Cho tam giác nhọn $ABC$. Kẻ các tam giác vuông cân $ABD, CAE$ vuông tại $A$.
Nối $D$ với $E$ và lấy $M$ là trung điểm của $DE$
Chứng minh $MA$ vuông góc với $BC$
Có 1000 mục bởi 25 minutes (Tìm giới hạn từ 05-05-2020)
Đã gửi bởi 25 minutes on 04-11-2016 - 22:06 trong Hình học
Cho tam giác nhọn $ABC$. Kẻ các tam giác vuông cân $ABD, CAE$ vuông tại $A$.
Nối $D$ với $E$ và lấy $M$ là trung điểm của $DE$
Chứng minh $MA$ vuông góc với $BC$
Đã gửi bởi 25 minutes on 04-04-2016 - 21:44 trong Đại số
Tính $A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}}{\frac{99}{1}+\frac{98}{2}+...+\frac{1}{99}}$
Đã gửi bởi 25 minutes on 04-04-2016 - 21:42 trong Đại số
Tính giá trị biểu thức
$A=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}}{\frac{1}{1.99}+\frac{1}{3.97}+...+\frac{1}{97.3}+\frac{1}{99.1}}$
Đã gửi bởi 25 minutes on 11-01-2016 - 20:43 trong Thông báo tổng quan
Thầy cứ để em như là thành viên bình thường cũng được ạ, năm 2015 em có đóng góp gì đâu ạ, nhưng cũng thật may là các thành viên trên diễn đàn còn nhớ tên
Đã gửi bởi 25 minutes on 12-12-2015 - 21:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x,y>0$ thỏa mãn $2(x^2+y^2)+xy=(x+y)(xy+2)$
Tìm GTNN của $P=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
Đã gửi bởi 25 minutes on 05-12-2015 - 13:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{x^2}{z(z^2+x^2)}+\frac{y^2}{x(x^2+y^2)}+\frac{z^2}{y(y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)$
Ta có $\frac{x^2}{z(x^2+z^2)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{x^2+z^2}\geqslant \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}$
$\Rightarrow \sum \frac{x^2}{z(x^2+z^2)}\geqslant\sum \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}$
$\Rightarrow P\geqslant \sum (\frac{1}{2x}+2x^2)=\sum (\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+2x^2)\geqslant 3.3\sqrt[3]{\frac{1}{4x}.\frac{1}{4x}.2x^2}=\frac{9}{2}$
Đã gửi bởi 25 minutes on 05-12-2015 - 13:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}-\frac{20}{a+b+c}$
Sử dụng SOS và AM-GM bạn chứng minh
$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{30}{(a+b+c)^2}$
Đưa về hàm số $f(t),t=\frac{1}{a+b+c}>0$
Đã gửi bởi 25 minutes on 05-12-2015 - 13:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
$Cho \left\{x,y,z>0\begin{matrix} \\xyz=1 \end{matrix}\right. CMR:\frac{x^{2}}{x+y+y^{3}z}+\frac{y^{2}}{y+z+z^{3}x}+\frac{z^{2}}{x+z+x^{3}y} \geq 1$
Ta có $\frac{x^2}{x+y+y^3z}=\frac{x^2}{x+y+\frac{y^2}{x}}=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=x-\frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}\geqslant x-\frac{xy(x+y)}{\frac{3(x+y)^2}{4}}=x-\frac{4xy}{3(x+y)}\geqslant z-\frac{4xy}{6\sqrt{xy}}=x-\frac{2\sqrt{xy}}{3}\geqslant \frac{2x-y}{3}$
Tương tự ta có
$P\geqslant \sum \frac{2x-y}{3}=\frac{x+y+z}{3}\geqslant \sqrt[3]{xyz}=1$
Đã gửi bởi 25 minutes on 07-10-2015 - 22:21 trong Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Cho tam giác $ABC$ có $G(\frac{2}{3};\frac{2}{3})$ là trọng tâm của tam giác. $I(8;-2)$ là tâm đường tròn ngọa tiếp của tam giác, $E(10;6)$ thuộc trung tuyến $AM$, $F(9;-1)$ là điểm thuộc $BC$. Tìm tọa độ $A,B,C$ biết $y_B<2$
Đã gửi bởi 25 minutes on 12-09-2015 - 22:07 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã gửi bởi 25 minutes on 12-09-2015 - 22:04 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx)$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}$
Ta có $5x^2-9x(y+z)=18yz-5(y^2+z^2)\leqslant 2(y+z)^2$
$\Rightarrow x\leqslant 2(y+z)$
$\Rightarrow P\leqslant \frac{2(y+z)}{y^2+z^2}-\frac{1}{27(y+z)^3}\leqslant \frac{4}{y+z}-\frac{1}{27(y+z)^2}=f(t),t=y+z>0$
Sau đó khảo sát hàm số.
Đã gửi bởi 25 minutes on 23-08-2015 - 10:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$
Tìm $\max P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Sử dụng AM-GM $(ab+bc+ca)^2\geqslant 3abc(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\geqslant \sqrt{3.3.abc}=3\sqrt{abc}$
Và $(1+a)(1+b)(1+c)\geqslant (1+\sqrt[3]{abc})^3$
$\Rightarrow P\leqslant \frac{2}{3+3\sqrt{abc}}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}=f(abc)$
Khảo sát hàm số với $t=\sqrt[6]{abc}\leqslant 1$
Đã gửi bởi 25 minutes on 23-08-2015 - 10:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đây là bài 20 trong sách Tài Liệu chuyên toán 10 của Đoàn Quỳnh, em thực sự chưa hiểu phần quy ước, mong các anh chị có thể giải giúp em bài này được không ạ!
Với điều kiện như thế thì bạn chỉ cần chứng minh
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+...+\frac{x_n}{x_1}\geqslant \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+...+\frac{x_1}{x_n}$, do người ta đã quy ước $x_{n+1}=x_1$ để dùng dấu $\sum$ cho gọn.
Đã gửi bởi 25 minutes on 22-08-2015 - 15:58 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:
$P=8(x+y+z)+5(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Sử dụng AM-GM ta có $(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3xyz(x+y+z)\Rightarrow xyz\leqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}$
$\Rightarrow P=8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{xyz}\geqslant 8(x+y+z)+\frac{5(xy+yz+zx)}{\frac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}}=8(x+y+z)+\frac{15(x+y+z)}{xy+yz+zx}$
Đặt $t=x+y+z\leqslant 3\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-3}{2}$
$\Rightarrow P\geqslant 8t+\frac{30}{t^2-3}=f(t)$
Khảo sát hàm số với $0<t \leqslant 3$
Đã gửi bởi 25 minutes on 22-08-2015 - 13:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
(D- 2007) Cho $a\geq b> 0$ . CMR: $\left ( 2^{a} +\frac{1}{2^{a}}\right )^{b}\leq \left ( 2^{b} +\frac{1}{2^{b}}\right )^{a}$
(B- 2005) CMR $\forall x\epsilon R$ ta có : $\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{10}{3} \right )^{x}\geq 3^{x}+4^{x}+5^{x}$
D-2007: Chia cả 2 vế cho $2^{ab}$ ta được bất đẳng thức tương đương
$(1+\frac{1}{4^a})^b\leqslant (1+\frac{1}{4^b})^a$
BĐT trên luôn đúng do $(1+\frac{1}{4^a})^b\leqslant (1+\frac{1}{4^a})^a\leqslant (1+\frac{1}{4^b})^a$
B-2005: Sử dụng AM-GM ta có ngay
$(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x\geqslant 2.3^x$
Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại
P/S: Những bài toán đã thi thì không nên post lại, tránh gây loãng.
Đã gửi bởi 25 minutes on 22-08-2015 - 13:20 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài tiếp Anh 25 minutes thông cảm , giờ em cũng chẳng biết đánh số bài là bao nhiêu nữa ..)
1,Cho $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm GTNN của $P=x^3+y^3+z^3-3xyz$
2,Cho $x,y,z$ không âm thỏa $x^2+y^2+z^2 =3.$ Tìm GTLN $A=xy+yz+xz+\frac{5}{x+y+z}$....
Bài 1: Ta có $P=\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]=\frac{1}{2}(x+y+z)[2-2(xy+yz+zx)]=(x+y+z)[1-(xy+yz+zx)]$
Đặt $t=x+y+z\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow P=t.(1-\frac{t^2-1}{2})=f(t)$
Với điều kiện $t \in [1;\sqrt{3}]$
Bài 2: Đặt $t=x+y+z\Rightarrow A=\frac{t^2-3}{2}+\frac{5}{t}=f(t)$
Với điều kiện $t \in [\sqrt{3};3]$
Đã gửi bởi 25 minutes on 22-08-2015 - 13:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c là các số thực dương, a+b+c=4. Chứng minh rằng:
$a^{\frac{3}{4}} +b^{\frac{3}{4}} +c^{\frac{3}{4}}> 2\sqrt{2}$
Đặt $x^4=a.y^4=b,z^4=c\Rightarrow x^4+y^4+z^4=4$
Ta cần chứng minh $x^3+y^3+z^3>2\sqrt{2}$
Do $x^4+y^4+z^4=4\Rightarrow x<\sqrt{2}\Rightarrow x^4< \sqrt{2}x^3$
$\Rightarrow \sum x^4<\sqrt{2}\sum x^3\Rightarrow x^3+y^3+z^3>\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
Đã gửi bởi 25 minutes on 16-08-2015 - 20:14 trong Thi TS ĐH
Mọi người cho em xin tài liệu về bất dẳng thức ôn thi đại học. Em xin cảm ơn
Đây là những bài toán được tổng hợp trên các Topic của diễn đàn.
Đã gửi bởi 25 minutes on 16-08-2015 - 14:29 trong Thi TS ĐH
Từ trước đến nay, câu Bất đẳng thức, hay các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất luôn là câu khó nhất trong đề, dùng để phân loại học sinh và giúp học sinh lấy điểm 9,10 trong kì thi tuyển sinh vào Đại học, hay bây giờ là kì thi THPTQG. Và đạo hàm chính là công cụ quan trọng nhất trong chương trình Toán THPT, sự kết hợp giữa đạo hàm và các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đã, đang và sẽ là xu hướng ra đề. Nhân đây mình đã tổng hợp được một số bài toán mang dáng dấp như thế, giúp các bạn lớp 12 có thêm tài liệu nhỏ để ôn tập. Điều đặc biệt ở đây chính là các bài toán được lấy ở trên diendantoanhoc.net, chủ yếu ở Box Toán Trung học Phổ thông và ôn thi Đại học – Bất đẳng thức và cực trị ( khoảng 50 pages đầu ). Các bài toán đều được giải chi tiết cũng như hướng dẫn một cách cụ thể nhất. Do trình độ còn hạn hẹp cũng như thời gian không cho phép nên tài liệu còn khá sơ sài, đây cũng là lời cảm ơn của mình dành cho diễn đàn đã giúp đỡ mình trong suốt thời gian qua.
Chào thân ái và quyết thắng !!!
Đã gửi bởi 25 minutes on 15-08-2015 - 00:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1: Cho $x \geq 0;y \geq 0 ; x^3+y^3-xy=1.$ Tìm GTNN,GTLN của $A=x^2+xy+y^2.$
Bài 2:Cho $x,y >0$ thỏa $3xy+3=x^4+y^4+\frac{2}{xy}.$ Tìm GTLN: $P=x^2y^2+\frac{16}{x^2+y^2+2}$
Bài 3: Cho x,y thỏa $(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2.$ Tìm GTNN,GTLN của $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$
Bài 1: Đặt $S=x+y, P=xy$
Từ giả thiết ta có $S^3-3PS-P-1\Rightarrow P=\frac{S^3-1}{3S+1}\leqslant \frac{S^2}{4}\Rightarrow S\leqslant 2$
Khi đó $P=x^2+xy+y^2=S^2-P=S^2-\frac{S^3-1}{3S+1}=\frac{2S^3+S^2-1}{3S+1}=f(S)$
Từ $S^3-3PS-P=1\Rightarrow S\geqslant 1\Rightarrow S \in [1;2]$
Bài 2: Từ giả thiết $3xy+3=x^4+y^4+\frac{2}{xy}\geqslant 2x^2y^2+\frac{2}{xy}\Rightarrow \frac{1}{2}\leqslant xy\leqslant 2$
Và $P\leqslant x^2y^2+\frac{8}{xy+1}$
Bài 3: Lời giải của NPD
Đã gửi bởi 25 minutes on 14-08-2015 - 23:54 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN $$P=\frac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}.$$
Thi thử ĐH 2015 Chuyên Ams
Áp dụng AM-GM $4\sqrt{ab}=2\sqrt{a.4b}\leqslant a+4b$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{8}{7a+4b+a+4b}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}$
Đến đây đặt ẩn phụ rồi khảo sát hàm số.
Đã gửi bởi 25 minutes on 12-08-2015 - 21:02 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Mười tám sản phẩm được xếp vào 3 hộp một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hộp thứ nhất được xếp 6 sản phẩm.
Lúc đầu mình tưởng 18 sản phẩm này là khác nhau @@@. Mình làm như này không biết đúng không ?
Số cách xếp 18 sản phẩm vào 3 hộp cũng giống như số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+y+z=18$
Số nghiệm của nó là $C^{2}_{20}=190$
Nếu hộp thứ 1 có 6 sản phẩm, thì 2 hộp còn lại có 12 sản phẩm
Số cách xếp 12 sản phẩm vào 2 hộp còn lại là $C^{1}_{13}=13$
Nhưng đề bài nói rõ là hộp thứ 1 có 6 sản phẩm, tức là 3 hộp phân biệt.
Vậy $P=\frac{1}{3}.\frac{13}{190}=\frac{13}{570}$
Đã gửi bởi 25 minutes on 12-08-2015 - 20:35 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Giải phương trình : $x=\log_{2013} (\sqrt{x^2+1}+x)$
Phương trình tương đương với
$\sqrt{x^2+1}+x=2013^x$
+) Xét $x>0$
Xét hàm số $f(x)=2013^x-\sqrt{x^2+1}-x\Rightarrow f'(x)=2013^x.\ln 2013-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1> 0$
$\Rightarrow f(x)>f(0)=0$, phương trình vô nghiệm
+) Xét $x<0$, đặt $-x=t>0$, phương trình tương đương
$\sqrt{t^2+1}-t=\frac{1}{2013^t}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t}=\frac{1}{2013^t}\Leftrightarrow \sqrt{t^2+1}+t=2013^t$
Tương tự như trên
Lại có $f(0)=0$, do đó $x=0$ là nghiệm duy nhất.
Đã gửi bởi 25 minutes on 12-08-2015 - 20:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
Với a,b,c là các số thực dương
CMR: $\sum(\frac{a}{2a+b})^{3}\geq\frac{1}{9}$
BĐT tương đương $\sum \frac{1}{(2+\frac{b}{a})^3}\geqslant \frac{1}{9}$
Đặt $\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}=x,y,z\Rightarrow xyz=1$
Ta có thể giả sử $z\leqslant 1\Rightarrow xy\geqslant 1\Rightarrow \frac{1}{(2+x)^3}+\frac{1}{(2+y)^3}\geqslant \frac{2}{(2+\sqrt{xy})^3}=\frac{2}{(2+\frac{1}{\sqrt{z}})^3}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{(2+x)^3}\geqslant \frac{2}{(2+\frac{1}{\sqrt{z}})^3}+\frac{1}{(2+z)^3}=f(z)$
Biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số với $z \in (0;1]$
Đã gửi bởi 25 minutes on 12-08-2015 - 20:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học