăng một bài nữa rồi ăn cơm

Bài 515: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{35}{12} \\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

Điều kiện: $-1< x< 1, -1< y< 1$

Cộng 2 phương trình vế theo vế ta được:

$\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1-y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{7}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{7}{2}(*)$

Trừ 2 phương trình vế theo vế ta được:

$\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1+y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=\frac{7}{3}(**)$

Kết hợp (*) và (**) ta có hệ mới: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{7}{2} \\ &\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=a, \sqrt{\frac{1-y}{1+y}}=b(a,b>0)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &a+b=\frac{7}{2} \\ &\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

Đây là một hệ cơ bản. Giải hệ này ta tìm được $a,b$. Từ đó tìm được $x,y$

Bài 514: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x-1}-y(1+2\sqrt{2x-1})=-8 \\ &y^{2}+y\sqrt{2y-1-4x}-2x+y=13 \end{matrix}\right.$

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki ta có:

$\sum \sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}=\sum \sqrt{\left ( a\sqrt{2}+\frac{b}{2\sqrt{2}} \right )^{2}+\left ( \sqrt{\frac{15}{8}}b \right )^{2}}\geq \sqrt{\left [ \sqrt{2}(a+b+c)+\frac{1}{2\sqrt{2}}(a+b+c) \right ]^{2}+\frac{15}{8}(a+b+c)^{2}}=\sqrt{5}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

$$\iff 2a\sqrt{\frac{b+1}{a+1}}+2b\sqrt{\frac{a+1}{b+1}}=\sqrt{2(a^2+b^2)}+(a+b). \quad\quad\quad\quad (***)$$

Có cách tiếp cận nào ngắn hơn không nhỉ, ví dụ như bất đẳng thức chẳng hạn. 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{1-x}}-\frac{\sqrt{1-y}}{1+\sqrt{y}}+x+y=1 \\ \sqrt{1-x}+\sqrt{4+y}=2\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Điều kiện: $0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1$

Đặt $1-y=t\geq 0$

Khi đó phương trình 1 trở thành:

$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{1-x}}+x=\frac{\sqrt{t}}{1+\sqrt{1-t}}+t$

$\Rightarrow x=t\Rightarrow x=1-y$

Thay vào phương trình 2 ta được:

$\sqrt{y}+\sqrt{4+y}=2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right )+\left ( \sqrt{4+y}-\frac{3\sqrt{2}}{2} \right )=0$

$\Leftrightarrow (y-\frac{1}{2})\left ( \frac{1}{\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4+y}+\frac{3\sqrt{2}}{2}} \right )=0$

$\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}$(vì phần trong ngoặc luôn dương)

$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$(TM)

Bài 510: $\left\{\begin{matrix} &7\sqrt{16-y^{2}}=(x-1)(x+6) \\ &(x+2)^{2}+2(y-4)^{2}=9 \end{matrix}\right.$

P/s: Chậc...các bạn giải bài nhanh quá 

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

Một cách làm khác cho bài toán này.

Với những hệ kiểu gần đối xứng thế này ta thường cộng 2 phương trình lại với nhau để phân tích thành tổng các bình phương.

$(x-2y)(3x+8y)+(y-4x)(3y+2x)-2(2x+3y)\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16}=-16$

$\Leftrightarrow (2x+3y+\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16})^{2}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16}=-(2x+3y)$

Thay vào 2 phương trình ban đầu ta được hệ mới:

$\left\{\begin{matrix} &(x-2y)(5x+4y)=6 \\ &(y-4x)(3y+2x)=10 \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đẳng cấp cơ bản. Đến đây xin nhường cho các bạn.

cho x, y lớn hơn 0 và $x+y\geq 0$

Đề sai.

Bài 2: a,b,c>0. CM:

 $\sum \sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}\geq 3$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{\prod (a^{2}+2b^{2})}{\prod (a^{2}+ab+bc)}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\prod (a^{2}+2b^{2})\geq \prod (a^{2}+ab+bc)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$(a^{2}+b^{2}+b^{2})(a^{2}+a^{2}+c^{2})\geq (a^{2}+ab+bc)^{2}$

$(b^{2}+c^{2}+c^{2})(b^{2}+b^{2}+a^{2})\geq (b^{2}+bc+ca)^{2}$

$(c^{2}+a^{2}+a^{2})(c^{2}+c^{2}+b^{2})\geq (c^{2}+ca+ab)^{2}$

Nhân 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được đpcm.

Bài 3: a,b,c>0 Thỏa: a+b+c=3 .CM:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(b+ca)(a+bc)}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\prod (a+b)\geq \prod (c+ab)$

Theo AM-GM:

$(a+bc)(b+ca)\leq \frac{(a+bc+b+ca)^{2}}{4}=\frac{(a+b)^{2}(c+1)^{2}}{4}$

Tương tự ta cũng có:

$(b+ca)(c+ab)\leq \frac{(b+c)^{2}(a+1)^{2}}{4}$

$(c+ab)(b+ca)\leq \frac{(c+a)^{2}(b+1)^{2}}{4}$

Nhân 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

$\prod (c+ab)\leq \frac{\prod (a+b).\prod (a+1)}{8}$

Khi đó ta chứng minh: $\prod (a+1)\leq 8$(luôn đúng theo AM-GM)

cho x, y lớn hơn 0 thỏa mãn $\fn_cm x+y\leq 1$. tìm min của $M=xy+\frac{9}{xy}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$M=xy+\frac{9}{xy}=\left ( xy+\frac{1}{16xy} \right )+\frac{143}{16xy}\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{143}{16.\frac{(x+y)^{2}}{4}}\geq \frac{145}{4}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$