Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c là nghiệm đúng của phương trình $x^2+y^2+z^2=3xyz$ và thoả mãn điều kiện: min {a,b,c} > 24 

Cho hàm số (P): y=x². Hỏi có tồn tại M, N, P thuộc (P) thỏa mãn tam giác MNP đều không? (chứng minh cụ thể)

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $5^{p^{2}}+1 \equiv 0 $ (mod $p^2$)

Cho p là số nguyên tố lẻ. Đặt $m=\frac{9^p-1}{8}$. Chứng minh m là một hợp số lẻ, không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1$ (mod m)

Cho số nguyên tố p>3. Chứng minh rằng nếu p chia 8 dư 1 thì $2^{\frac{p-1}{2}}-1$ chia hết cho p

Cho parabol (P): y=x² và hai điểm I(0;1) và J(1;0). Xác định các điểm M, N thuộc (P) sao cho IM và JN ngắn nhất.

Xác định các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm: $(x-1)^2=2|x-m|$

Cho tam giác ABC và đường tròn (O) nội tiếp tam giác. (O) tiếp xúc với BC tại D. Kẻ đường kính DON. Tiếp tuyến tại N cắt AB, AC tại I, K. Gọi giao điểm của AN với BC là F. Chứng minh rằng BD=CF

Cho bảng hình vuông kích thước 10x10 được chia thành 100 ô vuông nhỏ. Người ta viết các số tự nhiên từ 1 đến 100 theo trình tự sau: 

- Hàng T1, từ trái sang, viết các số từ 1 đến 10

- Hàng T2, từ trái sang, viết các số từ 11 đến 20

- ....

Cứ như vậy cho đến hết. Sau đó cắt bảng thành các hình chữ nhật có kích thước 2x1 hoặc 1x2. Tính tích của 2 số trong hình chữ nhật nhỏ rồi cộng 50 tích lại với nhau.

Cần phải cắt như thế nào để tổng đó nhỏ nhất và nhỏ nhất là bao nhiêu?

Chứng minh: $1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+...+\frac{1}{\sqrt[3]{2009}}>237$

Cho x,y>0 thỏa mãn x²+x³ $\geq$ x³+x⁴. Chứng minh x³+y³ $\leq$ 2 

Cho x, y, z thỏa mãn

$ \left\{\begin{matrix}

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên AB,BC,BA lần lượt lấy K,M,N sao cho tam giác KMN vuông cân tại K, kẻ MH vuông góc với AB. Tìm min hoặc max diện tích tam giác KMN.