Tìm x, y biết x - y = x/2y

2 ẩn như vậy tìm sao được bạn ??
bạn xem lại đề 

Cho Δ ABC.AM,BN,CP là các đường phân giác trong.Tìm số đo góc BAC để PM vuông góc NM

120 độ

$\frac{a^{2}}{x}$ +$\frac{b^{2}}{y}$ + $\frac{c^{2}}{z}$ $\geq$ $\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{x+y+z}$

Áp dụng Bunhia ta có:

(a^2/x+b^2/y+c^2/z)(x+y+z)>=(a+b+c)^2 

=> đpcm 

Bạn trình bày giúp mình với

Mình biết lm chiều thuận thôi 
cho ABC=120 độ r chứng minh vuông góc:

 tam giác ABM có BN là đường phân giác trong, AN là phân giác ngoài nên MN cx là phân giác ngoài, tức MN là tia phân giác góc AMC. Tương tự MP là tia phân giác góc AMB -> MN _|_ MP.

Chứng minh rằng :

a) Tích của 2 số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương

b)Tích của 3 số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương

c) Tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương 

a, n(n+1)=n^2+n

n^2<n^2+n<(n+1)^2

=> n(n+1) không là SCP
b, https://diendantoanh...ố-chinh-phương/
c, 
https://olm.vn/hoi-d...ion/356703.html

Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c+d=1$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P= \frac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-c)}+ \frac{abcd}{(1-a)(1-b)(1-d)} + \frac{abcd}{(1-a)(1-d)(1-c)} + \frac{abcd}{(1-d)(1-b)(1-c)} $$

Quy đồng và dùng BĐT Cauchy 3 số:

$P=abcd\sum \frac{1}{(1-a)(1-b)(1-c)}=abcd.\frac{3}{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)} =3.\frac{abcd}{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)}\leq 3.\frac{abc}{81abc}=\frac{1}{27}$

Cho đường tròn (O,R) và  điểm S nằm ngoài (O) với SO > 2R . Kẻ các tiếp tuyến SA , SB với (O) với A , B là các tiếp điểm . Kẻ đường kính AC của (O) . Gọi H là giao điểm của SO và AB và K là giao điểm của CH với (O) ( K khác C ) . Cho M là trung điểm của SH . Chứng tỏ A , K , M thẳng hàng . 

Cách của mình:

Dễ thấy CK vuông góc với AK(1)

Ta có: ABC đồng dạng với SHA(g.g)

=> AHC đồng dạng với SMA (c.g.c)

=> CH vuông góc với AM(2)
từ 1 và 2 suy ra A, K, M thẳng hàng

bài 2:

vì $\sqrt{x}+1>0$

nên để $\frac{\sqrt{x}+1}{3(\sqrt{x}-1)}>0$ thì $3(\sqrt{x}-1$>0

=> x>1

ta có:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}>3 \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}-1}>2\Leftrightarrow 0<\sqrt{x}-1<1 =>0<x<4$

Bài 1: Cho hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn: $(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{y^2 + 1} + y) = 1$. Tính $x + y$.

 

Bài 2: Gọi $a$ là nghiệm dương của phương trình: $\sqrt{2}x^2 + x - 1 = 0$.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $C = \frac{2a - 3}{\sqrt{2(2a^4 - 2a + 3)} + 2a^2}$.

 

Bài 3: Cho 3 số dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a + b + c = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 2$.

Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{a}}{1 + a} + \frac{\sqrt{b}}{1 + b} + \frac{\sqrt{c}}{1 + c} = \frac{2}{\sqrt{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}}$.

 

Bài 4: Cho các số $a, b, c, d, A, B, C,D$ dương thỏa mãn $\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{d}{D}$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{aA} + \sqrt{bB} + \sqrt{cC} + \sqrt{dD} = \sqrt{(a + b + c + d)(A + B + C + D)}$.

bài 1:

Bài 1: Cho hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn: $(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{y^2 + 1} + y) = 1$. Tính $x + y$.

 

Bài 2: Gọi $a$ là nghiệm dương của phương trình: $\sqrt{2}x^2 + x - 1 = 0$.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $C = \frac{2a - 3}{\sqrt{2(2a^4 - 2a + 3)} + 2a^2}$.

 

Bài 3: Cho 3 số dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a + b + c = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 2$.

Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{a}}{1 + a} + \frac{\sqrt{b}}{1 + b} + \frac{\sqrt{c}}{1 + c} = \frac{2}{\sqrt{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}}$.

 

Bài 4: Cho các số $a, b, c, d, A, B, C,D$ dương thỏa mãn $\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{d}{D}$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{aA} + \sqrt{bB} + \sqrt{cC} + \sqrt{dD} = \sqrt{(a + b + c + d)(A + B + C + D)}$.

Bài 4 đặt ẩn phụ k thôi :

 

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:

T=$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

 

2,Cho các số thực a,b,c,d$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

 

3,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{2}+z^{3}=1$.CMR:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

4,Cho x,y>0 và x+y$\geq4$.CMR:

$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }$

 

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

 

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR

$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }$  

 

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$

 

Bài 6: 

$\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3x}{2} \Leftrightarrow \frac{x^3}{y+1}\geq \frac{3x}{2}-\frac{y}{4}-\frac{3}{4} \Rightarrow \sum_{cyc}^{x,y,z}\frac{x^3}{y+1}\geq \frac{5}{4}(x+y+z)-\frac{9}{4}\geq \frac{5}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$

 

1,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:

T=$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

 

2,Cho các số thực a,b,c,d$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

 

3,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{2}+z^{3}=1$.CMR:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

4,Cho x,y>0 và x+y$\geq4$.CMR:

$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }$

 

5,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

 

6,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR

$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }$  

 

7,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$

 

Câu 5:

Bài 5:

Cho x³ = 3x + 1; y³ = 3y+1; z³ = 3z+1. CMR: x² + y² + z² = 6

Đề sai hay sao bạn ơi 

Bài 1: Cho hai số thực $x$ và $y$ thỏa mãn: $(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{y^2 + 1} + y) = 1$. Tính $x + y$.

 

Bài 2: Gọi $a$ là nghiệm dương của phương trình: $\sqrt{2}x^2 + x - 1 = 0$.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $C = \frac{2a - 3}{\sqrt{2(2a^4 - 2a + 3)} + 2a^2}$.

 

Bài 3: Cho 3 số dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a + b + c = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 2$.

Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{a}}{1 + a} + \frac{\sqrt{b}}{1 + b} + \frac{\sqrt{c}}{1 + c} = \frac{2}{\sqrt{(1 + a)(1 + b)(1 + c)}}$.

 

Bài 4: Cho các số $a, b, c, d, A, B, C,D$ dương thỏa mãn $\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{d}{D}$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{aA} + \sqrt{bB} + \sqrt{cC} + \sqrt{dD} = \sqrt{(a + b + c + d)(A + B + C + D)}$.

Nốt bài 3:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq a + b + c$

cách khác: Áp dụng BĐT Cauchy ta có

$\frac{a^2}{b}+b\geq 2a$

$\frac{b^2}{c}+c\geq 2b$

$\frac{c^2}{a}+a\geq 2a$

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$

Cho $\Delta ABC$, $I$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác. $IA, IB, IC$ cắt $BC,CA,AB$ ở $M,N,P$. Chứng minh rằng

$\frac{IA}{IM} = \frac{NA}{NC} + \frac{PA}{PB}$

Đây là định lý Van Aubel trong tam giác:

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BI tại P, CI tại Q

Áp dụng Talet ta có:

$\frac{AP}{BP}+\frac{AN}{NC}=\frac{AQ}{BC}+\frac{AP}{BC}=\frac{PQ}{BC}=\frac{AI}{IM}$

Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $x+y\geq 6$. Tìm min A = $x + 2y + \frac{8}{x} + \frac{6}{y}$

$A=x+2y+\frac{8}{x}+\frac{6}{y} =\left ( \frac{x}{2}+\frac{8}{x} \right )+\left ( \frac{3y}{2}+\frac{6}{y} \right )+\frac{x+y}{2}$

$\Leftrightarrow A\geq 2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{8}{x}}+2\sqrt{\frac{3y}{2}.\frac{6}{y}}+3=13$

Vậy min A=13 khi x=4; y=2 

Cho $x,y > 0 , x+y = 1$. Chứng minh rằng $3\left ( 3x -2\right )^{2} + \frac{8x}{7} \geq 7$.

BĐT này không đúng bởi vì BĐT tương đương với 

$189x^2-244x+35\geq 0\Leftrightarrow x\leq 0,16437....$

Ví dụ x=0.2 thì BĐT này sai 

 

 

5, Cho x,y,z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. CMR:

$xy+yz+2zx\leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}$

 

$\large \frac{\frac{x^2}{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}y^2}{2}\geq xy$

$\large \frac{\frac{z^2}{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}y^2}{2}\geq zy$

$\large z^2+x^2\geq 2zx$

Suy ra:

$\large xy+yz+2zx\leq \frac{1+\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Cho hai số a, b thoả mãn ab+ a+b = 8

Tìm min a²+b² ?

Ta có:

$a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow 2(a^2+b^2)\geq 4ab$

$a^2+4\geq 4a$

$b^2+4\geq 4b$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2)+8\geq 4(ab+a+b)=32\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 8$

Vậy min a^2+b^2=8 khi và chỉ khi a=b=2

Dạ em nhầm chút ạ đề đúng là $\frac{8x}{y}$ chứ không phải là $\frac{8x}{7}$ ạ

Cái này cũng biến đổi tương đương thôi bạn:

$3(3x-2)^2+\frac{8x}{y}\geq 7\Leftrightarrow 3(3x-2)^2+\frac{8x}{1-x}\geq 7 \Leftrightarrow -27x^3+63x^2-33x+5\geq 0\Leftrightarrow (5-3x)(3x-1)^2\geq 0(*)$

BĐT * đúng vì x<1 suy ra 5-3x>0.

Dấu bằng xảy ra khi x=1/3; y=2/3 

B1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR

  $\sum \frac{1}{ab+a+2}\leq \frac{3}{4}$

 

Đặt a=x/y; b=y/z; c=z/x. Ta có biểu thức tương đương với:

$\LARGE \sum \frac{yz}{xy+xz+2yz}\leq \sum \frac{yz}{4}.\left ( \frac{1}{xy+zy}+\frac{1}{xz+yz} \right )=\frac{3}{4}$

 

B2:Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thực 

 P=$\sum a^{2}-6\sum a+2017$

 

$\LARGE P=\sum a^2-6\sum a+2017=(a+b+c)^2-6(a+b+c)+9+2012$

$\LARGE =(a+b+c-3)^2+2012\geq 2012$

Vạy Min(P)=2012 khi a=b=c=1

bạn tìm ra nó lớn nhất khi nào chưa cho mình xin với

Vì góc A không đổi nên góc BIC=90+A/2 không đổi nên bài toán quy về bài toán sau:

Cho tam giác ABC có BC cố định góc A không đổi. Tìm vị trí của A để AB+AC max ( khá quen thuộc )