Cho tập hợp $M$ có $n$ phần tử với 2 tập con $A, B$ tùy ý của M. Tính $\sum (A\cap B)$. Chứng minh rằng: Tập tất cả các số phần tử của mọi giao có thể gồm 2 tập con của M là $n.4^{(n-1)}$

Bài giải:
- Với mỗi phần tử a thuộc $M$, ta xét số lần a thuộc giao của 2 tập hợp con của $M$.
- Có $2^n$ tập con của $M$
Và có $2^{n-1}$ tập con của $M-{a}$

→Có $2^n - 2^{n-1}=2^{n-1}$ tập con của M có chứa $a$.
→Có $(2^{n-1})^2$ cặp tập con của $M$ chứa $a$.
→a thuộc $(2^{n-1})^2= 4^{n-1}$ giao 2 tập con của $M$
→Tổng số tất cả các giao là $n.4^{n-1}$ (đpcm)

--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>> Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toá

Vui lòng không tái phạm.

Giả sử F là tất cả các bộ {$A_{1}, A_{2},...,A_{1998}$}. Trong đó $A_{i}$ là tập con của {1,2,3,...,n} (i= 1,2,3,...,k) (k thuộc N đã chọn)
Tính S= $\sum \left | A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup ...\cup A_{k} \right |$
--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>> Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toá

Vui lòng không tái phạm.

Bài 1:
Hình bình hành ABCD, M thuộc AB, N thuộc CD sao cho AB= 3AM, CD=2CN.
a)Tính $\vec{AN}$ theo $\vec{AB},\vec{AC}$
b) G là trọng tâm của tam giác BMN. Tính $\vec{AG}$ theo $\vec{AB},\vec{AC}$
c)AG cắt BC tại I. Tính $\frac{BI}{BC}$

Còn câu c em chưa làm được

Bài 2:
Cho lục giác đều ABCDEF, M,N thuộc đoạn AC và AE sao cho: $\frac{AM}{MC}=\frac{EN}{NA}=k$. Tìm k sao cho B,M,N thẳng hàng.

--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây. Bạn vui lòng dành chút thời gian để xem kĩ những bài viết sau:

>> Nội quy Diễn đàn Toán học
>> Cách đặt tiêu đề phù hợp cho bài viết trên Diễn đàn để không bị ban nick
>> Hướng dẫn gửi bài trên Diễn đàn
>> Nâng cao kĩ năng gõ $\LaTeX$
>> Tra cứu công thức Toán

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}$
Quy đồng ta được (a+b)(b+c)(c+a)=0
Nếu a+b=0→c=2000
Nếu a+c=0→b=2000
Nếu b+c=0→a=2000
→Điều phải chứng minh

Bạn em gửi cho em cái link nhưng down xong nó cứ bắt mạt khẩu với chuyển tiền cái j ấy? Có bản nào cài đặt vào máy miễn phí không? Mong ai có thì send link cho em ♥

chịu bạn ạ, ko down được

hay thế @@

Thanks ss, em đã hiểu

Đọc mãi ... mới hiểu lời giải của thầy giáo em.
Thực ra không cần phải giải thích có bao nhiêu bộ $\left\{ (A;B);(\overline{A};B);(A;\overline{B}); (\overline{A}; \overline{B}) \right\} $

Từ chỗ $ \left| M \right|=\left| A\cap B\right| +\left| \overline A \cap B\right| +\left| A \cap \overline B\right| + \left| \overline A \cap \overline B\right| $

Lấy tổng $2$ vế chạy qua toàn bộ $4^n$ cặp $(A, B)$ ta được:

$4^n \left| M\right| =\sum \left|A\cap B\right|+\sum \left|\overline A \cap B\right|+\sum \left| A \cap \overline B\right|+\sum \left|\overline A \cap \overline B\right| = 4 \sum \left|A\cap B\right| $

$\Rightarrow n.4^n=4\sum\left|A\cap B\right|\Rightarrow \text{ Q.E.D}$

=.=''. Em chả hiểu j cả =.=''.

Tại sao lại là $4\left |A \cap B \right |$

Bài 1: Cho $\Delta ABC, M$ là $1$ điểm thuộc đoạn $BC.$
Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AM}= \frac{S_{AMC}.\overrightarrow{AB}+S_{AMB}.\overrightarrow{AC}}{S_{ABC}}$

Bài 2: Cho tam giác đều $ABC, M$ là điểm bất kì trong tam giác
$D,E,F$ là các điểm đối xứng với $M$ qua các cạnh của $\Delta ABC$
Chứng minh rằng: $2 \Delta DEF$ và $\Delta ABC$ có cùng trọng tâm
______________________________
Đây là thuộc vấn đề hình học, phần THPT. Mong anh post đúng chỗ.
Nhắc nhở lần 2.

Cho M là tập hợp có n phần tử. Chứng minh rằng:
$\sum \left | A\cap B \right |=n.4^{n-1}$



→Thầy em giải như sau nhưng em không hiểu lắm, mong các bác đọc lời giải xong giải thích giúp em .

M có 2^n tập hợp con→4^n cặp 2 tập hợp con (A;B) của M (Tính theo thứ tự)
→Có 4^(n-1) bộ {$(A;B);(\bar{A};B);(A;\bar{B}); (\bar{A}; \bar{B})$}
(Với $\bar{A}= C_{M(A)}$) (1)
nên $x\epsilon A hoặc x\epsilon \left | \bar{A} \right |$
Và $x\epsilon B hoặc x\epsilon \left | \bar{B} \right |$
→x chỉ thuộc 1 trong các tập hợp $A\cap B; \bar{A}\cap B; A\cap \bar{B}; \bar{A}\cap \bar{B}$
Mà các tập hợp $A\cap B; \bar{A}\cap B; A\cap \bar{B}; \bar{A}\cap \bar{B}$ không có phần tử chung
→M= $(A\cap B)\cup (\bar{A}\cap B)\cup (A\cap \bar{B})\cup (\bar{A}\cap \bar{B})$
→ $\left | M \right |=\left | A\cap B \right | + \left | \bar{A} \cap B\right | +\left | A\cap \bar{B} \right |+\left | \bar{A} \cap \bar{B}\right |$ (2)
Từ (1) và (2) →đpcm



-Tại sao lại là "Có 4^(n-1) bộ {$(A;B);(\bar{A};B);(A;\bar{B}); (\bar{A}; \bar{B})$}
(Với $\bar{A}= C_{M(A)}$) "
-Tại sao lại từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh