Cho $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm

$(a^2+b^2-1)x^2 -2(ac+bd-1)x+c^2+d^2-1=0$

Phương trình này luôn có nghiệm $x$ bởi vì biệt thức

\[\Delta^{'}_x = \frac{(abd-b^2c-a+c)^2+(b-d)^2(1-a^2-b^2)}{1-b^2} \geqslant 0.\]

Cho x>2. CMR:

$\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} >9$

Bởi vì

\[\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} -9 = \frac{(x^2+8x+8)(x-4)^2+16}{2(x-2)(x+2)^2} > 0.\]

Bài 1: Cho các số thực a,b,c thỏa ab+7bc+ca=188. Tìm GTNN $P= 5a^{2}+11b^{2}+5c^{2}$

Bài 2: Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Tìm GTNN P = a²+b²+c³

Bài 1. Ta có

\[5a^2+11b^2+5c^2-2(ab+7bc+ca) = \frac15(5a-b-c)^2+\frac65(3b-2c)^2 \geqslant 0.\]

Bài 2. Đặt $z = \frac{\sqrt{37}-1}{6} > 0,$ theo bất đẳng thức AM-GM ta có $c^3 \geqslant \frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2},$ và

\[a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2 - \frac{27z}{2(3z+1)} \cdot \frac{(a+b+c)^2}{9} = \frac{(3az-3bz-3cz+2a)^2+(3z+1)(2b-3cz)^2}{(3z+2)(6z+2)} \geqslant 0.\]

Do đó

\[P \geqslant a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2} \geqslant \frac{27z}{2(3z+1)} - \frac{z^3}{2} = \frac{541-\sqrt{37^3}}{108}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{19-\sqrt{37}}{12},c=\frac{\sqrt{37}-1}{6}.$

bạn phân tích sai rồi

Mình kiểm tra thấy đúng mà nhỉ.

Bạn lấy x=9 hoặc bất kỳ đi 

VT ko bằng VP

Mình vẫn thấy nó đúng với $x=9$.

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất

\[f(a,b,c) = \sum \frac{a+b}{c^2} - \frac{5(a^2+b^2+c^2) -ab-bc-ca}{2abc} \geqslant 0.\]

Giả sử $x,y,z$ là ba số thực dương, áp dụng phép thế Ravi ta có

\[f(a,b,c) = f(x+y,y+z,z+x) \equiv f(x,y,z),\]

và

\[f(x,y,z)= \frac{1}{2(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2} \sum (x^3+3x^2y+5xy^2+y^3+2x(x+y-z)^2)(x-y)^2 \geqslant 0.\]

cho x,y,z>0 : xy+yz+xz=3. tìm min

A= $2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2}$

Bài đẹp nhưng kết quả không đẹp. Đặt

\[P = 2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2} - k(xy+yz+zx),\]

khi đó

\[P=\frac18\left( ky+kz-4\,x \right) ^{2}+{\frac{( {k}^{2}y+{k}^{2}z+4kz-24y) ^{2}}{24-{k}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}( {k}^{3}+9{k}^{2}-96) }{24-{k}^{2}}}.\]

Như vậy nếu chọn $k$ sao cho ${k}^{3}+9{k}^{2}-96=0,k^2<24$ thì $P \geqslant 0$ tức $P$ có giá trị nhỏ nhất là $3k.$

Cho $x,y,z \ge 0$. Chứng minh :${x^3} + {y^3} + {z^3} + 2({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x) \ge 3(x{y^2} + y{z^2} + z{x^2})$

Lời giải: https://diendantoanh...ào/#entry474480

Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x + y biết x² + y² = 50 và 1 $\leq$ x $\leq$ 7; 1 $\leq$ y $\leq$ 7

Ta có

\[x+y = \sqrt{16 + \frac{2[(7x+27)(x-1)+(20x+7y)(y-1)+y(7-x)]}{19}} \geqslant  \sqrt{16} = 8.\]

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

Ta có

\[\text{VT - VP} = \frac{a(b^2-ca)^2+c(a^2-2ab+bc)^2+b(ab-2ca+c^2)^2}{abc(a+b+c)} \geqslant 0.\]