Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
x^{4}+y^{2}=\frac{698}{81}\\
x^{2}+y^{2}+xy-3x-4y+4=0
\end{matrix}\right.$

Ở đây
p\s mod off topic nha

$\left\{\begin{matrix}x^3y-y^4=7 & & \\ x^2y+2xy^2+y^3=9 & & \end{matrix}\right.$

Ở đây bạn

Giải phương trình
$$\sin x\sin 2x\sin 3x + \cos x\cos 2x\cos 3x = \dfrac{1}{2}$$
Xin cảm ơn nhiều.

PT:$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos2x(\cos4x+\cos2x)-\frac{1}{2}\sin2x(\cos4x-\cos2x)=\frac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \cos2x.\cos4x+1-sin^22x-\cos4x.\sin2x+\sin2x.\cos2x-1=0$$
$$\Leftrightarrow \cos4x(\cos2x-\sin2x)+sin2x(cos2x-sin2x)=0$$
$$\Leftrightarrow (\cos2x-\sin2x)(\cos4x+\sin2x)=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\cos2x-\sin2x=0(1) & \\
\cos4x+\sin2x=0 (2)&
\end{bmatrix}$$
(1):$$\Rightarrow x=\frac{\Pi }{4}+k\Pi $$

(2):$$\Rightarrow\begin{bmatrix}
x=\frac{-\Pi }{12}+k\Pi & \\
x=\frac{7\Pi }{12}+k\Pi & \\
x=\frac{\Pi }{4}+k\Pi &
\end{bmatrix}$$
Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{-\Pi }{12}+k\Pi;x=\frac{7\Pi }{12}+k\Pi;x=\frac{\Pi }{4}+k\Pi(k\in\mathbb{Z})$

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}
x^{3}y-y^{4}=7\\x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}=9
\end{matrix}\right.$

Cách khác:

HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y(x^{3}-y^{3})=7 & \\ y(x+y)^{2}=9\Rightarrow x> y> 0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{y}}-y$ thay vào phương trình đầu ta được:
$y[(\frac{3\sqrt[4]{8}}{ \sqrt{y} }-y)^{3}-y^{3}]=7$
Đặt $t=\sqrt{y}> 0$ thì:
$t^{2}[(\frac{3}{t}-t^{2})^{3}-t^{6}]=7 \Leftrightarrow t^{9}-(3-t^{3})^{3}+7t=0$
Xét hàm số f(t)=$t^{9}-(3-t^{3})^{3}+7t=0$
Ta có:f'(t)=$9t^{8}+9t^{2}(3-t^{3})^{2}+7> 0 ;\forall t> 0$
Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$nên nghiệm của hệ phương trình là duy nhất.Dễ thấy hệ có nghiệm $(2;1)$
Vậy....

p\s anh Trong siêng gõ quá

Hình như ta có thể chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{\sqrt{1+2x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^{2}}}\geq \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$ Với $0\leq x;y\leq \frac{1}{2}$.(Vừa thấy cái này hôm trước nhưng chưa chứng minh được ,ai thạo bất đẳng thức chứng minh giùm em với)

Ở đây
----------
P\s:Làm gì có chuyện hình như

Tình hình là ad nhóm trên FB do ko chịu được sự thật khi mọi người nhận xét về thú cưng của mình nên đã lạm dụng quyền hạn trục xuất 2 thành viên 1 cách vô tội vạ vì tội....dám nói thật

Chí lí em cũng đã ra đảo rôi. ĐẢ ĐẢO

đảo muôn năm

Giải phương trình $\sqrt{\frac{6}{2-x}}+\sqrt{\frac{10}{3-x}}=4$

Điều kiện: x<2
Với: $2>x>\frac{1}{2}$
Ta có: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac{6}{2-x}}> 2\\ \sqrt\frac{10}{3-x}>2\\ \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{6}{2-x}}+ \sqrt\frac{10}{3-x}>4$(vô lí)
Suy ra $2>x>\frac{1}{2}$ loại (1)
Với $x<\frac{1}{2}$
Ta có: $\left\{\begin{matrix}\sqrt{\frac{6}{2-x}}< 2\\ \sqrt\frac{10}{3-x}<2\\ \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{6}{2-x}}+ \sqrt\frac{10}{3-x}<4\\$ (vô lí)
Suy ra $x<\frac{1}{2}$ loại (2)
Từ (1) và (2) suy ra $x=\frac{1}{2}$

e hèm, ku Đạt có pồ thế mà giấu a nha, Linh e có hình pồ của Đạt hum up lên làm bằng chứng trước toà

Mi dám à Linh

Em đã bảo là cho thằng Đạt out rồi mà
Hôm trước nghe con cựu lớp phó nói sau ni họp lớp, lớp mình sẽ có 2 cặp cưới nhau, trong đó có Minh Đạt + Hương Giang :">
@Đạt: chối chi nữa :"> bạn Giang xinh, hiền lại siêng năng cần cù, lại không cao hơn mi =))
....
Mình mới lập nhóm cho hội trên fb ai có fb thì kết bạn với mình tại đây
hoặc tham gia vào nhóm Hội những người độc thân thích chém gió VMF

Coi chừng lên lớp t xử nghe Linh

@ Đạt

p/s: thằng Đạt ngày mô cụng tới lớp với bạn Hương Giang trong lớp, đề nghị cho out khỏi hội

Ê chém quá đấy linh =))

Giải phương trình:

$(x+3)^4+(x+5)^4=16$

Đối với phương trình có dạng này : $\left ( x-a \right )^4+\left ( x-b \right )^4=c$ $\left ( c\geq 0 \right )$ ,ta đặt $t=\frac{a+b}{2}$ từ đó thế vào phương trình và giải như bình thường, đây là cách giải tổng quát cho dạng bài này

bài 33: $\left\{\begin{matrix}x^{4}-2x=y^{4}-y & \\ (x^{2}-y^{2})^{3}=3 & \end{matrix}\right.$

(Đề thi thử lần 1 chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)

Đặt: $x + y = a;x - y = b;3 = {c^3}$
Từ phương trình thứ 2 ta có: $ab = c$
$\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{a + b}}{2} \\
y = \frac{{a - b}}{2} \\
\end{array} \right. \Rightarrow {x^4} - {y^4} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = ab\left[ {{{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{ab}}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$
$2x - y = \left( {a + b} \right) - \frac{{a - b}}{2} = \frac{{a + 3b}}{2} = \frac{{a + {c^3}b}}{2}$
Phương trình thứ nhất trở thành:
$\frac{{ab}}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \frac{{a + {c^3}b}}{2} \Leftrightarrow c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = a + {c^3}b$
Chúng ta có hệ mới:
\[\left\{ \begin{array}{l}
c\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = a + {c^3}b \\
ab = c \\
\end{array} \right.\]
$\begin{array}{l}
\Rightarrow c\left( {{a^2} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}} \right) = a + {c^3}b \\
\Leftrightarrow c{a^4} + {c^3} = {a^3} + a{c^4} \Leftrightarrow \left( {ca - 1} \right)\left( {{a^3} - {c^3}} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = c \\
a = \frac{1}{c} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
Từ đó ta có nghiệm $[\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{\sqrt[3]{3} + 1}}{2},\frac{{\sqrt[3]{3} - 1}}{2}} \right),\left( {\frac{2}{{\sqrt[3]{3}}}, - \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}} \right)]$

Bài 30: Giải hệ phương trình: $$\left\{ \begin{array}{c}\sqrt{2x+y+5}-\sqrt{3-x-y}=x^3-3x^2-10y+6(1)\\x^3-6x^2+13x=y^3+y+10(2)\end{array} \right.$$ THPT Thuận Thành số 1 - Bắc Ninh - Lần 1

Pt (2) $\Leftrightarrow (x-2)^3+(x-2)+10=y^3+y+10$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t+10$ có $f'(t)=3t^2+1 >0 $ $\forall t$
$\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ :
Mà $f(x-2)=f(y)\Leftrightarrow y=x-2$ thay vào pt (1) ta được:
$x^3-3x^2-10x+26=\sqrt{3x+3}-\sqrt{5-2x}$ ĐK: $-1\leq x\leq \frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow (x+3)(x-2)(x-4)=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x+3}+3}-\frac{-2(x-2)}{\sqrt{5-2x}+1}$
$\Leftrightarrow (x-2)[(x+3)(x-4)-\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}-\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}]=0$
$\Rightarrow x=2$ (thỏa) $\Rightarrow y=0$
Xét:
$(x+3)(x-4)-\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}-\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}=0$
$\Leftrightarrow x^2-x-12=\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}$
mà $\left\{\begin{matrix} VP>0 & \\ VT< 0 \forall x \in [-1;\frac{5}{2}] & \end{matrix}\right.$ nên pt vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;0)

GPT:
$\sqrt{-x^2+4x+5}=x^2-2(1-\frac{6\sqrt{5}}{5})x+\frac{36-9\sqrt{5}}{5}$
p\s ai del phải gửi lại
_________________________________________________________
Chính mình đã hỏi bạn là cần del bài nào rồi mà ! Bạn còn kêu ca gì ?

Cho a là số thực dương,xét dãy số ($x_n$):
$\left\{\begin{matrix}
x_1=a & \\
x_{n+1}\geq n+2x_n-\sum_{k=1}^{n-1}kx_k & \forall n\geq 1
\end{matrix}\right.$

Tìm $limx_n$

Chứng minh rằng có vô hạn các số có dạng $a_n=2^n-3$ ($n \geq 2$) đôi một nguyên tố cùng nhau

ĐỀ thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc (02/11/2012 môn toán- thpt Chuyên)


$\left\{\begin{matrix}
x^{2}+3x+2=\frac{8}{y}-\sqrt{5y-1} & \\
y^{2}+3y+2=\frac{8}{z}-\sqrt{5z-1} & \\
z^{2}+3z+2=\frac{8}{x}-\sqrt{5x-1}&
\end{matrix}\right.$

mod: công thức kẹp trong cặp thẻ đô la ($ ) nhé bạn

Giả sử : $x\geq y\geq z$
Xét $f(t)=t^2+3t+2$ và $g(t)=\frac{8}{t}-\sqrt{5t-1}$ với $t \in [\frac{1}{5};+\infty )$
f(t) là hàm đồng biến,g(t) là hàm nghịch biến trên khoảng $t \in [\frac{1}{5};+\infty )$
Suy ra $f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow g(y)\geq g(z)$
Lại có $g(y)\leq g(z)$
Nên $g(y)=g(z)$ suy ra $y=z$
Chứng minh tương tự ta được: $x=y$
Suy ra $x=y=z$
Thế vào phương trình trên ta giải được
$(x;y;z)=(1;1;1)$

$\left\{\begin{matrix}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x)})(x+y)=15 & \\ (\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})(x^{2}+y^{2})=85 & \end{matrix}\right.$
Đây là hệ đối xứng nhưng giải theo cách bt thì rất khó, vì có vướng thêm $\frac{x}{y}$ ??????

Điều kiện :$ x,y \neq 0$
Đặt $x=ty$ hệ đã cho trở thành :
$$\left\{\begin{matrix}y(1+\frac{1}{t})(t+1)=15\\y^2(t^2+\frac{1}{t^2})(t^2+1)=85\end{matrix}\right.$$
Suy ra
$$\frac{15^2}{(t+\frac{1}{t})^2(t+1)^2}=\frac{85}{(t^2+\frac{1}{t^2})(t^2+1)}$$
$$\Leftrightarrow \frac{15^2}{(t^2+1)^2(t+1)^2}=\frac{85}{(t^4+1)(t^2+1)}$$
$$\Leftrightarrow \frac{15^2}{(t^2+1)(t+1)^2}=\frac{85}{t^4+1}$$
$$\Leftrightarrow 14t^4-17t^3-17t^2-17t+14=0$$
Giải theo kiểu đối xứng ta $t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$
Thế vào giải hệ đối xứng loại 1 ra nghiệm là $(x;y)=(2;4) (4;2)$
(Trich Toan tuoi gia )

Góp thêm một bài :
Giải PT :
$\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt{x + 2} = 1$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{1-x}=a & \\ \sqrt{x+2}=b; b\geq 0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x=a^3 & \\ x+2=b^2 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a^3+b^2=3$
Ta được hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} a+b=1 & \\ a^3+b^2=3 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=1-a & \\ a^3+a^2-2a-2=0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=1-a & \\ (a+1)(a^2-2)=0 & \end{matrix}\right.$
Tới đây dễ rồi

Giải HPT:
$\left\{\begin{matrix} \dfrac{{x + 2xy}}{{\sqrt[3]{x^2 - 2x + 9}}} = x^2 + y \\ \dfrac{{y + 2xy}}{{\sqrt[3]{y^2 - 2y + 9}}} = y^2 + x \end{matrix}\right.$.

Cảm ơn mọi người trước.

$(1)+(2)\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y^2$

Có $\sqrt[3]{x^2-2x+9}=\sqrt[3]{(x-1)^2+8}\geq2\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq xy \Rightarrow VT \leq 2xy$

Mặt khác $x^2+y^2\geq 2|xy|\geq 2xy$.
Tới đây chắc được rồi bạn làm tiếp nha
p\s bạn sửa lại cái tiêu đề đi kìa nếu dài quá bạn có thể lấy cái phương trình đầu rồi ... cũng được

Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O.Cmr:$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$

Bài này ở đây rồi
p\s đã có hẳn một topic của Quân về vecto roi bạn gửi thì nên gửi vào đây

Giải hệ$\left\{\begin{array}{l}x^3+y^3-xy^2=1\\4x^4+y^4=4x+y\end{array}\right.$

Từ pt1 ta có $x^3+y^3-xy^2=1$
$\Rightarrow 4x^4+y^4=(4x+y)(x^3+y^3-xy^2)$
$\Rightarrow 4x^4+y^4=4x^4+y^4+3xy^3-4x^2y^2+x^3y$
$\Rightarrow 3xy^3-4x^2y^2+x^3y=0\Rightarrow xy(x-3y)(x-y)=0$
Tới đây dễ dàng rồi bạn làm tiếp nha

Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
(1 + x)(1 + {x^2})(1 + {x^4}) = 1 + y^7 (1)\\
(1 + y)(1 + {y^2})(1 + {y^4}) = 1+x^7 (2)
\end{array} \right.\]

Nhận xét:dễ thấy x=y=0 hoặc x=y=-1
là nghiệm của hệ phương trình vì vậy ta xét các trường hợp như sau:
+Xét $x> 0$,ta có:
$(1)\Rightarrow (1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}> 1+x^{7}\Rightarrow y> x$ thế vào (2) ta có:
$(2)\Rightarrow 1+y+y^{2}+y^{3}+y^{4}+y^{5}+y^{6}+y^{7}> 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}> 1+x^{7}\Rightarrow x> y$
Từ đó suy ra hệ vô nghiệm, tương tự $y> 0$ hệ vô nghiệm
+Xét $x< -1\Rightarrow 1+x^{7}< 0\Rightarrow 1+y< 0\Rightarrow y< -1$ mà $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}> 1+x^{7}\Rightarrow y> x$ tương tự $y< -1,ta có x> y$.Vậy hệ vô nghiệm
+Xét $-1< x< 0$ chứng minh tương tự ta có hệ vô nghiệm
Vạy hệ có nghiệm (0;0),(-1;-1)

Bạn ơi cái $f'(x)$ phân thức bên trái chưa chắc đã lớn hơn 0 bạn nhé.

Chắc chắn phải lớn hơn 0 rồi bạn ạ
$\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x-1}}} \geq 0 \forall x\geq 1$
( vì $\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\leq 1 ;\forall x\geq 1$)
$\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}> 0 \forall x\geq 1$
nên $\Rightarrow f'(x)=\frac{1-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x-1}}}+\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}> 0 \forall x\geq 1$