Bài 139: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}(6-\frac{a}{b}-\frac{b}{c}-\frac{c}{a})$
Có 95 mục bởi xuanhoan23112002 (Tìm giới hạn từ 28-04-2020)
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 30-05-2018 - 09:53 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 139: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}(6-\frac{a}{b}-\frac{b}{c}-\frac{c}{a})$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 17-04-2018 - 21:56 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 28(IMO 1961): Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và có diện tích là S. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 13:07 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 81(VMO 2015): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a+b+c)^2$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 09:04 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 73: Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng
Thật vậy ta có thể giả sử a+b là số nguyên tố
Theo giả thiết ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)-8abc \vdots a+b$
Hay $8abc \vdots a+b$. Lại có a+b là số lẻ nên gcd(a+b,8)=1
Do đó $abc \vdots a+b$
Mà a+b là số nguyên tố nên xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau: $a \vdots a+b$ hoặc $b \vdots a+b$ hoặc $c \vdots a+b$ (điều này là vô lí do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên max{a, b, c}< a+b)
Nên ta có điều giả sử là sai.
Vậy a+b phải là số nguyên tố
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 17-04-2018 - 23:15 trong Tài liệu - Đề thi
Lời giải của mình cho bài 35 như sau:
PT đã cho $\Leftrightarrow y^3=(x^3+1)(x^2+1)$
Do x là số lẻ ta dễ dàng chứng minh được gcd(x3+1,x2+1)=1
$\Rightarrow$ x3+1 là lập phương của 1 số nguyên.
Như vậy, x3 và x3+1 là 2 số nguyên liên tiếp và đều là lập phương của các số nguyên, và theo giả thiết x là số lẻ nên suy ra x= -1
Từ đó thay vào giả thiết tìm được y= 0
Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn bài là (0, -1)
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 20:43 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 76: Xét 2 trường hợp
Nếu $p\geq q$ từ giả thiết suy ra $q\leq 3$. Mà q là số nguyên tố nên q thuộc{2; 3}. Thử trực tiếp ta thu được (p, q)=(3, 3)
Nếu $p\leq q$ từ giả thiết suy ra $p\leq 5$. Mà p là số nguyên tố nên p thuộc{2, 3, 5}. Thử trực tiếp ta thu được (p, q)=(3, 3)
Vậy cặp số (p, q) thỏa mãn bài là (3, 3)
Bài 79: Gợi ý sử dụng nguyên lí cực hạn. ĐS: p=2 hoặc p=3
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 23:08 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 83: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^3-(x+y+z)^2=(y+z)^3+34$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 21:32 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 94: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2+8=y^2$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 20:09 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:
$p^3-2p^2+p+1=3^n$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 13:14 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 85(VMO 2007): Cho x, y là các số nguyên, $x\neq -1, y\neq -1$ thoả mãn: $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. CMR
$x^{4}y^{44}-1$ chia hết cho x+1
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 21:15 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 82: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn $p> q$ và $p^3-q^7=p-q$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 17-04-2018 - 20:33 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên: $y^3=x^5+x^3+x^2+1$ với x là số lẻ
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 16-04-2018 - 20:36 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 18:Giải phương trình nghiệm nguyên:$\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 16-04-2018 - 21:14 trong Hình học
Bài 19 (Đề thi vào lớp 10 chuyên Nam Định 2017):Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại M. Đường thẳng qua M song song với AB cắt đường tròn (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
1) Chứng minh năm điểm M, B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn
2)Chứng minh$\frac{FI}{FE}=\frac{FD}{FM}$
3) OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). QF cắt (O) tại T (T khác Q). Tính tỉ số $\frac{TQ^2+TM^2}{MQ^2}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 24-01-2017 - 06:11 trong Toán rời rạc
Trên mặt phẳng cho 5 điểm có tọa độ nguyên trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng .Chứng minh rằng trong số các tam giác tạo thành từ 5 điểm đã cho có ít nhất 3 tam giác có diện tích nguyên
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 15-01-2017 - 12:32 trong Toán rời rạc
ko vi no ch
Bài 15 : Một bạn cờ quốc tế $8\times 8$ . Hỏi rằng quân mã có thể đi nước đầu tiên từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải không ? Với điều kiện nó phải đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lần.
ko vi quan ma ko the di het ban co
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 03-04-2018 - 22:54 trong Chuyên đề toán THPT
Đóng góp bài này cho topic
Cho a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=6 và a2+b2+c2+d2=12
cmr 48 >= 4(a3+b3+c3+d3) -(a4+b4+c4+d4) >= 36
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-11-2016 - 20:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=$\fn_jvn \frac{a}{bc}$+$\fn_jvn \frac{2b}{ca}$+$\fn_jvn \frac{5c}{ab}$
trong đó a2+b2+c2=6
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 20-06-2017 - 09:12 trong Tài liệu - Đề thi
Câu II 2.
Từ giả thiết ta có được $\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(c+1)(b+1)}+\frac{1}{(a+1)(c+1)}=1$
Đặt $a+1=\frac{\sqrt{3}}{x}, b+1=\frac{\sqrt{3}}{y},c+1=\frac{\sqrt{3}}{z}$
Giả thiết trở thành $xy+yz+zx=3$ và
$P= \sqrt{3} ( \frac{1}{\frac{3}{x}+x} +\frac{1}{\frac{3}{y}+y} +\frac{1}{\frac{3}{z}+z})$
$= \sqrt{3} (\frac{x}{x^{2}+3}+\frac{y}{y^{2}+3}+\frac{z}{z^{2}+3})$
Sử dụng giả thiết ta có
$P=\sqrt{3}( \frac{x}{(x+y)(x+z)}+ \frac{y}{(x+y)(y+z)}+ \frac{z}{(z+y)(x+z)})$
$=\sqrt{3}( \frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)})$
Mặt khác $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) \geq \frac{8}{3}(xy+yz+zx)$
Suy ra $P \leq \sqrt{3}\frac{3}{4}= \frac{3\sqrt{3}}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c = \sqrt{3}-1$
mình có cách khác nhanh hơn đặt a+1=x;b+1=y;c+1=z thì bài toán sẽ tự nhiên hơn và ứng dụng được cả giả thiết
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 08-06-2017 - 09:57 trong Tài liệu - Đề thi
Mình thấy cách giải của bạn ddang00 không hợp lí lắm. Như cách giải thích của anh IHateMath thì có vẻ cách của bạn chưa đúng hơn nữa nếu làm như vậy con số $\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$ không có ý nghĩa cho lắm.
Cách giải của mình như sau:
ScreenHunter_35 May. 30 14.25.jpg
Ta chia tứ giác $ABCD$ thành $16$ tứ giác nội tiếp trong đường tròn bán kính $1$ như hình trên bằng cách lấy các trung điểm của cạnh tứ giác $ABCD$ và làm thế 1 lần nữa với $4$ tứ giác vừa được chia ra.
Theo nguyên lí $Dirichlet$ thì tồn tại $3$ điểm trong $33$ đã cho cùng thuộc $1$ tứ giác trong $16$ tứ giác vừa được chia ra
$3$ điểm này thuộc hình tròn bán kính bằng $1$. Ta sẽ chứng minh $3$ điểm này là $3$ điểm cần tìm.
ScreenHunter_36 May. 30 14.38.jpg
Gọi $3$ điểm này là $E,F,G$
Xảy ra $3$ trường hợp:
TH1 3 điểm này không nằm trên đường tròn. Vẽ $EF$ cắt $(I)$ tại $M$. Đường thẳng $EG$ cắt $(I)$ tại $N,K$.
Dễ thấy $S_{EFG}< S_{MNK}$. Mà ta lại có diện tích của 1 tam giác bất kì nội tiếp đường tròn không quá diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn đó. Dễ tính được diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $1$ là $\frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$
Suy ra $S_{EFG}< S_{MNK}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2} $
TH2 Tồn tại ít nhất $1$ điểm trong $3$ điểm nằm trên đường tròn.
Vẽ như TH1 và giải như TH1
TH3 3 điểm này nằm trên đường tròn. Giải như TH1 thì $S_{EFG}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}cm^{2}$
Như vậy ta có điều phải chứng minh
sao ban biet 16 tu giac deu noi tiep
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 08-06-2017 - 09:52 trong Tài liệu - Đề thi
moi nguoi hom nay co ket qua LHP day hoi hop qua hi vong do co vu cho minh nhe
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 08-06-2017 - 09:54 trong Tài liệu - Đề thi
minh nghi bai to hop cac ban can chung minh co 1 tam giac co 3 dinh la 3 trong cac diem da cho va canh cua tam giac nho hon 1 thi dung cong thuc tinh dien tich bang sin60 se ra ngay
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 06-05-2018 - 16:28 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
2 ngày thì mọi người làm đc mấy bài
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 17-04-2018 - 21:40 trong IQ và Toán thông minh
max khó
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-07-2017 - 08:38 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
moi nguoi nghi ra huong giai quyet bai 3 chua
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học