Đã gửi bởi
Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn đó(B,C là các tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC.Gọi E là hình chiếu của C lên đường kính BD của (O). AD cắt CE tại K Chứng minh K là trung điểm CE
Vì $AB,AC$ là 2 tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB=AC$ và $BO=CO=R$ $\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$ $\Rightarrow BH=CH$
$\bigtriangleup BCE$ vuông tại $E$ có HE là đường trung tuyến $(BH=CH)$
$\Rightarrow HE=BH=CH\Rightarrow \bigtriangleup CHE$ cân tại H (1)
Tứ giác $HOEC$ nội tiếp ($\widehat{OEC}+\widehat{CHO}=180^{\circ}$)
$\Rightarrow \widehat{BOA}=\widehat{BCE}$ và $\widehat{CHE}=\widehat{COD}$ mà $\widehat{CHK}+\widehat{BCK}=\widehat{BOA}+\widehat{BAO}(=90^{\circ})$
$\Rightarrow \widehat{CHK}=\widehat{BAO}$ mà $\widehat{BAO}=\widehat{CBD}$ (cùng phụ $\widehat{ABH}$)
$\Rightarrow \widehat{CHK}=\widehat{CBD}$
mà $2\widehat{CBD}=\widehat{COD}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm) $\Rightarrow 2\widehat{CHK}=\widehat{COD}$
mà $\widehat{COD}=\widehat{CHE}$ $\Rightarrow 2\widehat{CHK}=\widehat{CHE}\Rightarrow HK$ là tia phân giác $\widehat{CHE}$ $(2)$
$(1),(2)\Rightarrow HK$ là đường trung tuyến trong $\bigtriangleup CHE$ $\Rightarrow đpcm$
