Cho tam giác nhọn $ABC$. Kẻ các tam giác vuông cân $ABD, CAE$ vuông tại $A$.

Nối $D$ với $E$ và lấy $M$ là trung điểm của $DE$

Chứng minh $MA$ vuông góc với $BC$

Tính $A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}}{\frac{99}{1}+\frac{98}{2}+...+\frac{1}{99}}$

Tính giá trị biểu thức 

$A=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}}{\frac{1}{1.99}+\frac{1}{3.97}+...+\frac{1}{97.3}+\frac{1}{99.1}}$

Thầy cứ để em như là thành viên bình thường cũng được ạ, năm 2015 em có đóng góp gì đâu ạ, nhưng cũng thật may là các thành viên trên diễn đàn còn nhớ tên

Cho $x,y>0$ thỏa mãn $2(x^2+y^2)+xy=(x+y)(xy+2)$

Tìm GTNN của $P=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^2}{z(z^2+x^2)}+\frac{y^2}{x(x^2+y^2)}+\frac{z^2}{y(y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)$

Ta có $\frac{x^2}{z(x^2+z^2)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{x^2+z^2}\geqslant \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}$

$\Rightarrow \sum \frac{x^2}{z(x^2+z^2)}\geqslant\sum  \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}$

$\Rightarrow P\geqslant \sum (\frac{1}{2x}+2x^2)=\sum (\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+2x^2)\geqslant 3.3\sqrt[3]{\frac{1}{4x}.\frac{1}{4x}.2x^2}=\frac{9}{2}$

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}-\frac{20}{a+b+c}$

Sử dụng SOS và AM-GM bạn chứng minh

  $\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{30}{(a+b+c)^2}$

Đưa về hàm số $f(t),t=\frac{1}{a+b+c}>0$

$Cho \left\{x,y,z>0\begin{matrix} \\xyz=1 \end{matrix}\right. CMR:\frac{x^{2}}{x+y+y^{3}z}+\frac{y^{2}}{y+z+z^{3}x}+\frac{z^{2}}{x+z+x^{3}y} \geq 1$

Ta có $\frac{x^2}{x+y+y^3z}=\frac{x^2}{x+y+\frac{y^2}{x}}=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=x-\frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}\geqslant x-\frac{xy(x+y)}{\frac{3(x+y)^2}{4}}=x-\frac{4xy}{3(x+y)}\geqslant z-\frac{4xy}{6\sqrt{xy}}=x-\frac{2\sqrt{xy}}{3}\geqslant \frac{2x-y}{3}$

Tương tự ta có 

  $P\geqslant \sum \frac{2x-y}{3}=\frac{x+y+z}{3}\geqslant \sqrt[3]{xyz}=1$

Cho tam giác $ABC$ có $G(\frac{2}{3};\frac{2}{3})$ là trọng tâm của tam giác. $I(8;-2)$ là tâm đường tròn ngọa tiếp của tam giác, $E(10;6)$ thuộc trung tuyến $AM$, $F(9;-1)$ là điểm thuộc $BC$. Tìm tọa độ $A,B,C$ biết $y_B<2$

giúp em bài này cho a,b,c>0

 tìm gtln gtnn nếu có của 
$P= \frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}} -\frac{9}{(a+b)(\sqrt{(a+2c)(b+2c)}} $

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx)$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}$

Ta có $5x^2-9x(y+z)=18yz-5(y^2+z^2)\leqslant 2(y+z)^2$

$\Rightarrow x\leqslant 2(y+z)$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{2(y+z)}{y^2+z^2}-\frac{1}{27(y+z)^3}\leqslant \frac{4}{y+z}-\frac{1}{27(y+z)^2}=f(t),t=y+z>0$

Sau đó khảo sát hàm số.

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Tìm $\max P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Sử dụng AM-GM $(ab+bc+ca)^2\geqslant 3abc(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\geqslant \sqrt{3.3.abc}=3\sqrt{abc}$

Và $(1+a)(1+b)(1+c)\geqslant (1+\sqrt[3]{abc})^3$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{2}{3+3\sqrt{abc}}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}=f(abc)$

Khảo sát hàm số với $t=\sqrt[6]{abc}\leqslant 1$

Đây là bài 20 trong sách Tài Liệu chuyên toán 10 của Đoàn Quỳnh, em thực sự chưa hiểu phần quy ước, mong các anh chị có thể giải giúp em bài này được không ạ!

Với điều kiện như thế thì bạn chỉ cần chứng minh 

 $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+...+\frac{x_n}{x_1}\geqslant \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+...+\frac{x_1}{x_n}$, do người ta đã quy ước $x_{n+1}=x_1$ để dùng dấu $\sum$ cho gọn.

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:   

$P=8(x+y+z)+5(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Sử dụng AM-GM ta có $(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3xyz(x+y+z)\Rightarrow xyz\leqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}$

$\Rightarrow P=8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{xyz}\geqslant 8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{\frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}}=8(x+y+z)+\frac{15(x+y+z)}{xy+yz+zx}$

Đặt $t=x+y+z\leqslant 3\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-3}{2}$

$\Rightarrow P\geqslant 8t+\frac{30}{t^2-3}=f(t)$

Khảo sát hàm số với $0<t \leqslant 3$

(D- 2007) Cho $a\geq b> 0$ . CMR: $\left ( 2^{a} +\frac{1}{2^{a}}\right )^{b}\leq \left ( 2^{b} +\frac{1}{2^{b}}\right )^{a}$

(B- 2005) CMR $\forall x\epsilon R$ ta có : $\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{10}{3} \right )^{x}\geq 3^{x}+4^{x}+5^{x}$

D-2007: Chia cả 2 vế cho $2^{ab}$ ta được bất đẳng thức tương đương 

  $(1+\frac{1}{4^a})^b\leqslant (1+\frac{1}{4^b})^a$

BĐT trên luôn đúng do $(1+\frac{1}{4^a})^b\leqslant (1+\frac{1}{4^a})^a\leqslant  (1+\frac{1}{4^b})^a$

B-2005: Sử dụng AM-GM ta có ngay 

    $(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x\geqslant 2.3^x$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại

P/S: Những bài toán đã thi thì không nên post lại, tránh gây loãng.

Bài tiếp Anh 25 minutes thông cảm , giờ em cũng chẳng biết đánh số bài là bao nhiêu nữa ..)

1,Cho $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm GTNN của $P=x^3+y^3+z^3-3xyz$

2,Cho $x,y,z$ không âm thỏa $x^2+y^2+z^2 =3.$ Tìm GTLN $A=xy+yz+xz+\frac{5}{x+y+z}$....

Bài 1: Ta có $P=\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]=\frac{1}{2}(x+y+z)[2-2(xy+yz+zx)]=(x+y+z)[1-(xy+yz+zx)]$

Đặt $t=x+y+z\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow P=t.(1-\frac{t^2-1}{2})=f(t)$

Với điều kiện $t \in [1;\sqrt{3}]$

Bài 2: Đặt $t=x+y+z\Rightarrow A=\frac{t^2-3}{2}+\frac{5}{t}=f(t)$

Với điều kiện $t \in [\sqrt{3};3]$

Cho a, b, c là các số thực dương, a+b+c=4. Chứng minh rằng:

      $a^{\frac{3}{4}} +b^{\frac{3}{4}} +c^{\frac{3}{4}}> 2\sqrt{2}$

Đặt $x^4=a.y^4=b,z^4=c\Rightarrow x^4+y^4+z^4=4$

Ta cần chứng minh $x^3+y^3+z^3>2\sqrt{2}$

Do $x^4+y^4+z^4=4\Rightarrow x<\sqrt{2}\Rightarrow x^4< \sqrt{2}x^3$

$\Rightarrow \sum x^4<\sqrt{2}\sum x^3\Rightarrow x^3+y^3+z^3>\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

Mọi người cho em xin tài liệu về bất dẳng thức ôn thi đại học. Em xin cảm ơn

Đây là những bài toán được tổng hợp trên các Topic của diễn đàn.

http://diendantoanho...-tìm-gtnn-gtln/

Bài 1: Cho $x \geq 0;y \geq 0 ; x^3+y^3-xy=1.$ Tìm GTNN,GTLN của $A=x^2+xy+y^2.$

Bài 2:Cho $x,y >0$ thỏa $3xy+3=x^4+y^4+\frac{2}{xy}.$ Tìm GTLN: $P=x^2y^2+\frac{16}{x^2+y^2+2}$

Bài 3: Cho x,y thỏa $(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2.$ Tìm GTNN,GTLN của $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 1: Đặt $S=x+y, P=xy$

Từ giả thiết ta có $S^3-3PS-P-1\Rightarrow P=\frac{S^3-1}{3S+1}\leqslant \frac{S^2}{4}\Rightarrow S\leqslant 2$

Khi đó $P=x^2+xy+y^2=S^2-P=S^2-\frac{S^3-1}{3S+1}=\frac{2S^3+S^2-1}{3S+1}=f(S)$

Từ $S^3-3PS-P=1\Rightarrow S\geqslant 1\Rightarrow S \in [1;2]$

Bài 2: Từ giả thiết $3xy+3=x^4+y^4+\frac{2}{xy}\geqslant 2x^2y^2+\frac{2}{xy}\Rightarrow \frac{1}{2}\leqslant xy\leqslant 2$

Và $P\leqslant x^2y^2+\frac{8}{xy+1}$

Bài 3: Lời giải của NPD

Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN $$P=\frac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}.$$

 

Thi thử ĐH 2015 Chuyên Ams

Áp dụng AM-GM $4\sqrt{ab}=2\sqrt{a.4b}\leqslant a+4b$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{8}{7a+4b+a+4b}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}$

Đến đây đặt ẩn phụ rồi khảo sát hàm số.

Mười tám sản phẩm được xếp vào 3 hộp một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hộp thứ nhất được xếp 6 sản phẩm.

Lúc đầu mình tưởng 18 sản phẩm này là khác nhau @@@. Mình làm như này không biết đúng không ?

Số cách xếp 18 sản phẩm vào 3 hộp cũng giống như số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+y+z=18$

Số nghiệm của nó là $C^{2}_{20}=190$

Nếu hộp thứ 1 có 6 sản phẩm, thì 2 hộp còn lại có 12 sản phẩm

Số cách xếp 12 sản phẩm vào 2 hộp còn lại là $C^{1}_{13}=13$

Nhưng đề bài nói rõ là hộp thứ 1 có 6 sản phẩm, tức là 3 hộp phân biệt.

Vậy $P=\frac{1}{3}.\frac{13}{190}=\frac{13}{570}$

Giải phương trình : $x=\log_{2013} (\sqrt{x^2+1}+x)$

Phương trình tương đương với 

    $\sqrt{x^2+1}+x=2013^x$

+) Xét $x>0$

Xét hàm số $f(x)=2013^x-\sqrt{x^2+1}-x\Rightarrow f'(x)=2013^x.\ln 2013-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1> 0$

$\Rightarrow f(x)>f(0)=0$, phương trình vô nghiệm

+) Xét $x<0$, đặt $-x=t>0$, phương trình tương đương 

  $\sqrt{t^2+1}-t=\frac{1}{2013^t}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t}=\frac{1}{2013^t}\Leftrightarrow \sqrt{t^2+1}+t=2013^t$

Tương tự như trên

Lại có $f(0)=0$, do đó $x=0$ là nghiệm duy nhất.

Với a,b,c là các số thực dương
CMR: $\sum(\frac{a}{2a+b})^{3}\geq\frac{1}{9}$

BĐT tương đương $\sum \frac{1}{(2+\frac{b}{a})^3}\geqslant \frac{1}{9}$

Đặt $\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}=x,y,z\Rightarrow xyz=1$

Ta có thể giả sử $z\leqslant 1\Rightarrow xy\geqslant 1\Rightarrow \frac{1}{(2+x)^3}+\frac{1}{(2+y)^3}\geqslant \frac{2}{(2+\sqrt{xy})^3}=\frac{2}{(2+\frac{1}{\sqrt{z}})^3}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{(2+x)^3}\geqslant \frac{2}{(2+\frac{1}{\sqrt{z}})^3}+\frac{1}{(2+z)^3}=f(z)$

Biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số với $z \in (0;1]$

Cho x,y,z số thực thỏa mãn: $\sum x=0$ và $\sum x^2=1$

Tìm Min $A=x^5+y^5+z^5$

Tham khảo