Chủ đề này có 7 trả lời

[sharker]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 26-04-2016 - 20:35

[PlanBbyFESN]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

 

AM-GM:

 

$a^{2}+1\geq 2a\Rightarrow \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{a}{2(a+b+1)}$

 

BĐT cần chứng minh trở thành:

 

$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$

 

Cauchy-Schwarz:

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(a+b+1)(b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+b+1)(b+1)}=2$

.....................................................................

[sharker]

em ko hiểu nắm dòng thứ 2 tứ dưới lên 

[sharker]

AM-GM:

 

$a^{2}+1\geq 2a\Rightarrow \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{a}{2(a+b+1)}$

 

BĐT cần chứng minh trở thành:

 

$\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$

 

Cauchy-Schwarz:

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(a+b+1)(b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+b+1)(b+1)}=2$

.....................................................................

em không hiểu dòng này  $\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$

[PlanBbyFESN]

em không hiểu dòng này  $\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\leq 1$

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\geq 2$

 

$\frac{a}{a+b+1}=\frac{a+b+1}{a+b+1}-\frac{b+1}{a+b+1}=1-\frac{b+1}{a+b+1}\Rightarrow \sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1\Leftrightarrow 3-\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$

[sharker]

thks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 26-04-2016 - 21:01

[sharker]

 

 

 

Cauchy-Schwarz:

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(a+b+1)(b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+b+1)(b+1)}=2$

.....................................................................

chị có thể  chia sẻ e cách nhân tử rút gọn này ko ạ @@. sao mà chị phát hiện ra 

[PlanBbyFESN]

chị có thể  chia sẻ e cách nhân tử rút gọn này ko ạ @@. sao mà chị phát hiện ra 

 

 

Cauchy-Schwarz:

 

$\Leftrightarrow \frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(a+b+1)(b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (a+b+1)(b+1)}=2$

.....................................................................

 

 

 

Đây là kĩ thuật AM-GM !

File gửi kèm

•  Cauchy-nguocdau.pdf   234.18K   37 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 27-04-2016 - 18:28