Giải HPT :
$\left\{\begin{array}{l}(x+y+xy+1)(x+y+2)-6=0\\x^2+y^2+2(x+y)-3=0\end{array}\right.$

Cách khác :
$HPT \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)(y+1)(x+y+2)=6\\ (x+1)^{2}+ (y+1)^{2}=5 \end{matrix}\right.$
Đặt $a= x+1; b= y+1$. Hệ trở thành :
$\left\{\begin{matrix} ab(a+b)=6\\ (a+b)^{2}-2ab=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (a+b)^{3}-5(a+b)-12=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b = 3\\ ab=2 \end{matrix}\right.$
Tìm $a,b$ suy ra $x,y$
Vậy HPT có nghiệm $(x,y)$ là $(1;0)$ và $(0;1)$

Tham khảo tại đây

Cho hàm số $f :N^{*} \to N^{*}$ thỏa mãn :
+ $f(f(n))= 3n$
+ $f$ tăng ngặt trên $N^{*} $
Tính $f(2013)$

Tìm $f: R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa mãn :
$\frac{f^{2}(w)+ f^{2}(x)}{f(y^{2})+ f(z^{2})}= \frac{w^{2}+ x^{2}}{y^{2}+ z^{2}}$
$\forall w.x = y.z$ và $x,y,w,z \in R^{+}$

Tìm nghiệm thực của hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} 2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0\\x^2+y^2+x+y-4=0 \end{matrix}\right.$

Nhận thấy :
$PT (1)\Leftrightarrow ( x+y-2)(2x-y-1)=0$

Tìm nghiệm thực$64x^6-112x^4+56x^2-7=2\sqrt{1-x^2}$

ĐK : $|x| \leq 1$. Từ đk ta nghĩ đến giải bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa.
Nhận thấy $x=0$ không phải nghiệm PT. Nhân cả 2 vế của PT với $x\neq 0$
Đặt $x = cos t , t \epsilon \left [ 0;\pi \right ]$
PT trở thành :
$64 cos ^{7}t -112 cos ^{5}t + 56 cos ^{3}t -7cost = 2\sqrt{1-cos^{2}t }$cost
$\Leftrightarrow cos7t=sin2t$

Hoặc
Biến đổi PT (1) thành :
$e^{x^{2}}( x^{2}+1)= e^{y^{2}}(y^{2}+1)$
Xét $f(t)= e^{t}( t+1) , \forall t\geq 0$

Bạn tham khảo tại đây ( #37)

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :
$P(x)P(3x^{2})= P( 3x^{3}+ x),\forall x$

hướng dẫn giúp em bài này $\int_{0}^{1}x^{2}.\sqrt{4-3x^{2}}dx$

Bạn đặt $x=\frac{2 }{\sqrt{3}} cost$

Một cách tuơng tự :

Mình xin chém bài ở tiêu đề xem như giải quyết cả topic

Đặt $$\sqrt[3]{{81x - 8}} = 3y - 2 \Rightarrow 81x - 8 = 27{y^3} - 54{y^2} + 36y - 8$$
$$ \Rightarrow {y^3} - 2{y^2} + \frac{4}{3}y = 3x$$
Khi đó ta được hệ phương trình sau:
$$\left\{ \begin{array}{l}
3y - 2 = {x^3} - 2{x^2} + \frac{4}{3}x - 2\\
{y^3} - 2{y^2} + \frac{4}{3}y = 3x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 2{x^2} + \frac{4}{3}x = 3y\\
{y^3} - 2{y^2} + \frac{4}{3}y = 3x
\end{array} \right.$$
Hệ phương trình trên đối xứng, chỉ việc trừ vế theo vế hai phương trình của hệ là xong.

--------------------
Câu hỏi: Làm thế nào ta có thể đặt $\mathbf{\sqrt[3]{{81x - 8}} = 3y - 2}$. Các bạn hãy thử nghĩ xem nhé.

Tham khảo tại đây

Giải các phương trình sau:
a,$27{x^3} + 54{x^2} + 39x + 10 = \left( {{x^2} + x + 2} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1}$

Bạn đã post tại đây .

Giải các phương trình sau:
b,${x^5} - 15{x^3} + 45x - 27 = 0$

Xét $x\epsilon \left [ -2\sqrt{3} ; 2\sqrt{3}\right ]$ :
Đặt $x=2\sqrt{3}cost$ , $t\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$
PT trở thành :
$288\sqrt{3} cos^{5}t-360\sqrt{3}cos^{3}t+90\sqrt{3}cost-27=0$
$\Leftrightarrow 2(16cos^{5}t-20cos^{3}t+5cost)-\sqrt{3}=0$
$\Leftrightarrow cos5t= \frac{\sqrt{3}}{2}$

$t= \pm \frac{\pi}{30}+ k\frac{2\pi}{5}$
Do $t\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$ nên

$t \epsilon \left \{ \frac{\pi}{30}; \frac{11\pi}{30}; \frac{13\pi}{30}; \frac{23\pi}{30} ; \frac{5\pi}{6}\right \}$

Vậy PT đã cho có 5 nghiệm : ...
Lưu ý : PT đề bài chỉ có tối đa 5 nghiệm nên khi xét $x\epsilon \left [ -2\sqrt{3} ; 2\sqrt{3}\right ]$ mà ta nhận được 5 nghiệm rồi thì không cần xét trường hợp còn lại

Bài 1 :
Đặt vào hai đầu mạch điện có hai phần tử C và R với điện trở $R= Z_{C}= 100 \Omega$ một nguồn điện tổng hợp có biểu thức $\left [ u= 100\sqrt{2}cos (100\pi t + \frac{\pi}{4})+ 100 \right ] (V)$. Tính công suất tỏa nhiệt trên điện trở :
A. 50W C. 25W
B. 200W D. 150W

Tính tổng
1. $1^2C_{2010}^{1}+2^2C_{2012}^{2}+...+2012^2C_{2012}^{2012}$.
2. $\frac{C_{2012}^{0}}{1}+\frac{C_{2012}^{1}}{2}+...+\frac{C_{2012}^{2012}}{2013}$.

Tổng quát :
1. Biến đổi :
$k^{2}C_{n}^{k}= n(n-1)C_{n-2}^{k-2}+ nC_{k-1}^{n-1}$
Ta suy ra được :
$1^{2}C_{n}^{1}+ 2^{2}C_{n}^{2}+...+ n^{2}C_{n}^{n}= n(n+1).2^{n-2}$

2. Biến đổi :
$\frac{1}{k+1}C_{n}^{k}= \frac{1}{n+1}C_{k+1}^{n+1}$
Ta suy ra được :
$C_{n}^{0}+ \frac{1}{2}C_{n}^{1}+..+\frac{1}{n+1}C_{n}^{n}= \frac{1}{n+1}(2^{n+1}-1)$

Bạn cũng có thể sử sụng tích phân, đạo hàm để chứng minh. Phương pháp này có nhiều trên diễn đàn, bạn có thể tham khảo.

Tìm GTNN của biểu thức :
$(1+cos^{2}A)(1+cos^{2}B)(1+cos^{2}C)$
trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác

CMR:$cos\frac{\Pi }{7}-cos\frac{2\Pi }{7}+cos\frac{3\Pi }{7}=\frac{1}{2}$

Ta có :
$2VT. sin\frac{\pi}{7}= 2cos\frac{\pi}{7}.sin\frac{\pi}{7}- 2cos\frac{2\pi}{7}.sin\frac{\pi}{7}+ 2cos\frac{3\pi}{7}.sin\frac{\pi}{7}$

$= sin\frac{2\pi}{7}- (sin\frac{3\pi}{7}-sin\frac{\pi}{7})+(sin \frac{4\pi}{7}-sin\frac{2\pi}{7})$
Chú ý : $sin\frac{3\pi}{7}=sin \frac{4\pi}{7}$

Do đó :
$2VT.sin\frac{ \pi}{7}=sin \frac{ \pi}{7}\Leftrightarrow VT=\frac{1}{2}\square$.

Giải PT :
$x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

Đặt : $\sqrt[3]{2x-1}=y$
Ta có : $\left\{\begin{matrix} x^{3}=2y-1\\y^{3} =2x-1 \end{matrix}\right.$
Đây là HPT đối xứng.

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^{3}-y^{3}+3x^{2}+6x-3y+4=0 & \\
&x^{2}+2(y-1)\sqrt{x-\frac{1}{x}}=3y-2 &
\end{matrix}\right.$

$PT (1)\Leftrightarrow (x+1)^{3}+ 3(x+1)= y^{3}+ 3y$
Xét hàm : $f(t)=t^{3}+ 3t$ có $f'(t)=3t^{2}+ 3 > 0$ với mọi $t$ nên hàm $f(t)$ đồng biến trên R
mà $f(x+1)= f(y)$ nên $x+1 = y$
Thế vào PT (2) ....

Giải PT :
$sin x +sin2x+sin3x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét $sin\frac{x}{2}= 0$:
Xét $sin\frac{x}{2}\neq 0$ :
+ nhân cả 2 vế của PT với $sin\frac{x}{2}$
+ sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Giải HPT :
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(6x^{2}+20xy+6y^{2})=351\\ (x+y)(x^{2}+14xy+y^{2})= 378 \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:
$x^{4}-3x^{3}-6x^{2}+18x-9=0$

Ta thấy :
$PT\Leftrightarrow x^{4}-3x^{2}(x-1)-9(x-1)^{2}=0$
Đặt $x-1=y$, ta có :
$x^{4}-3x^{2}y-9y^{2}=0$
Đến đây ta xem như là PT bậc hai ẩn $x^{2}$, tính $\Delta$, ta được : $x^{2}= \frac{3y\pm 3\sqrt{5}y}{2}$
Thay $y=x-1$ ta tìm được nghiệm $x$

Ai đây nhỉ

Bài 38:

$2\sin (2x-\frac{\pi}{6})+4\sin x+1=0$

(Dự bị khối A, 2006)

Ta có :
$PT \Leftrightarrow \sqrt{3}sin 2x - cos 2x +4sin + 1 = 0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{3} sin x . cos x - (cos ^{2}x - sin ^{2}x)+ 4sin x + 1 = 0$
$\Leftrightarrow sin ^{2} x + ( 2\sqrt{3}cos x +4)sin x -cos^{2}x + 1=0$
-----------------------------------

Đến đây nháp :
coi PT trên là PT bậc hai ẩn $sin x $
tính được : $\Delta '= ( 2cos x + \sqrt{3})^{2}$
tìm được nghiệm...
-----------------------------------
phân tích PT trên thành nhân tử cho đẹp ^^

Cho dãy $(U_n)$
$\left\{\begin{matrix} U_1=3, U_2=17 \\ U_{n+2}=6U_{n+1}-U_n\end{matrix}\right.$

CMR: Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương.

Tìm công thức SHTQ:
Xét PT đặc trưng : $\lambda ^{2}-6\lambda + 1=0$
có hai nghiệm : $\lambda _{1}=3+ 2\sqrt{2} ; \lambda _{2}=3- 2\sqrt{2}$
nên $U_{n}$ có dạng :
$u_{n}= a( 3+ 2\sqrt{2})^{n}+ b( 3- 2\sqrt{2})^{n}$
Từ $u_{1 }$ và $u_{2 }$ suy ra được $a=\frac{3+ 2\sqrt{2}}{2}$ và $b=\frac{3- 2\sqrt{2}}{2}$
Ta tìm được :
$u_{n}= \frac{ 1}{2} \left [ ( 3+ 2\sqrt{2})^{n+1}+ ( 3- 2\sqrt{2})^{n+ 1 } \right ]$
c/m : Với mọi $N \in N^*$ thì ta luôn có: $\dfrac{U_n^2-1}{2}$ là một số chính phương
Ta thấy : $\left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} + (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2}= \left [ (3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}\right ]^{2} + 4$
nên :
$\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = \frac{1}{2} \left [ \frac{(3+2\sqrt{2})^{n+1} - (3-2\sqrt{2})^{n+1}}{2}\right ]^{2}$
Áp dụng công thức Newton : $(3 \pm 2\sqrt{2})^{n+1} = M\pm N\sqrt{2}$ ( với $M,N$ nguyên dương )
Do đó : $\frac{1}{2}( U_{n}^{2}-1) = N^{2}$ là số chính phương.