Bài 4:
Theo đề bài ta có: $p^2 -p+1=x^3$(x là số tự nhiên,x>1)
Hay $p(p-1)=(x-1)(x^2+x+1)$
Do $p$ là số nguyên tố nên $x-1$ hoặc $x^2+x+1$ chia hết cho$ p$
Nếu $x-1$ chia hết cho $p$ thì $x-1\ge p,x^2+x+1<p$ (vô lí với x là số tự nhiên >1)
Do đó $x^2+x+1$ chia hết cho $p$ nên $x^2+x+1=pk$ (k là số tự nhiên)
Ta xét$ k=1,2$ không thỏa mãn
Xét $k\ge 3$
Thay vào phương trình ta được:$ p-1=(x-1)k$ hay $p=(x-1)k+1$
Từ đó ta có: $x^2+x+1=(xk-k+1)k$
Hay $x^2+x(1-k^2)+k^2-k+1=0$
Đây là phương trình bậc 2 ẩn x, để phương trình có nghiệm tự nhiên thì $\delta =k^4-6k^2+4k-3$ phải là số chính phương
Ta có: $(k^2-3)^2\le k^4-6k^2+4k-3<(k^2-2)^2$
Từ đó ta tìm được k=3 ta tìm được x=7, p=19 là số nguyên tố
Vậy p=19 là số nguyên tố thỏa mãn đề bài