KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 11 THPT

Khóa ngày 18 - 03 - 2015

Bài 1: (6,0 điểm)

a) Cho phương trình; $\sin^2[ (x+1)y ]=\sin^2(xy)+sin^2[(x-1)y]$.

Tìm nghiệm $(x,y)$ để $(x+1)y,xy,(x-1)y$ là số đo các góc của một tam giác.

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x-3y^2x-3y+y^3=0 & \\ y-3x^2y-3x+x^3=0& \end{matrix}\right.$

Bài 2: (3,0 điểm)

Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Tính số cặp tập hợp (không kể thứ tự) không giao nhau từ các tập con của tập hợp $A$.

Bài 3: (3,5 điểm)

Cho số thực $a>2$. Đặt $f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+x^{n-1}+...+x+1 (n=1,2,...).$ Chứng minh rằng với mỗi $n$, phương trình $f_n(x)=a$ có đúng một nghiệm $x_n \in (0,+\infty)$ và dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$.

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $xy$ là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ thuộc cung $BC$ không chứa điểm $A$. Gọi $h_A,h_B,h_C$ lần lượt là khoảng các từ các đỉnh $A,B,C$ đến đường thẳng $xy$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{h_A} \sin A = \sqrt{h_B} \sin B+\sqrt{h_C}  \sin C$ (với $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$).

Bài 5: (4,0 điểm)

Cho tứ diện $ABCD$, M là một điểm thuộc miền trong tam giác $BCD$. Các đường thẳng qua $M$ song song với $AB,AC,AD$ lần lượt cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ tại $B_1,C_1,D_1$. Chứng minh rằng $AM$ đi qua trọng tâm tam giác $B_1C_1D_1$.

------------------------------------------Hết-------------------------------------

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}$ với $a,b,c\geq1 $

Câu 3a) $(a+b)c=ab$. Giả sử $a+b$ nguyên tố suy ra $c=abm$ suy ra $(a+b)m=1$. Tào lao! suy ra $đpcm$

Bài 1: (Dễ nhưng cũng làm cho vui)

a) Dễ dàng chứng minh $m>0$ khi đó tổng 2 nghiệm bằng $\frac{2m}{m^2+5}$ do $2m<m^2+5$ nên không thể là số nguyên.

b) Dễ thấy: $P<0$ nên $P-\sqrt{S}<0$ suy ra $P-\sqrt{S}=-2$. Để ý là $P=-3S$. Suy ra $S=\frac{4}{9}$. Cuối cùng được$m=2;m=\frac{5}{2}$

Bài 2: 2). $VT=\left ( \frac{MC}{MA} +1\right )\left ( \frac{NB}{NA}+1 \right )\geq \left ( \sqrt{\frac{BC^2}{AB.AC}}+1 \right )^2\geq \left ( \sqrt{2}+1 \right )^2=3+2\sqrt{2}$

Sao không ai trả lời giúp mình với. mình thực sự rất cần. Thôi vậy thì bài này khó hay dễ

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O), đường kính AD. Tiếp tuyến tại D cắt đường thẳng BC tại E. Tia EO cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh O là trung điểm của MN

Chứng minh: $\frac{2}{3}\leq \frac{a(c-d)+3d}{b(d-c)+3c}\leq \frac{3}{2}$ biết $2 \leq a,b,c,d \leq 3$

Dễ thấy $|c-d| = |d-c| \leg 1$ nên $a(c-d)$ lớn nhất là $-3<3c$ 

Hình bài 4.2b

 

b. $\left (x^{3}-y^{3} \right )-7(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-7)=0$

Mà x khác y => $x^{2}+xy+y^{2}-7=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+3xy=7$

Vì x, y nguyên dương và $7=1^{2}+3.2=2^{2}+3.1$

(1) $\left\{\begin{matrix} \left | x-y \right |=1\\ xy=2 \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow x=1, y=2$ hoặc x = 2, y = 1

(2) $\left\{\begin{matrix} \left | x-y \right |=2\\ xy=3 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=1, y=3$ hoặc x = 3, y = 1

Rõ ràng x=3,y=1 không phải là nghiệm của phương trình

Câu 3:đặt $t=\left | x_{1}-x_{2} \right |\Rightarrow t^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$

Lại có $PT\Leftrightarrow 4x^{2}+x(m-7)-m=0$

Theo định lí viete:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=\frac{7-m}{4} & \\ x_{1}x_{2}=\frac{-m}{4} & \end{matrix}\right.$

Do đó $t^{2}=\frac{m^{2}+2m+7}{16}=\frac{(m+1)^{2}+6}{16}\geq \frac{3}{8}$

Bạn bị sai rồi. GTNN phải là $\sqrt{3}$ mới đúng. Có vẻ bạn đã bị lộn dấu

Bài 1.1: biến đổi tương đương chú ý: $a-b-a^3-b^3=0$

1.2 :dùng BĐT Mincopxki

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: $a^5+b^5+c^5-5abc$

Nháy vào hình để xem cho vừa nhé!

Họ và tên: Nguyễn Văn Phẩm

Đề: Cho tam giác ABC có $\angle A=50^0;\angle B=20^0$. Trên đường phân giác BE của $\angle ABC$ lấy điểm F sao cho $\angle FAB=20^0$. Gọi I là trung điểm của AF, K là giao điểm của tia EI với AB và M là giao điểm của CK với EB.

Chứng minh rằng: $AI^2 +EI^2=AE(MF+\frac{1}{2}EK)$

Đáp án:

AE=EF. Tam giác AEI vuông tại I;  $\angle KEB=60^0. AI^2+EI^2=AE^2=AE.EF=AE.(MF+EM)=AE.(MF+\frac{1}{2}EK)$

Cho (O) đường kính AB. Điểm C trên đường tròn, CH vuông góc với AB tại H. Gọi M là trong điểm của CH. Đường thẳng qua M vuông góc với OC cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (C).

Cho (O) đường kính AB. Điểm C trên đường tròn, CH vuông góc với AB tại H. Gọi M là trong điểm của CH. Đường thẳng qua M vuông góc với OC cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (C).

Đây là phép nhóm Abel mà

Bạn làm ơn chỉ giùm mình vài đường cơ bản về phép nhóm Abel luôn đi. Có tài liệu nào cho mình tìm cũng được

Hình như xu hướng hiện nay là toán tuổi thơ thì phải. Chỉ giỏi đánh đố mà cũng chỉ thay số:

Bài 2:

$A=\frac{2012x+2013\sqrt{1-x^{2}}+2014}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$A=\frac{2013(x+1)+1-x}{\sqrt{1-x^2}}+2013$

$A\geq \frac{2\sqrt{2013(x+1)(1-x)}}{\sqrt{1-x^2}}+2013=2013+2\sqrt{2013}$

$6=1+2+3=a(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(b-a)(\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(c-b)\frac{3}{c}$

$\Rightarrow 6\geqslant 3a\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}+2(b-a)\sqrt{\frac{6}{bc}}+(c-b)\frac{3}{c}\geqslant 3a+2(b-a)+(c-b)=a+b+c$

Bạn giải chẳng khác nào ba-rem của huyện cả. Sách nào vậy bạn

À ko,ý em muốn hỏi áp dụng vào bài ntn ấy?

Ta viết lại BĐT của "ảnh" cho dễ thay nhé!

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$. Ta thay: $x=a, y=\frac{1}{b}, z=1$ thì

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\leq \frac{a}{b}$

Chia cả 2 vế cho $\frac{a}{b}$ ta được:

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )b\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\frac{1}{a}\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\frac{1}{a}\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )b\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}-1 \right )\left ( b+ab-1 \right )\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (Do $abc=1$)

Suy ra đpcm nhé

Bài này nếu lấy $y$ bình phương thì dễ thấy đẳng thức hơn và cũng tự nhiên ít mò hơn

Bài 1 bị thiếu điều kiện đó các bạn ạ. Mình đã sửa đề rồi

1.Cho $0<a \leq b \leq c \leq 3, bc \leq 6, abc \leq 6$.Chứng minh $a+b+c \leq 6$

2. Cho 2 số thực $a,b$ thỏa mãn $a+b \geq 1, a>0$. Tìm GTNN của

$A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2$