Hai

 

Giờ bạn bắt mình phải nói nặng lời.

Thứ nhất, người xem lại kiến thức mới chính là bạn. Dồn biến toàn miền hoàn toàn cần bất đẳng thức thuần nhất. Nếu không tin bạn có thể xem lại một bài viết của thầy Phạm Kim Hùng cực kỳ chi tiết về dồn biến toàn miền trên diễn đàn mình có tựa đề là E.M.V - The Last Method hoặc trên AoPS thấy cũng có một bài viết. Mình đã tìm hiểu thật sự kỹ mọi ngóc ngách kỹ thuật phương pháp này và có một thời gian cuồng nó nên thật sự bị xúc phạm khi thấy câu "Bạn cũng nên xem lại kiến thức của mình nghen."

Kỹ thuật dồn biến mà nói như bạn, xét riêng số gia như (x+a, y+b, z+c) gì đó, khác nào khảo sát hàm nhiều biến và cũng chính là khảo sát hàm nhiều biến chứ chả có dồn biến gì cả. Và nếu có riêng các $a,b,c$ khác nhau để thêm vào thì lấy cái gì để đảm bảo tính đối xứng, điều kiện đầu bài,...

Mong bạn coi lại toàn bộ kiến thức lại, chứ đừng biết nửa vời mà thể hiện ở đây.

Ở đây mình đảm bảo một câu rằng, bạn nói từ trước đến giờ về dồn biến hoàn toàn sai lệch mới chuẩn kiển thức.

Haiz... Đó là vì theo bạn, thuật ngữ "dồn biến" là phải như vậy và chỉ có như vậy mới là "dồn biến"... Mà thôi. Để AD vào phán 1 lời đi. Chúng ta tranh luận là để phát triển, chẳng nên bực mình làm gì! 

Giờ bạn bắt mình phải nói nặng lời.
Thứ nhất, người xem lại kiến thức mới chính là bạn. Dồn biến toàn miền hoàn toàn cần bất đẳng thức thuần nhất. Nếu không tin bạn có thể xem lại một bài viết của thầy Phạm Kim Hùng cực kỳ chi tiết về dồn biến toàn miền trên diễn đàn mình có tựa đề là E.M.V - The Last Method hoặc trên AoPS thấy cũng có một bài viết. Mình đã tìm hiểu thật sự kỹ mọi ngóc ngách kỹ thuật phương pháp này và có một thời gian cuồng nó nên thật sự bị xúc phạm khi thấy câu "Bạn cũng nên xem lại kiến thức của mình nghen."
Kỹ thuật dồn biến mà nói như bạn, xét riêng số gia như (x+a, y+b, z+c) gì đó, khác nào khảo sát hàm nhiều biến và cũng chính là khảo sát hàm nhiều biến chứ chả có dồn biến gì cả. Và nếu có riêng các $a,b,c$ khác nhau để thêm vào thì lấy cái gì để đảm bảo tính đối xứng, điều kiện đầu bài,...
Mong bạn coi lại toàn bộ kiến thức lại, chứ đừng biết nửa vời mà thể hiện ở đây.
Ở đây mình đảm bảo một câu rằng, bạn nói từ trước đến giờ về dồn biến hoàn toàn sai lệch mới chuẩn kiển thức.

Mấu chốt ở đây là bạn có đọc, hiểu, nhưng chỉ biết sao chép, và theo bạn thì "dồn biến" là phải như vậy. Thuật ngữx dồn biến k phải chỉ như bạn hiểu. Phép phân hoạch cũng là 1 phép dồn biến. Những lời trên là lời khuyên chân thành cho bạn chứ k phải xúc pbajm. Nếu bbạ k muốn thì thôi. Bực mình làm gì. Thôi, đừng tranh cãi nữa, hãy nhờ AD phán một lời đi. Chúng ta tranh luận là để phát triển.

Hoàn toàn sai ở bước dồn dồn biến nhé bạn. Ở đây muốn dồn biến ta cần phải có: $f(x,y,z)\leqslant f(x, t,t)$ với $t=\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}}\geqslant x$
Lời khuyên. Chừng nào nắm kỹ phương pháp rồi hẵn nói lên đây nhé.
P/s. Đây là là dồn biến điều kiện, không phải dồn biến toàn miền. Dồn biến toàn miền là cần phải thuần nhất hóa $f(x,y,z)$ và khảo sát hàm $F(t)=f(x+t,y+t,z+t)$ nhé bạn.

Cái dồn biến thuần nhất của bạn chỉ là 1 trường hợp riêng và đẹp, nó giống như 1 phép tịnh tiến cho bộ (x, y, z) thôi. Dồn biến toàn miền tổng quát người ta có thể tách riêng từng biến với các số gia khác nhau (như x+ a, y + b, z + c) nó mới là tổng quát. Chẳng qua bạn chưa bao giờ gặp thôi. Hãy xem như đây là bài học mới. Chúc bạn sẽ ngày càng tiến bộ!

Hoàn toàn sai ở bước dồn dồn biến nhé bạn. Ở đây muốn dồn biến ta cần phải có: $f(x,y,z)\leqslant f(x, t,t)$ với $t=\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}}\geqslant x$
Lời khuyên. Chừng nào nắm kỹ phương pháp rồi hẵn nói lên đây nhé.
P/s. Đây là là dồn biến điều kiện, không phải dồn biến toàn miền. Dồn biến toàn miền là cần phải thuần nhất hóa $f(x,y,z)$ và khảo sát hàm $F(t)=f(x+t,y+t,z+t)$ nhé bạn.

Bạn còn trẻ, hãy chịu khó đọc thêm nhiều tài liệu nữa, và cố gắng tạo ra cái riêng cho mình, tương lai rất triển vọng!

Hoàn toàn sai ở bước dồn dồn biến nhé bạn. Ở đây muốn dồn biến ta cần phải có: $f(x,y,z)\leqslant f(x, t,t)$ với $t=\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}}\geqslant x$
Lời khuyên. Chừng nào nắm kỹ phương pháp rồi hẵn nói lên đây nhé.
P/s. Đây là là dồn biến điều kiện, không phải dồn biến toàn miền. Dồn biến toàn miền là cần phải thuần nhất hóa $f(x,y,z)$ và khảo sát hàm $F(t)=f(x+t,y+t,z+t)$ nhé bạn.

Bạn cũng nên xem lại kiến thức của mình nghen.
Dồn biến trên toàn miền không nhất thiết phải thuần nhất đâu bạn ui. Nói vậy người ta cười. Nối đơn giản là mình phân hoạch miền xác định rồi giới hạn lại vùng có cực trị. Ở đây dồn biến thì luôn có dồn biến điều kiện rùi. Mình nói thêm dồn biến toàn miền cho bạn hiểu mà bạn vẫn k biết. Muốn biết rõ hơn có thể xem trong cuốn Sáng tạo BDT của Phạm Kim hùng. Ở trên là vắn tắt thui. Bạn có thể ghi chi tiết sẽ thấy tòan bộ. Thân ái!

Mình không tự cho mình hay đâu nhá, cái này bạn sai rõ ràng. Mình hoàn toàn tự tin vào kiến thức và kinh nghiệm của mình và nếu sử cái này dễ thế thì VQBC chả phải cho ra cái lời giải như mình ghi ở trên được.

1 lời giải hoàn chỉnh khác bằng phương pháp dồn biến (dồn biến trên toàn miền)

(nếu kết hợp đạo hàm đánh giá thì ngắn gọn hơn nhiều, nhưng ở đây mình muốn chỉ cần sử dụng kiến thức lớp 10 cũng ra (chứ không cần phải nhờ vả đến thuật toán cyclic cho xa xôi...) nên tính toán dài 1 tí): Nói vắn tắt:

Ta sẽ nâng lên, biến thành bài toán đi tìm $max$ của vế trái $f(x,y,z) = 5x - 4xyz$.

Trước tiên, giả sử $x \le y \le z$ thì sẽ có $f(x, y, z) \le f(x, y, y)$. Từ đó quy về thành bài toán tìm $max$ của 

$P(x, y) = 5x - 4xy^2$, với $x^2 + 2y^2 = 3$ và $0 \le x \le 1 \le y \le \sqrt{\frac{3}{2}}$

Mà $P^2 = 1 - 2(y-1)( 16y(y - \sqrt{\frac{3}{2}})^2 + 8(2\sqrt{6} - 3)(y - \frac{47(3 - 2\sqrt{6})}{120})^2  + \frac{11133 - 4418\sqrt{6}}{480})  \le 1$

Nên $P \le 1$, từ đó suy ra $maxP = 1$.

Giải PT:

$x^{4}-4x^{2}+10x+5=0$

Về lý thuyết, mọi phương trình bậc 4 luôn giải được theo công thức Ferrari, bằng cách đổi biến, và quy về việc tìm hệ số $\alpha$ bằng cách giải 1 phương trình bậc 3. Phương trình bậc 3 vẫn luôn giải được tổng quát theo công thức Cacdano. Đối với bài trên, chạy máy sẽ thấy nghiệm cực kỳ khủng

$x = -1/(2 sqrt(3/(8+(2006-18 sqrt(11065))^(1/3)+(2 (1003+9 sqrt(11065)))^(1/3))))-1/2 sqrt(16/3-1/3 (2006-18 sqrt(11065))^(1/3)-1/3 (2 (1003+9 sqrt(11065)))^(1/3)+20 sqrt(3/(8+(2006-18 sqrt(11065))^(1/3)+(2 (1003+9 sqrt(11065)))^(1/3))))$

Có lẽ mọi cách đặt ẩn phụ đều chỉ mang mục đích tính toán "trâu bò" một tí mới được   

Đã có lời giải ở đây: http://diendantoanho...ca2b2-c2c-ac-b/

Bài này là sao y nguyên rồi còn gì

Ta chứng minh $P \geq -2$

Hay $2 \geq x^3\left(2-x\right)+y^3\left(2-y\right)+z^3\left(2-z\right)$

$\Leftrightarrow 2 \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$         

Lại có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \leq \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{8}=2$

Ta lại có: $x^4+y^4+z^4-2\left(x^3+y^3+z^3\right)= -x^3\left(y+z\right)-y^3\left(x+z\right)-z^3\left(x+y\right)\leq 0$

Vậy GTLN của $P$ là $0$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $2$ và $2$ số còn lại bằng $0$

       GTNN của $P$ là $-2$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $0$ và $2$ số còn lại bằng $1$

Bài này hệ số hơi đặc biệt nên tìm $max$ có thể làm ngắn gọn:

Theo giả thiết ta có $0 \le x, y, z \le 2$. Ta có thể viết lại

$P= x(x - 2) + y(y - 2) + z(z - 2) \le 0$

Nên $maxP = 0$ khi $(x, y, z) = (0, 0, 2)$ và các hoán vị của nó.

Chủ yếu là tìm min:

Đặt $t = xy + yz + zx$, với $0 \le t \le \frac{1}{3}(x+y+z)^2 = \frac{4}{3}$. Khi đó:

$x^4 + y^4 + z^4 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(x^2 y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

                         $ = ((x+y+z)^2 - 2t)^2 - 2(t^2 - 2xyz(x+y+z) $

                         $ = 2t^2 -16t + 8xyz + 16$.

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y)(y+z)(z+x) = 8 - 3(2-x)(2-y)(2-z)$

                         $ = 8 - 6t + 3xyz$

Suy ra $P = 2t^2 - 4t + 2xyz = 2(t-1)^2 + 2xyz - 2 \ge 0 + 0 -2 = -2$

Nên $minP = -2$ khi $x+y+z = 2$ và $xy + yz + zx = 1$ và $xyz = 0 \Leftrightarrow (x,y,z) = (0, 1, 1)$ và các hoán vị của nó.

 

(đối với bài toán tổng quát, tìm max, min sẽ đều đánh giá theo $t$).

1 bài minh họa:

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x + y + z = 2$.

Tìm $max, min$ của biểu thức $P = 2(x^4 + y^4 + z^4) - 5(x^3 + y^3 + z^3)$.

Đáp số:

$min P = \frac{-33}{4} ; maxP = \frac{-88}{27}$.

1 bài minh họa:

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x + y + z = 2$.

Tìm $max, min$ của biểu thức $P = 2(x^4 + y^4 + z^4) - 5(x^3 + y^3 + z^3)$.

Bài này là sao y nguyên rồi còn gì

Ta chứng minh $P \geq -2$

Hay $2 \geq x^3\left(2-x\right)+y^3\left(2-y\right)+z^3\left(2-z\right)$

$\Leftrightarrow 2 \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$         

Lại có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \leq \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{8}=2$

Ta lại có: $x^4+y^4+z^4-2\left(x^3+y^3+z^3\right)= -x^3\left(y+z\right)-y^3\left(x+z\right)-z^3\left(x+y\right)\leq 0$

Vậy GTLN của $P$ là $0$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $2$ và $2$ số còn lại bằng $0$

       GTNN của $P$ là $-2$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $0$ và $2$ số còn lại bằng $1$

Hì hi... Thì mới nói đây chỉ là 1 bài nhỏ. Thật ra đề gốc chỉ là chứng minh BĐT 1 vế. Sau đó mình tự phát triển ra dạng tổng quát hơn: 

Cho $x, y, z$ không âm và thỏa mãn $x + y + z = 2$. Tìm max, min của biểu thức 

$$m(x^4 + y^4 + z^4) - n(x^3 + y^3 + z^3)$$, với $m, n$ là các số dương.

Cách giải của bạn hoàn toàn chính xác cho bài ở trên, nhưng không biết có thể giải quyết cho bài toán tổng quát ở trên hay không? Bạn hãy thử xem sao nhé!

Mình thì biến đổi theo $t = xy + yz + zx$ sẽ về hàm rất đơn giản, từ đó có thể ràng buộc được điều kiện $m, n$ để dễ tìm cực trị. Thật ra với $m, n$ tùy ý biểu thức trên vẫn luôn có cực trị (thỏa định lý hàm liên tục trên một tập compact), nhưng tính theo $m, n$ chỉ mang ý nghĩa tính toán trâu bò chứ cũng chẳng hay ho gì  ).

Mọi người ai có bộ đề thi hsg toán 10 các tỉnh có đáp án cho mình xin dc ko? tks nhiều

Đây nè bạn.

http://download.com....p 10/index.aspx

Mình giải rồi. Post lên để cùng tham khảo lời giải của các bạn, biết đâu có nhiều ý tưởng hay hơn...

Sai cái khúc "$f(x)\leqslant f(1)$, mặc khác cho $x=1$ ta sẽ có ..." mà sao vẫn ráng lập luận nhỉ.
Chỉ suy ra được: $f(x)\leqslant 0$ hoặc $f(x)\leqslant 5x-4yz$ và sẽ không có chuyện cho $x=1$ ở đây, nhìn sơ sơ điều này hoàn toàn không hợp lý rồi.
Giờ phải nói rằng chuyện này mình đã gặp phải, sai vài lần và đã có kinh nghiệm trong chuyện này, bạn ráng tiếp thu chứ đừng khăng khăng bạn đúng như thế.

Ok. Mình sẽ xem xét lại vấn đề này. Thanks bạn!

chỗ đây là sao v bạn?

Mình áp dụng BDT $(x^2 + y^2) \ge \frac{(x+y)^2}{2}$ thui bạn

Áp dụng BĐT Min-cốp-xki và Cô-si, ta có:
 
$P= \sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}=\sqrt{16+a^{4}}+\sqrt{16+16b^2}\geq \sqrt{(a^2+4)^2+(4+4b^2)^2}\geq \sqrt{2(a^2+4)(4b^2+4)}\geq \sqrt{2.\frac{(a+2)^2}{2}.4.\frac{(b+1)^2}{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

Hình như dấu bằng không xảy ra rùi nhen bạn.
Đã có lời giải ở đây http://diendantoanho...rt16a44sqrt1b4/

Đã có ở đây nhé bạn http://diendantoanho...rt16a44sqrt1b4/

Thêm 1 bài Đại số.

Bài 16:

Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, với $ac < 0$.

Chứng minh rằng $f(f(x))$ có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.

$f(f(x)) = 0 \Leftrightarrow a f^2(x) + bf(x) + c = 0 \Leftrightarrow f(x) = t_1$ hoặc $f(x) = t_2$, với $t_1 < 0 < t_2$ (vì $ac < 0$).

$\Leftrightarrow ax^2 + bx + c - t_1 = 0 (1)$ hoặc $ax^2 + bx + c - t_2 = 0 (2)$.

Tới đây lý luận:

Vì $ac < 0$ nên có thể giả sử $a > 0$ và $c<0$ (nếu không thích giả sử thì xét 2 trường hợp cũng được)

suy ra $c - t_2 < 0$, dẫn đến $a(c - t_2) < 0$ nên phương trình $(2)$ có ít nhất 2 nghiệm trái dấu $x_1 < 0< x_2$ (đpcm).

Bài 15:

Giải phương trình

$$\sqrt{x^2 - 3x\sqrt{2}+9} + \sqrt{x^2 - 4x\sqrt{2}+16} = \frac{5}{\sqrt{49x^2 -168x\sqrt{2}+289} } $$

Dùng BĐT vecto đánh giá $VT \ge 5 \ge VP$. Từ đó phương trình có 1 nghiệm duy nhất $x = \frac{12\sqrt{2}}{7}$.

Góp 1 bài:

Bài 14:

Cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$$5(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge (a+b+c)^3 + 18abc$$

Sử dụng kết quả $(a\vec{GA} + b\vec{GB}+c\vec{GC})^2 \ge 0$ (với G là trọng tâm tam giác $ABC$).

Khai triển kết quả trên và dùng công thức đường trung tuyến sẽ ra được yêu cầu đề bài.

Dấu bằng xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.

Đây là bài test IQ của Đại học FPT. Ban đầu mình cũng nghĩa là các chữ số đôi một khác nhau nhưng không đơn giản như vậy. Ở chữ số cuối cùng mình chưa hiểu lắm, chỉ có 1 cách chọn chứ không phải 9 cách chọn cho chữ số cuối cùng ???
Vì là trắc nghiệm nên có thể loại trừ
Loại đáp án A vì chắc chắn các số thỏa mãn phải nhiều hơn 9!
Loại đáp án D và E vì 2 đáp án này đều nhỏ hơn 9! 
-> Chỉ còn hoặc B hoặc C đúng

8 chữ số đầu là tùy ý, thì ta tổng 8 chữ số này và chia cho 9 luôn xảy ra 1 trong 9 trường hợp: dư 0 (chia hết) hoặc dư 1, 2,3,....8. Nên chữ số cuối cùng chỉ còn đúng 1 cách chọn để tổng của nó với 8 số đầu là chia hết cho 9.

Thêm 1 bài Đại số.

Bài 16:

Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$, với $ac < 0$.

Chứng minh rằng $f(f(x))$ có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.

Bài 15:

Giải phương trình

$$\sqrt{x^2 - 3x\sqrt{2}+9} + \sqrt{x^2 - 4x\sqrt{2}+16} = \frac{5}{\sqrt{49x^2 -168x\sqrt{2}+289} } $$

Góp 1 bài:

Bài 14:

Cho $a, b, c$ là 3 cạnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$$5(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge (a+b+c)^3 + 18abc$$