le_hoang1995 nội dung
Có 342 mục bởi le_hoang1995 (Tìm giới hạn từ 29-04-2020)
#290459 0,99... = 1 ?
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 27-12-2011 - 14:31 trong Nghịch lý
Vì 0.(9) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên biểu diễn dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với a<b.
Nhưng ta luôn có $\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}$ với mọi a<b.
Vô lý vì không có số nào nằm giữa 0,(9) và 1 cả
Suy ra 0,(9) gần bằng 1
Hihi, mình cũng không rõ vấn đề này, chỉ post cho vui thôi.
#290287 4 người đàn ông, 2 người đàn bà và 1 đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy chiếc ghế...
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 26-12-2011 - 14:07 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Theo mình như sau.
B1: Coi hai người đàn bà là một người, chửa cần xếp đứa trẻ, như vậy sẽ có 5 người, có 5 cái ghế nên có 4! cách sắp xếp ( trong SBT cung đã có nói).
B2: Như trên, sẽ có 2 cách sắp xếp hai bà theo chiều ngược xuôi kim đồng hồ
B3: Ứng với mỗi cách xếp B1,B2 lại chỉ có duy nhất 1 cách xếp đứa bé.
Theo quy tắc nhân có 4!.2.1=2.4!
Hoặc cũng có thể coi bộ ba (1 bà, 1 trẻ con, 1 bà) với đứa trẻ luôn ở giữa là một.
#290283 Có bao nhiêu cách xếp 8 con xe lên bàn cờ vua sao cho không có con xe nào nằm...
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 26-12-2011 - 13:31 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Bàn cờ vua chia làm 8 cột là 1,2,3,4,5,6,7,8 và 8 hàng
Đặt con xe đầu tiên lên cột 1 thì có 6 cách (trừ đi hai ô nằm trên đường chéo).
Đặt con xe thứ hai lên cột 2 có 5 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và một ô nằm cùng hàng với con xe 1).
Đặt con xe thứ ba lên cột 3 có 4 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và hai ô nằm cùng hàng với con xe 1 và 2).
Đặt con xe thứ tư lên cột 4 có 3 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và ba ô nằm cùng hàng với con xe 1,2,3).
Đặt con xe thứ năm lên cột 5 có 2 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và bốn ô nằm cùng hàng với con xe 1,2,3,4).
Đặt con xe thứ sáu lên cột 6 có 1 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và năm ô nằm cùng hàng với con xe 1,2,3,4,5).
Đặt con xe thứ bẩy lên cột 7 có 0 cách ( trừ đi hai ô nằm trên đường chéo chính và sáu ô nằm cùng hàng với con xe 1,2,3,4,5,6).
Con thứ 8 có không cách.
Theo quy tắc nhân có 0 cách xếp như vậy.
#289456 đếm số hình vuông
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 22-12-2011 - 04:58 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Dễ thấy tính chất sau:
Cho 1 dãy gồm n phần tử, gộp k phần tử liên tiếp làm một nhóm $\Rightarrow$ có (n-k+1) nhóm.
Như vậy, trong một đường biên ngoài của hình vuông n đang xét, với mỗi cách gộp m hình vuông con liên tiếp, ta sẽ chỉ ra được một hình vuông tạo thành. Suy ra, trong 1 đường biên sẽ tạo ra được $\sum_{m=1}^{n}n-m+1=1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Trong hai đường biên có n hình vuông ngang bị đếm hai lần (n hình vuông có đỉnh là đỉnh của hình vuông lớn bị đếm hai lần), như vậy số hình vuông đếm ngang là:$2*\dfrac{n(n+1)}{2}-n=n^{2}$
_____________________________________________________________________________
Bây giờ đếm hình vuông chéo. Nên đếm trong trường hợp cụ thể, ví dụ x=9, x= 10 để kiếm chứng rồi tổng quát hóa lên.
Có hai loại hình vuông chéo là hình vuông có 1 đỉnh ngoài cùng nằm trên mép của đường biên ngoài và hình vuông có đỉnh ngoài cùng là tâm của các hình vuông đường biên ngoài. Gọi các đỉnh ở biên ngoài là 0,1,2,...,x. Cách đếm như sau, các đỉnh từ 0 tới x/2 đếm chéo lên trên, các đỉnh từ x/2 tới x đếm chéo xuống dưới.
TH1: $n=2m$ (n chẵn), theo cách đếm như trong bảng sau, ta có kết quả:
Tổng số hình vuông chéo của một biên là: $2(1+2+3+...+2m)+2m-2=4m^{2}+4m-2.$
Sau hai lần đếm biên, số hình vuông đếm hai lần là: $4(m-1)+1=4m-3$
Như vậy, tổng số hình vuông chéo là $2(4m^{2}+4m-2)-(4m-3)=8m^{2}+4m-1=2n^{2}+2n-1$.
TH2: $n=2m+1$ làm tương tự như trên, ta được số hình vuông chéo là: $2n^{2}+2n$
Như vậy $S_n=S_{n-1} + n^{2} +2n^{2}+2n-1=S_{n-1} +3n^{2}+2n-1$ với n chẵn.
$S_n=S_{n-1} + n^{2} +2n^{2}+2n=S_{n-1} +3n^{2}+2n$ với n lẻ.
Dùng quy nạp toán học suy ra $S_{n}=\dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2}-\dfrac{1}{2}$ với n chẵn và
$S_{n}=\dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2}$ với n lẻ
Hay $S_{n}=\left [ \dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2} \right ]$
Có bạn nào còn cách khác thì post lên cho mình xem nha.
File gửi kèm
- X chẵn.doc 24K 236 Số lần tải
#288505 CM $\sum (-1)^{2n+1}(C_{2n+1}^{2n+1})^2=0$
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 17-12-2011 - 13:40 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
#288502 Bất đẳng thức phụ
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 17-12-2011 - 13:25 trong Bất đẳng thức và cực trị
Với mọi a,b,c dương ta có:
$\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq \dfrac{\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )\left ( a+b+c \right )}{3^{2}}\geq \dfrac{(a+b+c)^{3}}{3^{3}}\geq \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\geq $
$\dfrac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{9}\geq \sqrt{\left ( \dfrac{ab+bc+ca}{3} \right )^{3}}\geq abc\geq \dfrac{3}{\dfrac{1}{a^{3}}+\dfrac{1}{b^{3}}+\dfrac{1}{c^{3}}}$
_______________________________________________________________________________________
Ứng dụng:
CM BĐT trang 66 Sáng tạo bất đẳng thức mà không dùng chuẩn hóa
$\sqrt[3]{\dfrac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{8}}\geq \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}$
Nhìn dãy trên thấy ngay VT và VP cách nhau bởi $\sqrt[3]{\dfrac{\left ( ab+bc+ca \right )\left ( a+b+c \right )}{9}}$ nên ta CM như sau:
Ta có: $\left ( a+b\right )\left (b+c \right )\left ( c+a \right )= \left ( ab+bc+ca \right )\left ( a+b+c \right )-abc\geq \dfrac{8}{9}\left ( ab+bc+ca \right )\left ( a+b+c \right )$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}{8}\geq \dfrac{\left ( ab+bc+ca\right )\left ( a+b+c \right )}{9}$ (1)
Vì $\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )$ nên
$\dfrac{\left ( ab+bc+ca\right )\left ( a+b+c \right )}{9}\geq \sqrt{(\dfrac{ab+bc+ca}{3})^{3}}$ (2)
Từ 1 và 2 suy ra đpcm.
#288429 đếm số hình vuông
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 16-12-2011 - 19:20 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
$S_{n}=S_{n-1}+M$
Tìm M bằng cách tìm số hình vuông tạo bởi đường biên ngoài ( có cả tạo với hình vuông trong nữa), chia ra làm hai loại hình vuông là hình vuông nằm ngang và hình vuông nằm chéo.
Với cách làm như vậy sẽ tìm được $S_n$
Nếu không bạn nào làm thì khi trường mình thi học kỳ xong mình sẽ post cách tìm
#288369 Bất đẳng thức phụ
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 16-12-2011 - 01:53 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT 3 dạng tổng quát
$\dfrac{{a_1{}}^{n}+{a_{2}}^{n}+{a_3{}}^{n}+...+{a_n }^{n}}{n}\geq \left ( \dfrac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_n}{n} \right )^{n}$
Chứng minh theo tư tưởng BDT Holder
Đặt S= ${a_1{}}^{n}+{a_{2}}^{n}+{a_3{}}^{n}+...+{a_n }^{n}$
$\dfrac{{a_{1}}^{n}}{S}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+...+\dfrac{1}{n}\geq n\sqrt[n]{\dfrac{{a_{1}}^{n}}{S*n^{n-1}}}=a_{1}\sqrt[n]{\dfrac{n}{S}}$ ( BDT Cosi với n số)
Tương tự với các số a2, a3,...,an.
Cộng hai vế của n BDT trên ta sẽ suy ra điều phải chứng minh
@vietfrog:Cảm ơn Hoàng rất nhiều , nhưng em lưu ý gõ công thức và Tiếng Việt có dấu nhé . Sưu tầm thêm BĐT phụ nha.
#288363 đếm số hình vuông
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 16-12-2011 - 00:22 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Đây là công thức mình tìm được, các bạn kiểm định:
$S_{n}= \dfrac{n^{2}*\left ( 2n+1 \right )}{2}$ với n chẵn
$S_{n}= \dfrac{n^{2}*\left ( 2n+1 \right )}{2}-\dfrac{1}{2}$ với n lẻ
nói chung là $S_{n}= \left [\dfrac{n^{2}*\left ( 2n+1 \right )}{2} \right ]$ với mọi n.
#288246 Tản mạn BĐT
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 15-12-2011 - 02:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 101: cho a,b,c không âm, Cmr:
$\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{2b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}}\leq 3$
em mới chứng minh được trong TH $b\geq a\geq c$ thôi, cảm ơn các anh chị nhiều
#288245 đếm số hình vuông
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 15-12-2011 - 02:31 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Chia mỗi cạnh của 1 hình vuông làm n phần bằng nhau, ta được n2 hình vuông nhỏ, trong mỗi hình vuông nhỏ, kẻ các đường chéo. Hỏi trong hình có tất cả bao nhiêu hình vuông.
Đây là trường hợp n=4 ( các bạn tải hình dùm mình, mình không biết post ảnh)
Kết quả :
S1=1
S2=10
S3= 31
S4= 72
S5= 137
Tính S50, S100, S1000
(tìm công thức tổng quát thôi chứ không đếm được đâu)
File gửi kèm
- hình vẽ.bmp 2.65MB 587 Số lần tải
#287998 CM $\sum (-1)^{2n+1}(C_{2n+1}^{2n+1})^2=0$
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 13-12-2011 - 16:35 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
$(C_{2n+1}^{0})^{^{2}} = (C_{2n+1}^{2n+1})^{2}$ Hằng đẳng thức Pascal, tương tự
$(C_{2n+1}^{2})^{2} = (C_{2n+1}^{2n-1})^{2}$
..........................................................................
$(C_{2n+1}^{2n})^{2} = (C_{2n+1}^{1})^{2}$ Cộng theo hai vế ta co đpcm.
Mọi người xem thử
#275396 bất đẳng tưởng đơn giản nhưng khó đấy!
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 06-09-2011 - 00:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
Khẳng định hoặc phủ định bất đẳng thức sau:
với mọi x;y thuộc R, x và y lớn hơn hoặc bắng 3, x^2 lớn hơn hoặc bắng 3y, CMR:
xy+3 lớn hơn hoặc bằng 2(x+y)
#273746 Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 23-08-2011 - 23:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
File gửi kèm
- 24808166_BDT_Cauchy_Va_Bdt_Bunhia.pdf 672.54K 481 Số lần tải
#271510 Một bài Bất đẳng thức
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 09-08-2011 - 13:54 trong Bất đẳng thức và cực trị
$ 1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}} \Leftrightarrow abc \ge {3^3} \Leftrightarrow 9\sqrt[3]{{abc}} \ge abc\left( 1 \right) \\ $
$ a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\left( 2 \right) \\ $
từ 1 va 2:
$3(a + b + c) \ge abc \Leftrightarrow 4(a + b + c) \ge a + b + c + abc \Leftrightarrow \dfrac{{a + b + c}}{{a + b + c + abc}} \ge \dfrac{1}{4} \\ $
$ 1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \Leftrightarrow ab + bc + ca = abc \\ $
$ \left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a + bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + ab}}} \right)\left( {a + bc + b + ca + c + ab} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} \\ $
$ \Leftrightarrow VT \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c + ab + ac + bc}} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c + abc}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{4} \\ $
Hơi lằng nhăng một chút
#271505 Một số bài toán chứng minh BĐT !
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 09-08-2011 - 12:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
$P = \dfrac{{({x^2} - 1)({y^2} - 1)}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{{x^2}{y^2} - {x^2} - {y^2} + 1}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{{x^2}{y^2} + 2xy}}{{{x^2}{y^2}}} = 1 + \dfrac{2}{{xy}} \ge 1 + \dfrac{2}{{\dfrac{1}{4}}} = 9$
$x + y = 1 \Leftrightarrow 1 - {x^2} - {y^2} = 2xy \\$
$1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4} \\ $
không biết có được không
#271484 Một số bài toán chứng minh BĐT !
Đã gửi bởi le_hoang1995 on 09-08-2011 - 10:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
mình cũng có một cách làm nhưng không biết viết
- Diễn đàn Toán học
- → le_hoang1995 nội dung