giải hệ $ \begin{Bmatrix} 3(x+\frac{1}{x})+4(y+\frac{1}{y})+5(z+\frac{1}{z})\\ xy+yz+zx=1 \end{Bmatrix}$

Làm sao để tách 2-x vậy? coaai có phương pháp gì ko?

Bài 73
Giải hệ phương trình

$ \begin{Bmatrix} \ 2x\sqrt y + y\sqrt x = 3\sqrt {4y - 3} \ (1)\\ \ 2y\sqrt x + x\sqrt y = 3\sqrt {4x - 3} \ (2) \end{Bmatrix}$

Điều kiện: $ \begin{Bmatrix} x\geq \frac{3}{4}\\ y\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix}$
$ (1)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(2\sqrt{x}+\sqrt{y})=3\sqrt{4y-3}\Leftrightarrow \sqrt{xy}=\frac{3\sqrt{4y-3}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}} (*)

(2)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(2\sqrt{y}+\sqrt{x})=3\sqrt{4x-3}\Leftrightarrow \sqrt{xy}=\frac{3\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}(**)$
Từ $ (*),(**)$$ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{4y-3}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{4x-3}}{2\sqrt{y}+\sqrt{x}}

\Leftrightarrow 2\sqrt{4y-3}\sqrt{y}+\sqrt{4y-3}\sqrt{x}-2\sqrt{4x-3}\sqrt{x}-\sqrt{4x-3}\sqrt{y}=0

\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{4y-3}-\sqrt{4x-3})=\sqrt{x}\sqrt{4x-3}-\sqrt{y}\sqrt{4y-3}


\Leftrightarrow -(\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{4(x-y)}{(\sqrt{4x-3}+\sqrt{4y-3})}=(x-y)\frac{(4x+4y-3)}{\sqrt{x}\sqrt{4x-3}+\sqrt{y}\sqrt{4y-3}}

\Leftrightarrow (x-y)A=0
\Leftrightarrow x=y$ (do $ A\neq 0$)
thay $ x=y$ vào $(1)$ $ (1)\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x^{3}-4x+3=0\\ x\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} x=y=1\\ x=y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\ x=y=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}\\ x\geq \frac{3}{4} \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y=1\\ x=y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}$
Vậy pt có 2 nghiệm...

uk, nghiệm $ \frac{-1-\sqrt{7}}{4}$ mới không thỏa mãn

Cho tứ giác ABCD. Xét M là điểm tùy ý, gọi P, Q, R, S thỏa:
$\underset{MB + }{\rightarrow}$$\underset{MC + }{\rightarrow}$$\underset{MD}{\rightarrow}$$\underset{=4MP}{\rightarrow}$ (1)
$\underset{MC+}{\rightarrow}$$\underset{MD+}{\rightarrow}$$\underset{MA}{\rightarrow}$$\underset{=4MQ}{\rightarrow}$(2)
$\underset{MD+}{\rightarrow}\underset{MA+}{\rightarrow}\underset{MB}{\rightarrow}\underset{=4 MS}{\rightarrow}$(3)
$\underset{MA+}{\rightarrow}$$\underset{MB+}{\rightarrow}$$\underset{MC}{\rightarrow}$$\underset{=4MS}{\rightarrow}$(4)
Tìm M sao cho: PA=QB=RC=SD(*)

Với mỗi điểm M ta xét điểm G sao cho $ \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}+\vec{GM}=\vec{0}$. Vì A,B,C,D cố định nên ta quy về tìm G thay cho M.
$ \vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=3\vec{MG}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GD}=3\vec{MG}-(\vec{GM}+\vec{GA})=4\vec{MG}+\vec{AG}$
pt (1) $ \Leftrightarrow 4\vec{MG}+\vec{AG}=4\vec{MG}+4\vec{GP}\Leftrightarrow \vec{AG}=4\vec{GP}\Leftrightarrow 5\vec{AG}=4\vec{AP}$
Tương tự $ (2)\Leftrightarrow 5\vec{BG}=4\vec{BQ}, (3)\Leftrightarrow 5\vec{CG}=4\vec{CR}, (4)\Leftrightarrow 5\vec{DG}=4\vec{DS}.$
(*)$ \Leftrightarrow$$ PA=QB=RC=SD\Leftrightarrow GA=GB=GC=GD$
G là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD dễ dàng suy ra M

cho tứ giác lồi phải ko bạn?

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $ \bigtriangleup ABC$ vuông tại A; B(1;1) và đường thẳng AC: 4x+3y-32=0. Tia BC chứa điểm M sao cho BM.BC = 75; bán kính đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup AMC$ bằng $\frac{5\sqrt{5}}{2}$ . Tìm tọa độ điểm C

Gọi C(x,y)
Có C thuộc đường thẳng AC nên 4x+3y-32=0$ \Leftrightarrow x=\frac{32-3y}{4}$
BA=5 theo công thức tính khoảng cách từ d(B,AC)
+ Tìm A Giải hệ: $ \begin{Bmatrix} 4x+3y-32=0\\ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=25 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow A(5;4)$ (1)
+ Theo phương tích của B đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC (tâm O) $BM.BC=BO^{2}-R^{2}\Leftrightarrow BO^{2}=75+\frac{125}{4}=\frac{425}{4}$ (2)
+ Tìm O bằng cách giải hệ: $ \begin{Bmatrix} OA^2=\frac{125}{4}\\ OB^2=\frac{425}{4} \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} (x-5)^2+(x-4)^2=\frac{125}{4}\\ (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{425}{4} \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x=\frac{114-6y}{8}\\ (x-1)^2+(y-1)^2=\frac{425}{4} \end{Bmatrix}\Leftrightarrow\begin{bmatrix} y_{1}=9\Rightarrow x_{1}=7,5\\ y_{2}=5\Rightarrow x_{2}=10,5 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} O(7,5;9)\\ O(10,5;5) \end{bmatrix}$
+ Tìm C bắng cách giải hệ với 2 trường hợp của O: $ \begin{Bmatrix} x=\frac{32-3y}{4}\\ OC^{2}=\frac{125}{4} \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} C(8;0)\\ C(2;8)\\ C=(5;4)\equiv A(5;4) \rightarrow Sai \end{bmatrix}$
Vậy có hai nghiệm

Phương trình $(*)$ có $\Delta ' = 4{x^2} - 4x + 1 = {\left( {2x - 1} \right)^2}$. Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm là:
\[\left[ \begin{array}{l}
t = 2x + \left( {2x - 1} \right) = 4x - 1\\
t = 2x - \left( {2x - 1} \right) = 1
\end{array} \right.\]

Em nghĩ cái này ko đúng vì đk pt là $2x^{2}-3x+1\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\geq 1\\ x\leq \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ nên $\ \sqrt{\Delta ^{'}}=\left | 2x-1 \right |$ phải xét các trường hợp chứ

mặc dù 2 trường hợp nhìn có vẻ giống nhau nhưng vẫn có sự khác biệt:

Tiếp theo bài hướng dẫn của anh WWW:
Với $ x\geq 1$: $ \sqrt{\Delta ^{'}}= 2x-1$, pt có 2 nghiệm $ \begin{bmatrix} t_{1}=4x-1\\ t_{2}=1 \end{bmatrix}$
Với $ x\leq \frac{1}{2}$ : $ \sqrt{\Delta ^{'}}= 1-2x$, pt có 2 nghiệm $ \begin{bmatrix} t_{3}=1\\ t_{4}=4x-1 \end{bmatrix}$
$ t= 2\sqrt{2x^{3}-3x+1}$ (**) , $t\geq 0$ nên đối với các trường hợp $ t_{1}, t_{4}$ xét thêm điều kiện $\ x\geq \frac{1}{4}$ để bình phương (**).
+Trường hợp $ x\geq 1$
. $ \begin{Bmatrix} t_{1}^{2}=8x^{2}-12x+4=16x^{2}-8x+1\\ x\geq 1\\ x\geq \frac{1}{4} \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x=\frac{-1+\sqrt{7}}{4}\\ x=\frac{-1-\sqrt{7}}{4}\\ x\geq 1 \end{Bmatrix}$
Vô nghiệm
.$ \begin{Bmatrix} t_{2}^{2}=8x^{2}-12x+4=1\\ x\geq 1 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x=\frac{3+\sqrt{3}}{4}\\ x=\frac{3-\sqrt{3}}{4}\\ x\geq 1 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow x= \frac{3+\sqrt{3}}{4}$
+Trường hợp $ x\leq \frac{1}{2}$:
.$ \begin{Bmatrix} x=\frac{3+\sqrt{3}}{4}\\ x=\frac{3-\sqrt{3}}{4}\\ x\leq \frac{1}{2} \end{Bmatrix} \Leftrightarrow x=\frac{3-\sqrt{3}}{4}$
.$ \begin{Bmatrix} x=\frac{-1+\sqrt{7}}{4}\\ x=\frac{-1-\sqrt{7}}{4}\\ \frac{1}{4}\leq x\leq \frac{1}{2} \end{Bmatrix} \Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt{7}}{4}$
Thử lại thấy đúng.
Mình tách ra 2 trường hợp nên bị dài với lại ko biết mấy cái trường hợp có cần phải nêu ra như thế ko hay có thể nhóm lại bằng một cách khác? Bạn nào có cách nào hay không?

Bài toán. Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 10\\
{x^7} + {y^7} + {z^7} = 350
\end{array} \right.\]

Từ pt (1) ta có $ \left ( x+y+z \right )^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=0 \Leftrightarrow 10+2(xy+yz+zx)=0 \Leftrightarrow xy+yz+zx=-5$
đặt A=x+y+z=0 , B=xy+yz+zx=-5 , C=xyz (cần tìm C)
Theo hệ thức Vi-ét đối với pt bậc 3 ta có x,y,z là nghiệm của pt $ X^{3}-AX^{2}+BX-C=0 \Leftrightarrow X^{3}-5X-C=0$
Đặt $S_{n}=x^{n}+y^{n}+z^{n}$
Ta có $ x^{3}-5x-C=0$ nhân 2 vế với $x^{n}$ ta có $x^{n+3}-5x^{n+1}-Cx^{n}=0$
Tương tự cho y,z ta có $y^{n+3}-5y^{n+1}-Cy^{n}=0$
$z^{n+3}-5z^{n+1}-Cz^{n}=0$
cộng 3 vế ta có $ S_{n+3}-5S_{n+1}-CS_{n}=0$ (công thức tổng quát có thể viết $ S_{n}-5S_{n-2}-CS_{n-3}=0$ hay $\ S_{n}=5S_{n-2}+CS_{n-3}$) (*)
Với $\ S_{0}=3, S_{1}=0, S_{2}=10$ theo công thức (*) ta tìm được $S_{3}=3C, S_{4}=50, S_{5}=25C \Rightarrow S_{7}=175C$ kết hợp với pt (3) $ S_{7}=350$ thì C=2
Vậy x,y,z là 3 nghiệm của pt $ X^{3}-5X-2=0$
$ \Leftrightarrow (X+2)(X^{2}-2X-1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} X=-2\\ X=1-\sqrt{2}\\ X=1+\sqrt{2} \end{bmatrix}$
Vậy hệ pt có 6 nghiệm: $\begin{pmatrix} x; y; z \end{pmatrix}=(-2;1-\sqrt{2};1+\sqrt{2})$ và các hoán vị
Làm cách này thì trình bày hơi dài, ai có cách khác ko ạ?

Giải hệ $ \left\{\begin{matrix} xy(x+y)=6\\ yz(y+z)=12\\ zx(z+x)=30 \end{matrix}\right.$

thầy gợi ý như thế này này: $(ca^{_{4}}+db^{_{4}}) =c(a^{_{4m}}-1)+d(b^{_{4n}}-1)+(c+d)$
và sử dụng đẳng thức Nếu k là số nguyên dương ta có $x^{^{k}}-y^{_{k}}=(x-y)(...)$

ko, dc chứ. Nhưng bọn mình đang học trên lớp chưa tới fecmat, mà thầy ra bài về nhà nên phải sử dụng nhị thức Niu-tơn và biến đổi thường.

mình mới làm câu a: còn Fecmat câu b thì thầy chưa dạy nên chắc ko dc dùng
a\ $a^{4}-1=(a^{2}-1)(a^{_{2}}+1)=(a-1)(a+1)(a^{2}+1)$
có $a=5k+r$ (r và k nguyên và 0$\leq$r$<$5)
vì a ko chia hết cho 5 nên r từ 1 tới 4
với r=1 => a-1 chia hết cho 5
với r=2 => $a^{_{2}}$+1 chia hết cho 5
với r=3 => $a^{_{2}}$+1 chia hết cho 5
với r=4 => a+1 chia hết cho 5
Nên $a^{_{4}}$-1 chia hết cho 5

Ta có (m,n)=45
=> tồn tại a,b nguyên để am+bn=45 (định lý trong phần ước chung lớn nhất)
nhân 2 vế với 7
7am+7bn=315
mà 7m=11n
=> 11na+7nb=315
n(11a+7b)=315
=> 315 chia hết cho n
- n chia hết cho 45
và 7m=11n => m=(11n chia 7)
- m nguyên nên n chia hết cho 7
n chia hết cho 7 và n chia hết cho 45
mà (7,45)=1
=> n chia hết cho 7*45
hay n chia hết cho 315
mà 315 chia hết cho n nữa
=> n=315
=> m=495
vậy ..................
cách làm của mình là vậy. có gì sai nhờ các bạn sửa cho!!!!!!!!!