Đặt x= a-1; y= b-1; z=c-1, khi đó x,y,z $\epsilon [-1;1]$ và x+y+z = 0
$=> a^2 + b^2 + c^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2 + (z+1)^2=x^2 + y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+3$
Vì x,y,z $\epsilon [-1;1]$
$=> a^2 + b^2 + c^2 \leq \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |+3$
Trong 3 số x,y,z có 2 số cùng không âm hoặc không dương, không mất tính tổng quát đó là x và y,
$=>\left | x \right |+\left | y \right | = \left | x+y \right |$
$=> a^2 + b^2 + c^2 \leq \left | x+y \right |+\left | z \right |+3 = \left | -z \right |+\left | z \right |+3=2\left | z \right |+3\leq 5$
Vậy $a^2+b^2+c^2 \leq 5$
Dấu bằng xảy ra khi a=0;b=1;c=2 và các hoán vị

Cho a,b,c,d thực không âm, trong đó không có hai số nào đồng thời bằng 0.
Chứng minh:
$\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3+c^3}+\frac{1}{a^3+d^3}+\frac{1}{b^3+c^3}+\frac{1}{b^3+d^3}+\frac{1}{c^3+d^3}\geq \frac{243}{2(a+b+c+d)^3}$

$\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3+c^3}+\frac{1}{a^3+d^3}+\frac{1}{b^3+c^3}+\frac{1}{b^3+d^3}+\frac{1}{c^3+d^3}\geq \frac{243}{2(a+b+c+d)^3}$
Với a,b,c,d thực không âm, không có 2 số nào đồng thời bằng 0