Cho $ x\geq-1 $.CMR
a) $(1+x)^{r}\geq1+rx$ với $\ r\geq1$
b) $(1+x)^{r}\leq1+rx$ với $\ 0\leq r \leq1$
--------------------------------------
MOD: bạn nên đặt tiêu đề là một phần nội dung bài toán bằng $\LaTeX$

$Cho\ x,y,z\ thuộc\ [0,1].\ CMR$
$\dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+\dfrac{1}{zx+1}\leq\dfrac{5}{x+y+z}$

$ Cho\ a, b, c >0\ thoả\ mãn \ a+b+c\leq\sqrt{3}. CMR $
$3\sqrt{3} +\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\geq4(a+b+c)$

Cho $a, b, c, d$ thuộc khoảng $(1,2)$. Cmr
$$18abcd > (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)$$

Mod. Học gõ $\LaTeX$ + Gõ TV có dấu.

Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$. CMR
$\dfrac{1}{{a^2 - bc + 1}} + \dfrac{1}{{b^2 - ac + 1}} + \dfrac{1}{{c^2 - ab + 1}} \le 3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$A=\sqrt{2x^{2}+2y^{2}-2x+2y+1}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}+2x-2y+1}+\sqrt{2x^{2}+2y^{2}+4x+4y+4}$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Lấy M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, AB, B'C'. Xác định và tính độ dài khoảng cách giữa MN và BP

làm thử nha !

Cho ABC có A(-1;3), B(1;1), và d:y=2x

a) Tìm M d để ABM tại A
b) Tìm N d để ABN đều

XIN CẢM ƠN VÀ HẬU TẠ

a)
B1: Viết phương trình đường thẳng AB
B2: Viết phương trình đường thẳng (d3) qua A và vuông góc với AB
Để ý rằng: Nếu (d1): y= ax+b vuông góc với (d2): y=cx+d thì tích ac=-1
B3: Cho (d): y=2x giao với (d3) (vừa tìm được ở B2) là ra tọa độ điểm M
b)
B1: Lấy trung điểm I của AB
B2: Viết phương trình đường thẳng (d4) qua I và vuông góc với AB, suy ra (d4) là trung trực của AB
B3: Cho (d4) giao với (d): y=2x ta được tạo độ điểm N
B4: Nếu NA=AB thì ta được điểm N cần tìm. Nếu NA#AB thì kết luận rằng không tồn tại điểm N thuộc (d) sao cho tam giác ABN đều

Bài này cũng khá quen thuộc.
Giải quyết nó theo 2 bước:
Bước 1: Giả sử$ z \ge 1$ thì $xy \le 1$
Ta có đánh giá quen thuộc sau:
$\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \le \dfrac{2}{1+xy}, \textup{ khi } xy \le 1$
ngược nếu $xy \ge 1$ thì $\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy},$
Thậy vậy: ta có đẳng thức:
$\dfrac{2}{1+xy} - \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{1+y^2} = \dfrac{(x-y)^2(1-xy)}{(1+xy)(1+x^2)(1+y^2)}$
Do đó: $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \le \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}} $
Bước 2: thay $xy = \dfrac{1}{z}$ và việc còn lại thật là đơn giản

Em làm đến đoạn cuối như anh bảo nhưng thay xy=z rồi làm như thế nào nữa hả anh

Giải phương trình:
$4\sqrt {x + 2} + \sqrt {22 - 3x} = x^2 + 8\$

Em có cách khác không cần dùng đạo hàm (Vì em mới học lớp 10 mà!)
$P = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = 3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\$
Ta có
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{{a(b^2 + c^2 ) + b(c^2 + a^2 ) + c(a^2 + b^2 )}}{{abc}}\$
Do$a,b,c \in \left[ {1;2} \right]\$nên$\dfrac{1}{c} \le 1,\dfrac{1}{a} \ge \dfrac{1}{2}\$
$\dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{2} \leftrightarrow 2(a - c) \le ac \leftrightarrow 2b(a - c) \le abc\$
$\leftrightarrow a(b - c) + b(a - c) + c(b - a) \le abc\$
Lại có $(b - c)^2 \le (b - c)......\$
$\to a(b - c)^2 + b(a - c)^2 + c(b - a)^2 \le abc\$
$\leftrightarrow \dfrac{{a(b^2 + c^2 ) + b(c^2 + a^2 ) + c(a^2 + b^2 )}}{{abc}} \le 7\$
$\leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \le 7\$
$\leftrightarrow P = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = 3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \le 10\$
Vậy MaxP=10 (2 số bằng 1, 1 số bằng 2) hoặc (2 số bằng 2, 1 số bằng 1)
Nhớ thanks em nha!

Ta có điều kiện $x \ge 2$ (Rất quan trọng)
$\sqrt {x^2 + 91} = \sqrt {x - 2} + x^2\$
Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + \sqrt {x - 2} - \sqrt {{x^2} + 91} $ với $x \ge 2$
$f'\left( x \right) = 2x + \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 91} }} > 0$
Vì $2x - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 91} }} > 0\forall x \ge 2$
Vậy PT ban đầu có tối đa 1 nghiệm . Nhận xét $x=3$ là 1 nghiệm của PT
Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=3$

Anh làm cách khác được không. Em chưa được học đạo hàm!

Bài này cũng khá quen thuộc.
Giải quyết nó theo 2 bước:
Bước 1: Giả sử$ z \ge 1$ thì $xy \le 1$
Ta có đánh giá quen thuộc sau:
$\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \le \dfrac{2}{1+xy}, \textup{ khi } xy \le 1$
ngược nếu $xy \ge 1$ thì $\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy},$
Thậy vậy: ta có đẳng thức:
$\dfrac{2}{1+xy} - \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{1+y^2} = \dfrac{(x-y)^2(1-xy)}{(1+xy)(1+x^2)(1+y^2)}$
Do đó: $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \le \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}} $
Bước 2: thay $xy = \dfrac{1}{z}$ và việc còn lại thật là đơn giản

Phần cuối phải như thế này chứ anh
$\dfrac{1}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + y^2 } }} \le \sqrt {2(\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }})} \$
Nhưng dù sao em cung cảm ơn anh!

Đạo hàm sai rồi anh Trường Giang $f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}<0,\forall x>0$
-----------------------------------------------------------------------------
Bài này giải như sau:
Thay $(x;y;z)$ bởi $\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right)$,ta thu đc BĐT sau:
$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{z}{\sqrt{1+z^2}} \le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$(với $xyz=1$)
ta có hàm số $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ là hàm lõm trên $(0;+ \infty)$ nên theo BĐT Jensen,ta có:
$VT=f(x)+f(y)+f(z) \le 3f\left(\sqrt[3]{xyz} \right)=3f(1)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=VP(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Em mới học lớp 10 nen không hiểu. Anh có thể làm cách khác giúp em dược không? Thanks anh trước

Giải phương trình:
$\sqrt {x^2 + 91} = \sqrt {x - 2} + x^2\$

Cho x, y, z la 3 số thực dương thỏa mãn: xyz=1. Cmr

$\dfrac{1}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + y^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + z^2 } }} \le \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\$

Ko nên post ở nhiều nơi !Ở đây cũng có rồi !

Anh ơi cố gắng làm hộ em với

Bai 1: Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn abc=1. CMR
$\dfrac{1}{a+3ab+5}+\dfrac{1}{b+3bc+5}+\dfrac{1}{c+3ca+5}\leq\dfrac{1}{3}$
Bài 2: Cho a, b, c là 3 số dương. CMR
$\dfrac{a}{2a+b+2c}+\dfrac{b}{2b+c+2a}+\dfrac{c}{2c+a+2b}\leq\dfrac{3}{5}$

Bai 1: Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn abc=1. CMR
$\dfrac{1}{a+3ab+5}+\dfrac{1}{b+3bc+5}+\dfrac{1}{c+3ca+5}\leq\dfrac{1}{3}$
Bài 2: Cho a, b, c là 3 số dương. CMR
$\dfrac{a}{2a+b+2c}+\dfrac{b}{2b+c+2a}+\dfrac{c}{2c+a+2b}\leq\dfrac{3}{5}$