bài V có phải m = 0 hoặc m = 3/8 ko nhỉ?

xin lĩnh giáo các mem và mod của VMF
Con V tách ra như sau:
$\left\{\begin{array}{l} (x^2-x)(2x-y)=m \\ (x^2-x)+(2x-y)=1-2m \end{array}\right. $
Đặt:$x^2-x=u;2x-y=v$. điều kiện của ẩn u: $ u \geq \dfrac{-1}{4}$
$\left\{\begin{array}{l} uv=m \\ u+v=1-2m \end{array}\right. $
u,v là nghiệm của pt : $ X^2-SX+P=0 $
Để cho tiện và gọn hơn ta tìm các trường hợp vô nghiệm sau đó loại các trường hợp đó thì được các trường hợp có nghiệm
Hệ vô nghiệm khi: $ (1-2m)^2<4m $ & $ X_{1}\leq X_{2} < \dfrac{-1}{4} $
Giải đk 2 như sau:
$\left\{\begin{array}{l}X_{1}+X_{2}<\dfrac{-1}{2} \\ (X_{1}+\dfrac{1}{4})(X_{1}+\dfrac{1}{4})>0 \end{array}\right. $
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-2m<\dfrac{-1}{2} \\ m+\dfrac{1}{4}(1-2m)+\dfrac{1}{16}>0 \end{array}\right. $
$ \Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}$
Kết hợp với đk đã nêu $ \Rightarrow \dfrac{3 \sqrt{2}+4}{4}>m>\dfrac{3}{4}$
Vậy hệ có nghiệm khi $ \dfrac{3 \sqrt{2}+4}{4}<m \vee m<\dfrac{3}{4}$
Sorry. mình ấn nhầm nút nên mới có 2 bài
Trong lúc giải có gì sơ xuất xin mọi người lượng thứ

mình nghĩ là đạo hàm của $\frac{4}{t^2}$ không phải bằng ...''du'' đâu!

các mem làm giùm mình với ạ
$\int \frac{x^3dx}{x^{12}-x^6+4}$

$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương

đạo hàm $(\frac{4}{t^3})'=-\frac{4}{2t^2}dt = du =>\frac{dt}{t^2}=-\frac{du}{2}$

Nhưng bạn đạo hàm nhầm rồi!
à là bạn nhầm nguyên hàm với đạo hàm! ^^

$a^{2}+2b^{2}+5c^{2}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}+(2-m)b^{2}+mb^{2}+(5-n)c^{2}+nc^{2}$

Bây giờ AD bdt côsi:

$\frac{a^{2}}{2}+(2-m)b^{2}\geq 2ab\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{2}}$

$\frac{a^{2}}{2}+(5-n)c^{2}\geq 2ac\frac{\sqrt{5-n}}{\sqrt{2}}$

$mb^{2}+nc^{2}\geq 2\sqrt{mn}bc$

Ta tìm m,n sao cho:$\sqrt{mn}=\sqrt{\frac{2-m}{2}}=\sqrt{\frac{5-n}{2}}$

m=$\frac{5+\sqrt{65}}{4};n=\frac{\sqrt{65}-7}{4}$

Do đó $\geq 2\sqrt{mn}(ab+bc+ac)=2\sqrt{mn}$

Mình thấy m>2 nên $\sqrt{2-m}$ vô nghĩa. Mà điều kiện dấu bằng mình nghĩ không chỉ có thế, còn phải thỏa mãn bất đẳng thức cauchy áp dụng cho từng bộ 2 số.

giải giùm mình nhé các mem
$lim \left (u_{n} \right )$ với
$u_{1}=1$
$u_{n}=u_{n-1}+\frac{1}{n}$

điều kiện dấu bằng xảy ra không thỏa mãn rồi bạn ạ. Bạn có cách nào khác không?

Mình có bài tập này muốn nhờ mọi người giúp. Theo mình đoán là dùng bunhia nhưng điều kiện dấu bằng xảy ra khó mà tìm được nên dường như là không khả thi.

$ab+bc+ca=1; a,b,c>0$,

Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$ P= a^2+ 2b^2+ 5c^2$

bài của cậu tớ mới nghĩ ra bài 1: mà cũng chẳng phải phép thế
x=0 ko là nghiệm của pt. Đặt y=tx
$\left\{\begin{array}{l} x^2 (1+t^2+t) = 1\\ x^3 (1+t^3) = x (1+3t)\end{array}\right. $
Chia từng vế của pt 2 cho pt 1 mẫu khác 0 r�ồi
$\dfrac{1+t^3}{1+t^2+t}={1+3t}$
$2t^3+4t^2+4t=0$
có lẽ là ra r�ồi. 2 nghiệm(1;0) (-1;0)
P/s: bài 2 của bạn cũng có thể giải theo cách trên
...Chờ dài cổ chẳng có ai giải tiếp: ta lại đi tiếp con đường của ta
Giải bài 3: Đặt $a= x^2+y^2-1; b=\dfrac{x}{y}$ & không quên đk $ x,y \neq0 ,x^2+y^2 \neq 1 $
Hệ pt trở thành:
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{b}\\ a+4b=1\end{array}\right. $
Thế a= 1-4b vào pt 1 có pt mới $2b^2-3b+1=0$
Ra 2 nghiệm (a;b) là (-3;1), (1/2;-1)
*Nghiệm (a,b) thứ nhât k cho nghiệm
*Nghiệm thứ hai cho nghiệm (0,0) nhưng nghiện này k tm đk
Vậy pt vn

5)$ \left\{\begin{array}{l}x^3-6x=y^3-5y\\x^2-4=2(1-y^2)\end{array}\right.$

hi hi chỉ có chừng đó bài các bác chém đỡ .......... !

bài nay có dạng đấy
$ \left\{\begin{array}{l}x^3-y^3=6x-5y\\x^2+2y^2=6\end{array}\right.$
đầu tiên phải thử xem x= 0 có là nghiệm của pt k, sau đó với x khac 0 thì đặt y=xt
$ \left\{\begin{array}{l}x^3 (1-t^3)= x (6-5t)\\x^2(1+2t^2)=6\end{array}\right.$
Ta chia từng vế của pt 1 cho pt 2( mẫu đã khác 0 rồi)
$\dfrac{1-t^3}{1+2t^2}=\dfrac{6-5t}{6}$
$ \Leftrightarrow 4t^3-12t^2+5t=0$
Chắc đến đây là ổn rồi.

Bài này có mem nào có ý tưởng khác k? Mình quả thật bó tay

Sai rồi bạn à!
Dấu bằng xảy ra, theo cách làm của bạn, là khi $ a=b=c= 1 $ , nhưng mà $ a+b+c $ có phải luôn luôn không đổi và bằng 3 đâu!

chọn một đỉnh
vì 2 đỉnh kề nó k thể tạo ra 1 tam giác (từ đây mình nói đến 1 tam giác là 1 tam giác tm đề bài)
còn lại 9 đỉnh
Số đoạn thẳng tạo bởi 9 điểm đó là $C_{2}^{9}$, trong đó có 8 đoạn thẳng trùng với cạnh của đa giác
Vậy có $C_{2}^{9}-8$ đoạn thẳng tạo với đỉnh đã chọn để tạo ra 1 tam giác.
Tương tự với các đỉnh còn lại.
Vì trong cách làm, mỗi tam giác bị trùng lặp 3 lần (vì 3 đỉnh của tam giác đều được chọn ra một lần)
ta có : $ 12(C_{2}^{9}-8)/3 = 112 $ tam giác
Theo mình là như vậy!

Minh giải như sau:
$ \rightarrow A= 2\sqrt{2} xy+x+y$
Đặt x+y=t . điều kiện của t là $ -\sqrt{2} \leq t \leq\sqrt{2}$ và$ xy=\dfrac{t^2-1}{2}$
Từ đó có$ A=f(t)=\sqrt{2} t^2+t-\sqrt{2} $
sử dụng bảng biến thiên là ok

Tìm min của biểu thức sau:
$\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$
với $a+b+c=k, k>0$. a,b,c>0
k là hằng số
P/s: bài này mình đã post r nhưng mà chưa nhận đc câu trả lời thỏa đáng.
Mong các mod đừng xóa bài này nhé!

Bài 1: Tìm miền xác định
$y = \dfrac{1}{{4 - 5\cos x - 2\sin ^2 x}}$
Bai2: Tìm giá trị max, min của hàm số
a)$y = \dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}$

b)$y = \dfrac{{\sin x + \cos x - 1}}{{\sin x - \cos x + 3}}$

Mih dùng công thức biểu diễn (sin a), (cos a) qua( tan a/2)
ta gọi $ tan\dfrac{x}{2}=t$
$ \Rightarrow sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}, cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
$ \Rightarrow y=\dfrac{t-t^2}{2t^2+t+1}$
Giả sử A là 1 giá trị của y
$A=\dfrac{t-t^2}{2t^2+t+1}$
$ \Leftrightarrow (2A+1)t^2+(A-1)t+y=0$
pt trên phải có nghiệm nên "delta" phải lớn hơn hoặc bằng 0
$ delta =-7A^2-6A+1=(A+1)(1-7A) \geq 0$
từ đó suy ra min và mã của biểu thức.

P/s :mình k biết viết kí hiệu delta thông cảm nha

Ta sẽ cm :
$ \dfrac {a}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{1-a^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 (1) $
Thật vậy :
$ (1) \leftrightarrow (a-\dfrac{1}{\sqrt{3}} )^2(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}x+3} )\geq 0 $ (Luôn đúng)
Vậy :
$ \sum \dfrac {a}{b^2+c^2} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)= \dfrac{3\sqrt{3}}{2} $
Dấu ''='' xảy ra khi $ a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}} $

Bài của Lâm hay đấy
$ \dfrac {a}{1-a^{2}} =\dfrac{a^{2}}{a(1-a^{2}} $
Áp dụng bất Caushy cho 3 số có
$2a^{2}(1-a^{2})(1-a^{2}) \leq \dfrac{8}{27}$
$ \Rightarrow \dfrac {a^{2}}{a(1-a^{2}} \geq \dfrac {3 \sqrt{3} a^{2}}{2} $
Từ đó cũng suy ra được điều phải chứng minh.

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho tam giác ABC có trực tâm H(3;3), C(7;1) và các đường cao AD, BE. Hãy tìm tọa độ điỉnh A,B biết trung điểm cạnh AB là M(2;3) và đường thẳng DE đi qua N(2;-2)
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho E(4;1). VIết pt đường thẳng (d) đi qua E và cắt tia Ox tại M, cát tia Oy tại N sao cho OM+ON đạt giá trị nhỏ nhất
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(2;10) và đường thẳng d: y=8. Điểm E di động trên d. Trên đường thẳng AE lấy F sao cho vec{AE}.vec{AF}=24.
Điểm F chạy trên đường cong nào? Viết pt đường cong đó.
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường tròn: (I): x^2+y^2-4x-2y+4=0 và (J): x^2+y^2-2x-6y+6=0. CMR: 2 đường tròn cắt nhau và viết pt tiếp tuyến chung của chúng.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ©: x^2+y^2+4x-6y+9=0., K(-1;4) và đường thẳng (d): x-y-3=0. Tìm các điểm trên (d) để từ đó kẻ đc 2 tiếp tuyến đến đường tròn © sao cho đường thẳng đi qua các tiếp điểm cũng đi qua K.
6. Cho 2 điểm A(3;1) và B(-1;2) và 1 điểm C ko trùng với O(0;0) di động trên đường thẳng x-y=0. Đường thẳng AC cắt trục hoành tại M, đường thẳng BC cắt trục tung tại N. CMR: MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
7. Cho tam giác ABC cân tại A có (AB): x+2y-5=0 và (BC): 3x-y+7=0. Viết pt đường thẳng AC biết AC đi qua F(1;-3)
8. Trong mặt phẳng Oxy hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết cạnh BC nằm trên đường thẳng (d): x+7y-31=0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài AB.
P/s: trên đây có cả bày khó, cả bài dễ, mọi người làm giúp mình nhé, tks mọi người nhiều

Nhiều quá ta
Bài 2 có vẻ dễ: OM+ON nhỏ nhất đạt giá trị bằng 0 khi đường thẳng đi qua gốc tọa độ
vậy pt đường thẳng là x-4y=0

mọi người giúp mình bài này
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. M là một điểm nằm trong miền tam giác ABC. Gọi góc giữa SM với SA, SB, SC lần lượt là x,y,z. Chứng minh hệ thức $ cos^2 x+cos^2 y+cos^2 z =1$

$(x^3-9x^2+23x-15)^{16} $
tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển trên.
Trình bày cho mình kĩ nhé, và ra kết quả là số cụ thể
Cảm ơn mọi ng đã lưu tâm!

Tam giác ABC có các góc nhọn, có các cạnh a, b, c và x, y, z là độ dài của các đường phân giác tương ứng
CMR: $ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}> \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} $

Ta có $S ABC=\dfrac{bxsin\dfrac{A}{2}}{2}+\dfrac{cxsin\dfrac{A}{2}}{2}=\dfrac{bcsin{A}}{2}$
Từ đó có:$x (b+c)=2bc cos\dfrac{A}{2}$
$ \dfrac{1}{x}= \dfrac{1}{2cos\dfrac{A}{2}}(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$
*CM tương tự ta có
$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a}(\dfrac{1}{2cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{2cos\dfrac{C}{2}})+ \dfrac{1}{b}(\dfrac{1}{2cos\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{2cos\dfrac{C}{2}}) + \dfrac{1}{c}(\dfrac{1}{2cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{2cos\dfrac{A}{2}})$
Ta có $0< \dfrac{A}{2},\dfrac{B}{2},\dfrac{C}{2}<90$
$\Rightarrow0<cos \dfrac{A}{2},cos\dfrac{B}{2},cos\dfrac{C}{2}<1$
$\dfrac{1}{2cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{2cos\dfrac{C}{2}}>1 $ và tương tự với các số còn lại ta cm được BĐT

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq \frac{26}{3}$
Với x,y,z thuộc [1;3]
Các bạn giúp mình nhé!

Chứng minh đẳng thức sau:
$ sin^2 \dfrac{A}{2}+sin^2 \dfrac{B}{2}+sin^2 \dfrac{C}{2}+2sin \dfrac{A}{2} sin \dfrac{B}{2} sin \dfrac{C}{2}=1$
Với A,B,C là ba góc của 1 tam giác
Cố gắng cách ngắn nhất mọi người nha

$(2+2x+x^2)^{2008}$
Tìm hệ số của $x^6$ trong khai triển
Các mem tìm giúp mình kết quả gọn nhất nhé!