giải phương trình:

$x(\frac{5-x}{x+1})(x+\frac{5-x}{x+1})=6$

tìm  các số nguyên x, y thỏa mãn:

$y^{2}+2xy-7x-12=0$

tính giá trị biểu thức sau:

$\frac{\sqrt{x^{2}y^{2}}}{xy}+\frac{\sqrt{(x-y)^{2}y^{2}}}{x(x-y)}-\frac{\sqrt{(x-y)^{2}y^{2}}}{y(x-y)}$

Từ $2x^{2}+2y^{2}-xy=1$

=> $2x^{2} + 2y^{2} = 1 + xy$

=> $2(x + y)^{2} = 1 + 5xy \geq 0$

=> $xy \geq \frac{-1}{5}$ (1)

Mặt khác từ $2x^{2}+2y^{2}-xy=1$

=> $2x^{2} + 2y^{2} = 1 + xy$

=> $2 (x - y)^{2} = 1 - 3xy \geq 0$\

=> $xy \leq \frac{1}{3}$ (2)

Đặt t = xy => $\frac{-1}{5} \leq t \leq \frac{1}{3}$

Ta có $P=7(x^{4}+y^{4})+4x^{2}y^{2}$

=> $P = 7 ((x^{2} + y^{2})^{2} - 2x^{2}y^{2}) + 4x^{2}y^{2}$

=> $P = 7((\frac{1 + xy}{2})^{2} - 2x^{2}y^{2}) + 4x^{2}y^{2}$

=> $P = \frac{7}{4} + \frac{7}{2}xy - \frac{33}{4} x^{2}y^{2}$

=> $P = \frac{7}{4} + \frac{7}{2}t - \frac{33}{4}t^{2}$

Lập bảng biến thiên của P với $\frac{-1}{5}\leq t\leq \frac{1}{3}$

=> min, max P

sao lại như thế này vậy

cho các số a,b,c thỏa mãn $0\leq a, b, c\leq 2$ và a+b+c=3. chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

Bài này mình nghĩ đơn giản chỉ cần quy về một biến x và giải thôi.

nhưng mình thấy nếu làm thế thì sẽ tính ra kết quả của N, không tìm được cực trị

tìm min và max của N=2x+3y-4z biết rằng x, y, z lớn hơn 0 , 2x+y+3z=6 và 3x+4y-3z=4

cho x, y thỏa mãn $2x^{2}+2y^{2}-xy=1$ . tìm min và max của $P=7(x^{4}+y^{4})+4x^{2}y^{2}$

 

Lời giải.

Đặt $A=\left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x+ay+5 \right )^{2}$.

Xét hệ: $$\left\{\begin{matrix} x-2y=-1 \\ 2x+ay=-5 \end{matrix}\right.$$

Nếu $a\neq -4$ thì hệ luôn có nghiệm $\left ( x;y \right )$ và $\min A=0$.

Nếu $a=-4$ thì $A=\left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x-4y+5 \right )^{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left [ \left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x-4y+5 \right )^{2} \right ]\left [ 2^{2}+\left ( -1 \right )^{2} \right ]\geq \left ( 2x-4y+2-2x-4y-5 \right )^{2}=9$$

$$\Rightarrow A\geq \dfrac{9}{5}$$

Vậy $\min A=\dfrac{9}{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $x-2y+1=-4x+8y-10\Leftrightarrow 5x-10y+11=0$.

Ở đây dấu bằng xảy ra tại vô số cặp $\left ( x;y \right )$ thỏa mãn $5x-10y+11=0$ ví dụ $\left ( x;y \right )=\left ( -\dfrac{1}{5};1 \right )$.

 

CẢM ƠN RẤT NHIỀU!

Tìm min của biểu thức sau: $(x-2y+1)^{2}+(2x+ay+5)^{2}$ với a là hằng số

Tìm min của biểu thức sau: $T=x^{4}-8xy-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}+2001$

tìm min của biểu thức sau: $I=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-2xy+2xz-2x-2y-8z+2000$

cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. chứng minh $n^{4}+4^{n}$ là hợp số

cho x, y lớn hơn 0 và $x+y\geq 0$. tìm min của $P=5x+3y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}$

cho x, y lớn hơn 0 thỏa mãn $ x+y\leq 1$. tìm min của $M=xy+\frac{9}{xy}$

Tìm max của biểu thức sau: $D=\frac{6-x-\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}}$

tìm Min $D=\frac{5-3x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+a(b+c)+b(c+d)+d(c+a)$

$\geq 3(ab+cd)+(ac+bd)+(da+bc)$

$\geq 3.2\sqrt{abcd}+2\sqrt{abcd}+2\sqrt{abcd}=3.2+2+2=10$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

cảm ơn bạn nhé

bạn cho mình hỏi là tại sao x+2y+z lại bằng a+c vậy, mình biến đổi nhưng không ra

cho a, b, c, d lớn hơn 0 và tích a.b.c.d=1. chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+a(b+c)+b(c+d)+d(c+a)\geq 10$

cho x, y, z lớn hơn 0 và x+y+z=1. chứng minh $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$