Áp dụng AM-GM ta có:

$$\sum \left [ \frac{a^3}{(1+b)(1+b)} +\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\right ]\geq \frac{3}{4}\left ( a+b+c \right )
\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{(1+c)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$$

Cái này ko phải là trình bày tắt mà là trình bày sai

Nhìn vào chắc ai cũng biết là dụng đạo hàm vì chỉ có một biến...

C1: Tính đạo hàm bằng công thức làm cách này xong chắc phải đi tập tạ cho tay trái cho nó bằng tay phải.

C2: Dùng phương pháp đạo hàm $loga$

Nhận xét $y=f(x)>0 \forall x\in \mathbb{R}$. Lấy logarith Napier 2 vế ta có:

 

$$\ln y =10 \ln|x+1|+3\ln(x^2+x+1)-8\ln (x^2+1)$$

$$(\ln y)'=\frac{y'}{y}=\frac{10}{x+1}+\frac{3(2x+1)}{x^2+x+1}-\frac{8.2x}{x^2+1}$$

$\Rightarrow y'=(x+1)^9(x^2+x+1)[10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1} ]$

 

$y'=0$

 

$\Leftrightarrow x=-1 \vee 10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1}=0$

 

$10(x^2+x+1) +(6x+3)(x+1)-\frac{16.x(x+1)(x^2+x+1)}{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow -\frac{(x-1)(13x^2+16x+13)}{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow x=1$

 

Từ bảng biến thiên ta có $f(1)=108; f(-1)=0$

 

Vậy $\max f(x)=108$ khi đó $x=1$; $\min f(x)=0$ khi đó $x=-1$. $\square$

Riêng mình thì thấy cách này có lẽ dễ suy nghĩ hơn:

$y= \frac{(x+1)^{10}((x+1)^2-x)^3}{((x+1)^2-2x)^8}$

*Nếu $x=-1$ thì$ y=0$ là 1 giá trị của $y$

*Nếu $x \neq  -1$ thì chia 2 vế cho $(x+1)^{16}$ ta được $y=\frac{(1-\frac{x}{(x+1)^2})^3}{(1-\frac{2x}{(x+1)^2})^8}$

Đặt $1-\frac{2x}{(x+1)^2}=t$ Khi đó $t \geq \frac{1}{2}$ (côsi)

Và $y= \frac{(t+1)^3}{8t^8}$

Rồi chỉ việc xét hso là xong......

Điều kiện: $2\leq x\leq 3, y\leq 2$

Phương Trình $(1) <=> 3(\sqrt{3-x})^3+2\sqrt{3-x}=3(\sqrt{2-y})^3+2\sqrt{2-y}$

 

$<=> \sqrt{3-x}=\sqrt{2-y} <=> y=x-1$ Thế vào $(2)$ ta có:

$(2) <=>

 

Sai rồi bạn ơi phương trình có nghiệm $(2;1), (-1;-2)$ cơ mà

 

$ 

Dễ thấy $ 1\leq VT\leq \sqrt{2}$ $(3)$

Xét hàm số $x^3+x^2-4x-1 với  2\leq x\leq 3$

ta có: $f'(x)=3x^2+2x-4 >0 với  2\leq x\leq 3$

$=> f(x) $đồng biến trên $2\leq x\leq 3$

do đó $VP=f(x)\geq f(2)= 3$ $(4)$

Từ $(3),(4) =>$ pt vô nghiệm. Do đó Hệ đã cho vô nghiệm!

Hic ở trên mình nhầm đề. Ở dưới trog căn phải là $x+2$. Xin lỗi

$\text{D là điểm đối xứng của A qua O}$

Vẽ hình ra thấy $AE$ ko song song với $CD$?  

Câu 4 điểm D là điểm như thế nào???

Bài 3:

Trước hết xin nêu các công thức sau đây (có thể chứng minh dễ dàng = vecto và hệ thức lượng trog tam giác):

$Cot A= \frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

$OG^2=R^2-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$

$GA^2=  \frac{4}{9}(\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{a^2}{4})$

Quay trở lại bài toán

Ta có $Cot A= \frac{b^2+c^2-a^2}{4S} = \frac{a^2}{4S}$

=> $b^2+c^2-2a^2=0$

 

Ta có $Cos(\vec{GA}.\vec{GO}) = \frac{\vec{GA}.\vec{GO}}{GA.GO} = \frac{GA^2+GO^2-R^2}{2GA.GO}$

 

Mặt khác: $GA^2+GO^2-R^2= \frac{4}{9}(\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{a^2}{4})-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)= \frac{1}{9}(b^2+c^2-2a^2)= 0$

$=>$ $Cos(\vec{GA}.\vec{GO}) = 0$

Do đó. Góc giữa 2 đường thẳng $GA$ và $GO = 90$ độ

Câu 1 (5 điểm)

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 11\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x}\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^{3}+y^{2}-2y-4 \end{matrix}\right.$

 

 

Điều kiện: $2\leq x\leq 3, y\leq 2$

Phương Trình $(1) <=> 3(\sqrt{3-x})^3+2\sqrt{3-x}=3(\sqrt{2-y})^3+2\sqrt{2-y}$

 

$<=> \sqrt{3-x}=\sqrt{2-y} <=> y=x-1$ Thế vào $(2)$ ta có:

$(2) <=> \sqrt{x-2} + \sqrt{3-x} = x^3+x^2-4x-1$ 

Dễ thấy $ 1\leq VT\leq \sqrt{2}$ $(3)$

Xét hàm số $x^3+x^2-4x-1 với  2\leq x\leq 3$

ta có: $f'(x)=3x^2+2x-4 >0 với  2\leq x\leq 3$

$=> f(x) $đồng biến trên $2\leq x\leq 3$

do đó $VP=f(x)\geq f(2)= 3$ $(4)$

Từ $(3),(4) =>$ pt vô nghiệm. Do đó Hệ đã cho vô nghiệm!

Cho ba số dương a,b,c>0.

2)Cho $a+b+c+\sqrt{2abc}\geq 10$ . Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{8}{a^{2}}+\frac{9b^{2}}{2}+\frac{c^{2}a^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{8}{b^{2}}+\frac{9c^{2}}{2}+\frac{a^{2}b^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{8}{c^{2}}+\frac{9a^{2}}{2}+\frac{b^{2}c^{2}}{4}}\geq 6\sqrt{6}$.

3)Cho a+b+c=3. Chứng minh:

$\sqrt{2a^{2}+\frac{2}{a+1}+b^{4}}+\sqrt{2b^{2}+\frac{2}{b+1}+c^{4}}+\sqrt{2c^{2}+\frac{2}{c+1}+a^{4}}\geq 6$.

Mình xin giải 2 bài cuối:

Bài 2) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \sqrt{(\frac{8}{a^2}+\frac{9}{b^2}+\frac{c^2a^2}{4})(2+18+4))} \geq  \sum (\frac{4}{a}+9b+ca)$

$=> \sum \sqrt{(\frac{8}{a^2}+\frac{9}{b^2}+\frac{c^2a^2}{4})}\geq \frac{1}{\sqrt{24}}(4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9(a+b+c)+ab+bc+ca)\geq \frac{1}{\sqrt{24}}(\frac{36}{a+b+c}+9(a+b+c)+ab+bc+ca)= \frac{1}{\sqrt{24}}(\frac{36}{a+b+c}+a+b+c+6(a+b+c)+2(a+b+c)+ab+bc+ca)\geq \sqrt{24}(12+6(a+b+c)+6\sqrt{2abc}))(AM-GM) \geq \frac{1}{\sqrt{24}}(12+6.10)(gt)= 6\sqrt{6}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$

Bài 3) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \sqrt{(2a^2+\frac{2}{a+1}+b^4)(2+1+1)}\geq \sum (2a+\sqrt{\frac{2}{a+1}}+b^2)$

$=> VT\geq \frac{1}{2}\sum (2a+\sqrt{\frac{2}{a+1}}+b^2)= \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sum (\sqrt{\frac{2}{a+1}}+\sqrt{\frac{2}{a+1}}+\frac{a+1}{2})+(\frac{7}{4}(a+b+c)-\frac{3}{4})+(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3))\geq \frac{1}{2}(\frac{9}{2}+\frac{21}{4}-\frac{3}{4}+6-3)=6$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

đầu tiên là giả sử số nhân là k rùi nhân vào pt 2 xong + pt 1. Sau đó tính đenta pt 3 là pt bậc 2 theo x để đenta pt theo x đẹp thì đenta của đenta đó theo pt bậc 2 y phải = 0 (để phân tích thành số chính phương) từ đó giải ra tìm k => cách tách thui

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}-2x+2y=-3 & & \\ y^{2}-2xy+2x=-4 & & \end{matrix}\right.$

(1).5 -3(2) ta được $5x^2+2(3y-8)x-8y^2+10y+3=0$

$<=> (5x-4y-1)(x+2y-3)=0$

.................................... Tới đây dễ ời!!!

(f') =

Bình phương 2 vế pt trở thành:
$x^4-8x^3+10x^2+23x+6=0$
Đặt:x=y+2 ta có:
$y^4-14y^2-y+44=0$
Chứng minh nó vô nghiệm mà mình cm mãi không ra!!!

Tiếp đó dùng đạo hàm với điệu kiện của x là suy ra đc VT đồng biến => đc giá trị nhỏ nhất của f(x) mà gtnn đó >0 suy ra pt vô nghiệm thôi!!!

BĐT này hôm qua em cũng vừa tự nghĩ ra xong. BĐT$\Leftrightarrow (a+b-c)(b-c)^2+(b+c-a)(c-a)^2+(c+a-b)(a-b)^2\geq 0$ (hiển nhiên đúng vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)

Ừm! Mình cũng tự phân tách ra. Lúc đầu mình nghĩ sẽ dùng SOS để chế cơ! Ai ngờ gặp trường hợp này nên đành sửa đề thành 3 cạnh của 1 tam giác. Ngoài cách đưa về tổng bình phương ra còn cách nào nữa ko nhỉ?

sao lại post topic mới thế.bdt bạn đưa trích ở đâu vậy.xem lại đề đi

BDT mình tự chế. Lần này chắc chắn BDT đã đúng! Lúc nãy mình có post 1 bài này rùi mà sao tự nhiên topic mất tiêu, kiếm trong phần lịch sử cug~ ko có. Thành thật xin lỗi!

đã sửa đề!!!!!!!!!

cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác
CMR: $2(ab^2+bc^2+ca^2)\geq a^2b+b^2c+c^2a+3abc$

Cho a,b,c là các số dương.CMR:
$\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$

Ta có:
$\frac{a^3}{a^2+b^2} = a- \frac{ab^2}{a^2+b^2} \geq a-\frac{ab^2}{2ab} = a-\frac{b}{2}$
Xây dựng thêm 2 BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế ta có:
$\sum \frac{a^3}{a^2+b^2} \geq a- \frac{b}{2} + b-\frac{c}{2} + c-\frac{a}{2} = \frac{a+b+c}{2}$
Đẳng thức khi: $a=b=c$

sao ko ai giải hết vậy hơn 1 tháng rùi

câu b dễ nhất hihi: Áp dụng BDT AM-GM ta có
$\frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$
Xây dựng thêm 2 BĐT tương tự rùi + lại rút gọn cho 3 ta có ngay ĐPCM
Đẳng thức khi $a=b=c$

a) Từ giả thiết ta có:
$\left\{\begin{matrix}
a+b=6-c & \\
ab=9-c(a+b) &
\end{matrix}\right.
<=>\left\{\begin{matrix}
a+b=6-c & \\
ab=c^2-6c+9 &
\end{matrix}\right.$
theo viet đảo để tồn tại a và b thì
$(6-c)^2-4(c^2-6c+9) \geq 0$
$<=> 3c^2-12c \leq 0$
$<=> 0\leq c \leq 4$
Làm tương tự cho a,b ta có đpcm.
b) Từ giả thiết ta có:

$\left\{\begin{matrix}
a+b+c=6 & \\
(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=2 &
\end{matrix}\right.
<=>\left\{\begin{matrix}
a+b+c=6 & \\
ab+bc+ca=17 &
\end{matrix}\right.$
Đến đây làm tương tự câu a thui!

Tưởng ông học sâu về Toán nên hiểu cơ chứ (Lý thuyết của đạo hàm thôi)
Xét hàm số $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
Hàm số có điểm cực trị tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $f(x)g'(x)=f'(x)g(x)$

bạn ơi có thể cho mình tài liệu về dạng này đc ko?
Xin lỗi đã spam. Cám ơn bạn!

cho $a,b>0$ thỏa $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} =1$
Tìm GTNN của: $a+b+\sqrt{a^2+b^2}$

sr mình nhầm tý.
Nhưng pt bạn đưa đúng là vô nghiệm http://www.wolframal...2x-\sqrt{x+6}=0
Theo mình đề phải là $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$

Giải phương trình :
$$x^3-3x=\sqrt{x+2}$$

Cách khác:
pt $<=> (x^3-3x-2)+(2-\sqrt{x+2})=0$
$<=> (x-2)(x^2+2x+1)- \frac{x-2}{2+\sqrt{x+2}}=0$
$<=> (x-2)(x^2-2x+1-\frac{1}{2+\sqrt{x+2}}) = 0$
$<=> x=2$ Hoặc $(x^2-2x+1-\frac{1}{2+\sqrt{x+2}}) = 0$ ( đến đây làm biếng giải tiếp )

Giai phương trình
$\sqrt{2x+3} - \sqrt{4-x}+x^{3}-2x^{2}-2x-5 = 0$

Điều kiện: $\frac{-3}{2}\leq x\leq 4$
PT $<=> \sqrt{2x+3} - \sqrt{4-x}+(x-3)(x^2+x+1) -2 =0$
$<=> (\sqrt{2x+3}-3) +(1-\sqrt{4-x}) + (x-3)(x^2+x+1)=0$
$<=> \frac{2(x-3)}{\sqrt{2x+3}+3} + \frac{x-3}{\sqrt{4-x}+1} +(x-3)(x^2+x+1)=0$
$<=> (x-3)[\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3} + \frac{1}{\sqrt{4-x}+1} +(x^2+x+1)]=0$
$<=> x-3=0$ ( dễ thấy hạng tử trong [] luôn $>0$ )
$<=> x=3$
Vậy pt có 1 nghiệm $x=3$

Ko hiểu đề lắm. Thay a=1 b=1 vào thì VT=3 đâu có = VP đâu?