Đề đúng ạ ^^

$15y^4+y^4$???

Cho $(U_{n})$ được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix}U_{1}=2;U_{2}=2 & \\ U_{n+2}=(n+1)(U_{n+1}+U_{n}) & \end{matrix}\right.$

Tìm công thức tổng quát của $U_{n}$

Thử dùng hàm sinh nhen!

Cho phương trình; $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-2}+...+\frac{1}{x^{n}-n}=0$

a) chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ phương trình có nghiệm $x_{n}\in (0;1)$

b) tìm lim Un

Không hề chăm chút cho đề gì cả!

Cho em hỏi cái căn bậc 4 anh trục như thế nào vậy ạ ?

Ta có hằng đẳng thức quen thuộc: $ a^4-b^4= (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3).$
Khi đó, với $a\eq \pm b$, ta sẽ có: $a-b= \frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3}$.

Thử với $a= \sqrt[4]{f(x)}$ và $b= g(x)$, ta có

$$ \sqrt[4]{f(x)}-g(x)= \frac{f(x)-[g(x)]^4}{ \sqrt[4]{[f(x)]^3}+ \sqrt[4]{[f(x)]^2}g(x)+ \sqrt[4]{f(x)}[g(x)]^2+[g(x)]^3}.$$

Có phải là thứ mà em cần tìm?

Chứng minh đẳng thức đó mà cũng dùng đến định lý Hamilton Calley thì hơi kỳ cục!

Cho dãy $(Un)$: $\left\{\begin{matrix}u_{1}=4 & \\ 4U_{n+1}=5U_{n}+3\sqrt{U_{n}^{2}-16} & \end{matrix}\right.$

Tính giới hạn của:$\sum_{n=1}^{2017}=\frac{U_{n}}{2^{2018-n}}$

Gõ đề sai rồi!

Cho $(U_{n})$:$\left\{\begin{matrix}U_{1}=3 & \\ U_{n+1}^{3}-3U_{n+1}=\sqrt{2+U_{n}} & \end{matrix}\right.$

Tính lim $U_{n}$

Lời giải 1:

Ta có $\left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2 = \sqrt{2+u_n}-2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}.$

Hơn nữa, vì $u_1>2$ nên $u_{n}>2 \forall n\in \mathbb{N}.$

Và ta có thể ra dãy là dãy giảm thông qua một trong các "đánh giá" sau:

(i) $u_ n\ge \sqrt{2+u_n}=u_{n+1} (u_{n+1}^2-3) \ge u_{n+1} . (2^2-3)=u_{n+1} \forall n\in mathbb{N}.$

(ii) Dùng qui nạp với phác thảo phần chính: Vì $u_{n+1}^{3}-3u_{n+1}- [u_{n}^{3}-3u_{n}]= \sqrt{u_{n}+2}- \sqrt{u_{n-1}+2}$ nên

$\left( u_{n+1}-u_n\right)\left(u_{n+1}^2+u_{n+1}u_n+u_n^2-3 \right)=\sqrt{u_{n}+2}- \sqrt{u_{n-1}+2}\ge 0.$ 

Lời giải 2:

Từ $\left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2 = \sqrt{2+u_n}-2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}$, ta chứng minh được $u_n>2 \forall n\in \mathbb{N}$ bằng phương pháp qui nạp.

Cũng từ đẳng thức trên ta có

$9[u_{n+1}-2] \le \left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}\le \frac{u_n-2}{4}.$

Do đó, $0<u_{n+1}-2\le \frac{1}{36} (u_n-2)$ với mọi $n\ge 1.$

Lời giải 3: (Tuyến tính hóa)

Ta có $$ u_{n+1}^{3}-3u_{n+1}= \sqrt{u_n+2} \le \frac{u_n+6}{4}.$$

Sử dụng thông tin $u_n \ge 2$, ta có thể giải tương tự như bài 2 nhưng với tính toán đơn giản hơn.

(Nếu "tiếp tục quảng bá cho bổ đề giới hạn" thì đây là một minh họa tốt!)

Lời giải 4: 

(Dùng định lý Lagrange/ Dãy co)
Dãy số có dạng

$f(u_{n+1})= g(u_n)$

thỏa: có các số thực dương $a, b$:  $f'(x)> a> 0<g'(x)<b \forall x\ge 2$ với $\frac{b}{a}<1.$

xin lỗi bạn mình đã sửa 

Đề câu thứ nhất nên là tồn tại duy nhất nghiệm trong $ (0,1).$

S

??? đề đúng thưa anh

Sai ở mức độ nghiêm trọng! 

....

Tính giới hạn của:$\sum_{n=1}^{2017}=\frac{U_{n}}{2^{2018-n}}$

Riêng quả viết "thay" $\lambda$ bởi $A$ và $1$ bởi $E$ là thấy bá đạo rồi. Chắc lại sách mấy trường kinh tế - kĩ thuật, toàn mấy ông lởm khởm viết. 

Đó là nội dung định lý Hamilton Caylley!

Tính giới hạn:

$lim\frac{\sum_{k=2}^{n}\cos\frac{\pi }{k}}{n}$

Dùng Cesaro! Giới hạn bằng $\lim_{n\to \infty} \cos \frac{\pi}{n}=1.$

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+.....+u_{n}=n^{2}u_{n} & \end{matrix}\right.$

Tìm Lim $n^{2}.u_{n}$

Ta có $(n-1)^2u_{n-1}+u_n=n^2 u_{n}, n\ge 2.$

Do đó $u_{n}= \frac{n-1}{n+1}u_{n-1}=\frac{2}{(n+1)n}u_1.$

Do đó, $\lim n^2u_n=4.$

cho dãy số $u_{n}$ được xác định bởi $u_{1}= \sqrt{3}$ và $u_{n+1} =\sqrt{9u_{n}^{2} +11u_{n} +3}$

Tính $lim \frac{u_{n+1}-u_{n}}{u_{n+1}+ u_{n}}$

Dùng thông tin $\lim u_n=\infty$ để tính giới hạn cần tìm như giới hạn hàm số!

bạn có thể làm chi tiết được không ạ , mình cảm ơn 

Vì $u_{n+1}\ge 3 u_n>0, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim u_{n}=\infty.$

Đặt $f(x)= \sqrt{9x^2+11x+3}.$

Khi đó, $\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{f(u_n)-u_n}{f(u_n)+u_n}.$

Từ $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}= \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}-1}{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}.$

Suy ra 

$$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{1}{2}.$$

Dạ đúng là như vậy huynh ạ ^^

Hình như người ra đề không biết "cộng". Không biết $15+1=?$.

Từ phương trình thứ 2, ta thu được $y=0 \vee 4y^3+3xy^2-10x=0.$

TH1: $y=0$. Khi đó,  $x=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.

TH2: $4y^3+3xy^2-10x=0$. Kết hợp PT thứ nhất, ta được phương trình đẳng cấp

$4y^3+3xy^2-2x(4x^2+y^2)=0$.

Dễ thấy $x\neq 0$. Đặt $t=\frac{y}{x},$ ta thu được phương trình 

$4t^3-2t^2+3t-8=0.$

Giải phương trình bậc ba theo cách giải tổng quát, ta thu được

\[t=\frac{\sqrt[3]{12 \sqrt{18633} + 1628}}{12} - \frac{\sqrt[3]{12 \sqrt{18633} - 1628}}{12} + \frac{1}{6}.\]

(Xấu thì làm theo "cách xấu" thôi!)

Bạn đọc kỹ sẽ nhận ra rất nhiều lỗi sai!

Tìm công thức tổng quát của $\left \{ U_n \right \}$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} & U_1=2 & \\ & n^2U_n=U_1+U_2+...+U_n & \end{matrix}\right.$ . 

https://diendantoanh...-tìm-lim-n2u-n/

Cho dãy số $U_n$ được xác định bởi $(1)$ và $(2)$

Tính giới hạn $U_n$: 

$(1)$ $u_1=1$

$(2)$ $\displaystyle {{U}_{n+1}}=\sqrt{{{U}_{n}}^{2}+\frac{2n+1}{{{2}^{n}}}}$ $n\geq 1$

$u_{n+1}^2+a_{n+1}=u_n^2+a_n$, trong đó $a_{n}=\frac{4n+6}{2^n}.$

...

Tính giới hạn (nếu có) :

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2}}$

Cho $(x,y)\to (0,0)$ dọc theo đường cong tham số $x^2+y^2=ky.$ Ta có thể đơn giản hóa $x=\sqrt{ky-y^2}$ với $k>0, 0<y<k.$

Đặt $f(x,y)=\frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2}.$

Khi đó,  $f(\sqrt{ky-y^2},y) =\frac{k}{1+k^2}.$ Suy ra $\lim_{y\to 0^{+}}(\sqrt{ky-y^2},y)$ phụ thuộc $k$. Do đó, giới hạn $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ không tồn tại.

Thử với $u_{n}=\cot \alpha_{n}, 0<\alpha_n<\frac{\pi}{2}. $

BÀI TOÁN: Cho $lim\frac{\sqrt[3]{an^3+5n^2-7}}{\sqrt{3n^2-n+2}}=b\sqrt{3}+c$ . Tính 

$$P=\frac{a+c}{b^3}$$

Đề sai! Không thể tính $P.$

\[\frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\left[\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right]^{-1/3}.\]

Lùi dần sẽ tìm ra $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}.$ Từ đó suy ra $u_n.$

bài 1. CMR $\lim_{x->0}\frac{\sqrt[n]{1+ax-1}}{x}=\frac{a}{n}$

$\lim_{}$

Bài 2. Cho dãy số Un: $\left\{\begin{matrix}x_{1}=2016, x_{2}=2017 & \\ x_{n}(x_{n-1}+x_{n+1})=2x_{n-1}x_{n+1} (n\geq 2)& \end{matrix}\right.$ Tìm $lim$ $x_{n}$

Bài 1: Gõ đề nhầm! Có thể dùng đạo hàm, đổi biến hoặc trực tiếp (nhân lượng liên hiệp).

Bài 2: 'chia-chia', ta nhận được dãy truy hồi tuyến tính cho dãy $\left\{ \frac{1}{x_n}\right\}.$