Chủ đề này có 6 trả lời

[Minh Hieu Hoang]

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực .CMR: 

  $\prod (a+b-c)^2\geq \prod (a^2+b^2-c^2)$

Bài 2: a,b,c>0. CM:

 $\sum \sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}\geq 3$

Bài 3: a,b,c>0 Thỏa: a+b+c=3 .CM:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$

Bài 4: a,b,c>0 CM: 

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\sum \frac{a}{b+c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 01-09-2016 - 22:53

[NTA1907]

Bài 2: a,b,c>0. CM:

 $\sum \sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}\geq 3$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{\prod (a^{2}+2b^{2})}{\prod (a^{2}+ab+bc)}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\prod (a^{2}+2b^{2})\geq \prod (a^{2}+ab+bc)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$(a^{2}+b^{2}+b^{2})(a^{2}+a^{2}+c^{2})\geq (a^{2}+ab+bc)^{2}$

$(b^{2}+c^{2}+c^{2})(b^{2}+b^{2}+a^{2})\geq (b^{2}+bc+ca)^{2}$

$(c^{2}+a^{2}+a^{2})(c^{2}+c^{2}+b^{2})\geq (c^{2}+ca+ab)^{2}$

Nhân 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được đpcm.

 

Bài 3: a,b,c>0 Thỏa: a+b+c=3 .CM:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$

 

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(b+ca)(a+bc)}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\prod (a+b)\geq \prod (c+ab)$

Theo AM-GM:

$(a+bc)(b+ca)\leq \frac{(a+bc+b+ca)^{2}}{4}=\frac{(a+b)^{2}(c+1)^{2}}{4}$

Tương tự ta cũng có:

$(b+ca)(c+ab)\leq \frac{(b+c)^{2}(a+1)^{2}}{4}$

$(c+ab)(b+ca)\leq \frac{(c+a)^{2}(b+1)^{2}}{4}$

Nhân 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

$\prod (c+ab)\leq \frac{\prod (a+b).\prod (a+1)}{8}$

Khi đó ta chứng minh: $\prod (a+1)\leq 8$(luôn đúng theo AM-GM)

[le truong son]

Bài  4: Đặt $A=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+ac+bc}+\frac{1}{3} ; B=\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+ac+bc)  ; C=\frac{8}{9}\sum \frac{a}{b+c}$ ;$D= (a+b)(b+c)(a+c)$

Ta có BĐT $D\geq $B$ (khai trên dùng CauChy là được) (1)

Cần chứng minh $A.B\geq C.D$ (2)

Thật vậy $(2)<=>a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$ (hnđ)

Từ (1) và (2) => $A\geq C$

  =>đpcm  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 03-09-2016 - 19:08

[le truong son]

@@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 03-09-2016 - 19:07

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 4: a,b,c>0 CM: 

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\sum \frac{a}{b+c})$

 

Về bài này ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{a^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{9} \geqslant \frac{8}{9} \cdot \frac{a}{b+c},\]

là đủ.

[le truong son]

Về bài này ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{a^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{9} \geqslant \frac{8}{9} \cdot \frac{a}{b+c},\]

là đủ.

   

[Nguyenhuyen_AG]

   

 

Sao em, có gì sai hả ?