Mọi ng có thể chia sẻ cho mình về đặt ẩn phụ làm bdt dễ dàng hơn ko.. thấy các bạn làm thấy hay quá mà chả biết đặt hihi 

min của \sum \frac{xy}{x+y+1}. với x,y,z dương. thỏa mãn :1+x+y+z=2xyz

 lần trc có bạn giải r mà mình ko hiểu 

$\Leftrightarrow 3x(2x-1)+3y(2y-1)-2(2x-1)(2y-1)\leq 0$(luôn đúng vì $0\leq x,y\leq \frac{1}{2}$)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

b chỉ rõ hơn cái này dc ko .. viết từ từ thui 

Chứng minh .$\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

với $0\leq x,y\leq \frac{1}{2}$

 với a,b,c dương. ab+bc+ac =3 $min \sum \frac{19a+3}{b^2+1}$

Chứng minh: $\sum \frac{a }{a+b-1}\leq 1$ .  Với $a,b,c$ dương và $a+b+c=1$

bước cuối như thế nào bạn 

Bài này tìm Min chứ  
Đặt biểu thức tìm min là $A$ 
Ta có $A+3=\sum \frac{(x+1)(y+1)}{x+y+1}=(x+1)(y+1)(z+1).(\sum \frac{1}{(z+1)(x+y+1)}) \ge (x+1)(y+1)(z+1).\frac{9}{\sum (z+1)(x+y+1)}=\frac{9}{2}$ 
Vậy $MIN_A=\frac{3}{2}$

bước cuối ntn bạn 

 min max của $\sum \frac{xy}{x+y+1}$ 

 với $1+x+y+z= 2xyz$

\sum \frac{2(a+b)}{\sqrt{4a(3a+b)}+\sqrt{4b(3b+a)}}\geq \sum \frac{4(a+b))}{8(a+b)}= \frac{1}{2} 

\sum \frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq \sum \frac{ab}{2}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})

 KO HIỂU LẮM ĐOẠN NÀY.B HƯỚNG DẪN DC KO

$\sum \frac{1}{1+a^2}=\sum 1-\sum \frac{a^2}{1+a^2}\geq 3-\frac{a+b+c}{2} = \frac{3}{2}$

Tình hình em là mem mới của diễn dàn... em học lớp 9.thcs.

= em mới bắt đầu học bdt 1 tháng nay cho lên trình khá 1 tý. 

em thấy mọi ng giải  bài thuộc nhân tử rất nhanh mà em ko biết dc  ví dụ như $\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(a+b+1)(b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+b+1)(b+1)}=2$

- ai có kinh nghiệm về nhân tử này chia sẻ em vs .sao mọi ng có thể phát hiện ra @@ 

 

 

 

Cauchy-Schwarz:

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(a+b+1)(b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+b+1)(b+1)}=2$

.....................................................................

chị có thể  chia sẻ e cách nhân tử rút gọn này ko ạ @@. sao mà chị phát hiện ra 

thks

AM-GM:

 

$a^{2}+1\geq 2a\Rightarrow \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{a}{2(a+b+1)}$

 

BĐT cần chứng minh trở thành:

 

$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$

 

Cauchy-Schwarz:

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(a+b+1)(b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+b+1)(b+1)}=2$

.....................................................................

em không hiểu dòng này  $\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$

em ko hiểu nắm dòng thứ 2 tứ dưới lên 

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

tính min \sum\frac{bc}{a(2b+c)} 

với 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+c\left ( \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \right )=6

chứng minh rằng $\sum (\frac{a^4}{(a+2)(b+2)})>=\frac{1}{3}$

....  mọi ng giúp vs ạ  

Cho $3$ số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. CMR:

$$\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^+3}\geq \frac{3}{2}$$